1、專題26 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理一、單選題1（2020湖北省高二期中）將3名防控新冠疫情志愿者全部分配給2個(gè)不同的社區(qū)服務(wù)，不同的分配方案有（ ）A12種B9種C8種D6種【答案】C【解析】每名防控新冠疫情志愿者都有兩種不同的分配方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可知，不同的分配方案總數(shù)為種.故選：C2（2020山東省高二期中）現(xiàn)有高一學(xué)生5名，高二學(xué)生4名，高三學(xué)生3名.從中任選1人參加市團(tuán)委組織的演講比賽，有多少種不同的選法（ ）A60B45C30D12【答案】D【解析】因?yàn)槿齻€(gè)年級(jí)共有名學(xué)生，由分類加法計(jì)數(shù)原理可得：從中任選1人參加市團(tuán)委組織的演講比賽，共有種不同的選法.故選：D.3（2

2、020廣東省湛江二十一中高二開(kāi)學(xué)考試）有不同的語(yǔ)文書9本，不同的數(shù)學(xué)書7本，不同的英語(yǔ)書5本，從中選出不屬于同一學(xué)科的書2本，則不同的選法有（ ）A21種 B315種 C153種 D143種【答案】D【解析】由題意，選一本語(yǔ)文書一本數(shù)學(xué)書有97=63種，選一本數(shù)學(xué)書一本英語(yǔ)書有57=35種，選一本語(yǔ)文書一本英語(yǔ)書有95=45種，共有63+45+35=143種選法.故選D.4（2020浙江省寧波諾丁漢附中高二期中）教學(xué)大樓共有五層，每層均有兩個(gè)樓梯，由一層到五層的走法有（）A10種B種C種D種【答案】D【解析】共分4步：一層到二層 2種，二層到三層 2種，三層到四層 2種，四層到五層 2種，一共

3、=16種. 故選D5（2020天津大鐘莊高中高二月考）四大名著是中國(guó)文學(xué)史上的經(jīng)典作品，是世界寶貴的文化遺產(chǎn).在某學(xué)校舉行的“文學(xué)名著閱讀月”活動(dòng)中，甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)相約去學(xué)校圖書室借閱四大名著紅樓夢(mèng)、三國(guó)演義、水滸傳、西游記（每種名著至少有5本），若每人只借閱一本名著，則不同的借閱方案種數(shù)為（ ）ABCD【答案】A【解析】對(duì)于甲來(lái)說(shuō)，有4種借閱可能，同理每人都有4種借閱可能，根據(jù)乘法原理，故共有種可能，答案為A.6（2020寧夏回族自治區(qū)寧夏育才中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試（理）如圖，某城市中，、兩地有整齊的道路網(wǎng)，若規(guī)定只能向東或向北兩個(gè)方向沿途中路線前進(jìn)，則從到不同的走法共有（ ）A10B

4、13C15D25【答案】C【解析】因?yàn)橹荒芟驏|或向北兩個(gè)方向向北走的路有5條，向東走的路有3條走路時(shí)向北走的路有5種結(jié)果，向東走的路有3種結(jié)果根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知共有種結(jié)果，選C7（2020吉林省長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中（理）某市汽車牌照號(hào)碼可以上網(wǎng)自編，但規(guī)定從左到右第二個(gè)號(hào)碼只能從字母BCD中選擇，其他四個(gè)號(hào)碼可以從09這十個(gè)數(shù)字中選擇(數(shù)字可以重復(fù))，某車主第一個(gè)號(hào)碼(從左到右)只想在數(shù)字35689中選擇，其他號(hào)碼只想在1369中選擇，則他的車牌號(hào)碼可選的所有可能情況有（ ）A180種B360種C720種D960種【答案】D【解析】根據(jù)題意，車主第一個(gè)號(hào)碼在數(shù)字35689中選擇，共5種選法，

