1、 4/4空間中的平面與空間向量【學習目標】1通過本節(jié)知識的學習，培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)2借助向量法證明有關平行與垂直問題，提升邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng)【學習重難點】1理解平面的法向量的概念，會求平面的法向量（重點）2會用平面的法向量證明平行與垂直（重點）3理解并會應用三垂線定理及其逆定理證明有關垂直問題（難點）【學習過程】一、新知初探1平面的法向量（1）如果是空間中的一個平面，n是空間中的一個非零向量，且表示n的有向線段所在的直線與平面垂直，則稱n為平面的一個法向量，此時也稱n與平面垂直，記作n（2）平面的法向量的性質(zhì)如果直線l垂直于平面，則直線l的任意一個方向向量都是平面的一個法向量如果n是平面的一

2、個法向量，則對任意的實數(shù)0，空間向量n也是平面的一個法向量，且平面的任意兩個法向量都平行如果n為平面的一個法向量，A為平面上一個已知的點，則對于平面上任意一點B，向量eq o(AB,sup7()一定與向量n垂直，即neq o(AB,sup7()0，從而可知平面的位置可由n和A唯一確定（3）如果v是直線l的一個方向向量，n是平面的一個法向量，則nvl，nvl，或l（4）如果n1是平面1的一個法向量，n2是平面2的一個法向量，則n1n212，n1n212或1與2重合2三垂線定理及其逆定理（1）三垂線定理：如果平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直，則它也和這條斜線垂直（2）三垂線定理

3、的逆定理：如果平面內(nèi)的一條直線和這個平面的一條斜線垂直，則它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直二、初試身手1思考辨析（正確的打“”，錯誤的打“”）（1）已知直線l垂直于平面，向量a與直線l平行，則a是平面的一個法向量（ ）（2）若直線l是平面外的一條直線，直線m垂直于l在平面內(nèi)的投影，則l與m垂直（ ）（3）一個平面的法向量有無數(shù)多個，任意兩個都是共線向量（ ）2若直線l的方向向量為a（1,0,2），平面的法向量為u（2,0，4），則（ ）AlBlClDl與斜交3平面的一個法向量為（1,2,0），平面的一個法向量為（2，1,0），則平面與平面的位置關系為（ ）A平行B相交但不垂直C垂直D不能確定

4、4設平面的法向量的坐標為（1,2，2），平面的法向量的坐標為（2，4，k），若，則k等于_三、合作探究類型1：求平面的法向量【例1】如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PA平面ABCD，E為PD的中點，ABAP1，ADeq r(3)，試建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，求平面ACE的一個法向量類型2：利用法向量證明空間中的位置關系【例2】如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M分別為棱BB1，CD，AA1的中點證明：（1）C1M平面ADE；（2）平面ADE平面A1D1F類型3：三垂線定理及逆定理的應用【例3】如圖，已知在正方體ABCDA1B1C1D1中，連接BD1，AC，C

5、B1，B1A，求證：BD1平面AB1C【學習小結(jié)】1三垂線定理以及逆定理是證明線線垂直、線面垂直的有力工具，應用時要分清定理和逆定理的關系線射垂直線斜垂直2利用向量法來解決有關直線與平面、平面與平面的關系問題，不必考慮圖形的位置關系，只需通過向量運算，就可得到證明的結(jié)果【精煉反饋】1若直線l的方向向量a（1,2，1），平面的一個法向量m（2，4，k），若l，則實數(shù)k（ ）A2B10C2D102已知平面的法向量為a（1,2，2），平面的法向量為b（2，4，k），若，則k（ ）A4B4C5D53若兩個向量eq o(AB,sup7()（1,2,3），eq o(AC,sup7()（3,2,1），則平面ABC的一個法向量為（ ）A（1,2，1）B（1,2,1）C（1,2，1）D（1,2,1）4已知直線l與平面垂直，直線l的一個方向向量u（1，3，z），向量