5、第二個(gè)號(hào)碼只能從字母BCD中選擇，有3種選法，剩下的3個(gè)號(hào)碼在1369中選擇，每個(gè)號(hào)碼有4種選法，則共有444=64種選法，則共有5364=960種，故選：D.8（2020江蘇省高二期中）由組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)共有（ ）A個(gè)B個(gè)C個(gè)D個(gè)【答案】B【解析】分兩類：一、若五位數(shù)的個(gè)位數(shù)是，則有種情形；二、若五位數(shù)的個(gè)位數(shù)是，由于不排首位，因此只有有種情形，中間的三個(gè)位置有種情形，依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得種情形由分類計(jì)數(shù)原理可得所有無(wú)重復(fù)五位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為，應(yīng)選答案B 9（2020北京十二中高二月考（理）將數(shù)字1，1，2，2，3，3排成三行兩列，要求每行的數(shù)字互不相同，每列的數(shù)字也互不相同，則不同的

6、排列方法共有（ ）A12種B18種C24種D36種【答案】A【解析】由題意，可按分步原理計(jì)數(shù)，第一步，第一行第一個(gè)位置可從1，2，3三數(shù)字中任意選一個(gè)，有三種選法，第二步，第一行第二個(gè)位置可從余下兩數(shù)字中選一個(gè)，有二種選法，第三步，第二行第一個(gè)位置，由于不能與第一行第一個(gè)位置上的數(shù)字同，故其有兩種選法，第四步，第二行第二個(gè)位置，由于不能與第一行第二個(gè)數(shù)字同也不能第二行第一個(gè)數(shù)字同，故它只能有一種填法，第五步，第三行第一個(gè)數(shù)字不能與第一行與第二行的第一個(gè)數(shù)字同，故其只有一種填法，第六步，此時(shí)只余下一個(gè)數(shù)字，故第三行第二列只有一種填法，由分步原理知，總的排列方法有32211112種.故選：A10（

7、2020江西省高三三模（理）在明代珠算發(fā)明之前，我們的先祖從春秋開(kāi)始多是用算籌為工具來(lái)記數(shù)、列式和計(jì)算.算籌實(shí)際上是一根根相同長(zhǎng)度的小木棍，算籌有縱式和橫式兩種，如圖是利用算籌表示的數(shù)字，表示多位數(shù)時(shí)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，例如，可以用根小木棍表示“”，則用根小木棍（要求用完根）能表示不含“”且沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）ABCD【答案】C【解析】數(shù)字、組成個(gè)，數(shù)字、組成個(gè)，數(shù)字、組成個(gè)，數(shù)字、組成個(gè)，共個(gè)符合要求的三位數(shù).故選:C.11（2020北京市魯迅中學(xué)高二月考）算籌是在珠算發(fā)明以前我國(guó)獨(dú)創(chuàng)并且有效的計(jì)算工具，為我國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了很大貢獻(xiàn)

8、.在算籌計(jì)數(shù)法中，以“縱式”和“橫式”兩種方式來(lái)表示數(shù)字，如圖：表示多位數(shù)時(shí)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，遇零則置空，如圖：如果把5根算籌以適當(dāng)?shù)姆绞饺糠湃?下面的表格中，那么可以表示的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）ABCD【答案】B【解析】按每一位算籌的根數(shù)分類一共有15種情況,如下 2根以上的算籌可以表示兩個(gè)數(shù)字，運(yùn)用分布乘法計(jì)數(shù)原理，則上列情況能表示的三位數(shù)字個(gè)數(shù)分別為：2，2，2，4，2，4，4，4，4，4，2，2，4，2，2，根據(jù)分布加法計(jì)數(shù)原理，5根算籌能表示的三位數(shù)字個(gè)數(shù)為：.故選B.12（2018浙江省高三三模）三位數(shù)中，如果百位數(shù)字、十位數(shù)字、個(gè)位數(shù)字剛

9、好能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱為“等差三位數(shù)”，例如：147，642，777，420等等.等差三位數(shù)的總個(gè)數(shù)為（ ）A32B36C40D45【答案】D【解析】由題意得若百位數(shù)字、十位數(shù)字、個(gè)位數(shù)字構(gòu)成公差為0的“等差三位數(shù)”，則只要各位數(shù)字不為零即可，有9個(gè)；若百位數(shù)字、十位數(shù)字個(gè)位數(shù)字構(gòu)成公差為1的“等差三位數(shù)”，則百位數(shù)字不大于7，有7個(gè)；若百位數(shù)字、十位數(shù)字、個(gè)位數(shù)字構(gòu)成公差為2的“等差三位數(shù)”，則百位數(shù)字不大于5，有5個(gè)；若百位數(shù)字十位數(shù)字個(gè)位數(shù)字構(gòu)成公差為3的“等差三位數(shù)”，則百位數(shù)字不大于3，有3個(gè)；若百位數(shù)字、十位數(shù)字、個(gè)位數(shù)字構(gòu)成公差為4的“等差三位數(shù)”，則百位數(shù)字只能為1，有1個(gè)；若

10、百位數(shù)字、十位數(shù)字、個(gè)位數(shù)字構(gòu)成公差為的“等差三位數(shù)，則百位數(shù)字不小于2，有8個(gè)；若百位數(shù)字、十位數(shù)字、個(gè)位數(shù)字構(gòu)成公差為的“等差三位數(shù)”，則百位數(shù)字不小于4，有6個(gè)；若百位數(shù)字、十位數(shù)字、個(gè)位數(shù)字構(gòu)成公差為的“等差三位數(shù)”，則百位數(shù)字不小于6，有4個(gè)；若百位數(shù)字、十位數(shù)字個(gè)位數(shù)字構(gòu)成公差為的“等差三位數(shù)”，則百位數(shù)字不小于8有2個(gè).綜上所述，“等差三位數(shù)”的總數(shù)為個(gè)，故選：D.二、填空題13（2020四川省瀘縣第二中學(xué)高二期中（理）已知某種新產(chǎn)品的編號(hào)由1個(gè)英文字母和1個(gè)數(shù)字組成，且英文字母在前，數(shù)字在后.已知英文字母是，這5個(gè)字母中的1個(gè)，數(shù)字是1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個(gè)數(shù)字

11、中的一個(gè)，則共有_個(gè)不同的編號(hào)（用數(shù)字作答）.【答案】45【解析】對(duì)于英文字母來(lái)說(shuō)，共有5種可能，對(duì)于數(shù)字來(lái)說(shuō)，共有9種可能，按照分步乘法原理，即可知道共有個(gè)不同的編號(hào).14（2020汪清縣汪清第六中學(xué)高二期中（理）現(xiàn)有4種不同顏色要對(duì)如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法種數(shù)為_(kāi).【答案】48【解析】根據(jù)題意，設(shè)需要涂色的四個(gè)部分依次分A、B、C、D， 對(duì)于區(qū)域A，有4種顏色可選，有4種涂色方法， 對(duì)于區(qū)域B，與區(qū)域A相鄰，有3種顏色可選，有3種涂色方法， 對(duì)于區(qū)域C，與區(qū)域A,B相鄰，有2種顏色可選，有2種涂色方法， 對(duì)于區(qū)域D，與區(qū)域B,C相鄰

12、，有2種顏色可選，有2種涂色方法， 則不同的涂色方法有種.故答案為：4815（2018浙江省高三月考）用黑白兩種顏色隨機(jī)地染如圖所示表格中6個(gè)格子，每格子染一種顏色，并且從左往右數(shù)，不管數(shù)到哪個(gè)格子，總有黑色格子不少于白色格子的染色方法種數(shù)為_(kāi)【答案】20【解析】從左往右數(shù)，不管數(shù)到哪個(gè)格子，總有黑色格子不少于白色格子包含的情況有：全染黑色，有1種方法；第一個(gè)格子染黑色，另外5個(gè)格子中有1個(gè)格子染白色，剩余的都染黑色，有5種方法；第一個(gè)格子染黑色，另外5個(gè)格子中有2個(gè)格子染白色，剩余的都染黑色，有9種方法；第一個(gè)格子染黑色，另外5個(gè)格黑子中有3個(gè)格子染白色，剩余的都染黑色，有5種方法所以從左往

13、右數(shù)，不管數(shù)到哪個(gè)格子，總有黑色格子不少于白色格子的染色方法數(shù)為故答案為：16（2020山東省高二期中）用0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)字，可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是_；可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi).【答案】100 180 【解析】百位的數(shù)字可以選擇的種數(shù)為種，十位，個(gè)位可以選的種數(shù)分別為5種，4種則可組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的種數(shù)為；可組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的種數(shù)為.故答案為：(1).100；(2). 180三、解答題17小明同學(xué)要從教學(xué)樓的一層到四層，已知從第一層到第二層有4個(gè)扶梯可走，從第二層到第三層有3個(gè)扶梯可走，從第三層到第四層有2個(gè)扶梯可走，那么小明同學(xué)從第一層到第四

14、層有多少種不同的走法？【答案】24【解析】第1步，從第一層到第二層有4種不同的走法；第2步，從第二層到第三層有3種不同的走法；第3步，從第三層到第四層有2種不同的走法；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，小明同學(xué)從教學(xué)樓的第一層到第四層的不同走法有種18（2020唐山市第十一中學(xué)高二期中）某班有男生28名、女生20名，從該班選出學(xué)生代表參加校學(xué)代會(huì)（1）若學(xué)校分配給該班1名代表，則有多少種不同的選法？（2）若學(xué)校分配給該班2名代表，且男、女生代表各1名，則有多少種不同的選法？【答案】（1）48；（2）560.【解析】（1）選出1名代表，可以選男生，也可以選女生，因此完成“選1名代表”這件事分2類：第1類，從

15、男生中選出1名代表，有28種不同方法；第2類，從女生中選出1名代表，有20種不同方法根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有282048種不同的選法（2）完成“選出男、女生代表各1名”這件事，可以分2步完成：第1步，選1名男生代表，有28種不同方法；第2步，選1名女生代表，有20種不同方法根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有2820560種不同的選法19（2020宜昌市人文藝術(shù)高中（宜昌市第二中學(xué)）高二月考）已知集合，若a，b，cM，則：（1）可以表示多少個(gè)不同的二次函數(shù)？（2）可以表示多少個(gè)圖象開(kāi)口向上的二次函數(shù)？【答案】（1）180；（2）72.【解析】（1）因?yàn)閍不能取0，所以有5種取法，b有6種取法，c有6種

16、取法，所以可以表示個(gè)不同的二次函數(shù).（2）的圖象開(kāi)口向上時(shí)，a不能取小于等于0的數(shù)，所以有2種取法，b有6種取法，c有6種取法，所以可以表示個(gè)圖象開(kāi)口向上的二次函數(shù)20（2019甘南藏族自治州合作第一中學(xué)高二期中（理）一個(gè)口袋里有5封信，另一個(gè)口袋里有4封信，各封信內(nèi)容均不相同.（1）從兩個(gè)口袋中任取一封信，有多少種不同的取法？（2）從兩個(gè)口袋里各取一封信，有多少種不同的取法？（3）把這兩個(gè)口袋里的9封信，分別投入4個(gè)郵筒，有多少種不同的投法？【答案】（1）9，（2）20，（3）【解析】（1）任取一封信，不論從哪個(gè)口袋里取，都能單獨(dú)完成這件事，是分類問(wèn)題從第一個(gè)口袋中取一封信有5種情況，從第二

17、個(gè)口袋中取一封信有4種情況則共有種（2）各取一封信，不論從哪個(gè)口袋中取，都不能完成這件事，是分步問(wèn)題應(yīng)分兩個(gè)步驟完成，第一步，從第一個(gè)口袋中取一封信有5種情況，第二步，從第二個(gè)口袋中取一封信有4種情況由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種（3）第一封信投入郵筒有4種可能第二封信投入郵筒有4種可能第九封信投入郵筒有4種可能由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有種不同的投法21（2020南京市中華中學(xué)高二月考）現(xiàn)有3名醫(yī)生，5名護(hù)士、2名麻醉師（1）從中選派1名去參加外出學(xué)習(xí)，有多少種不同的選法？（2）從這些人中選出1名醫(yī)生、1名護(hù)士和1名麻醉師組成1個(gè)醫(yī)療小組，有多少種不同的選法？【答案】（1）10；（2）30【解析】（1）分三類：第一類：選出的是醫(yī)生，共有3種選法； 第二類：選出的是護(hù)士，共有5種選法；第三類：選出的是麻醉師，共有2種選法；根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有3+5+2=10種選法.（2）分三步：第一步：選出1名醫(yī)生，共有3種選法； 第二步：選出1名護(hù)士，共有5種選法；第三步：選出1名麻醉師，共有2種選法；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種選法.22（2020武漢市鋼城第四中學(xué)高二期中）某校學(xué)生會(huì)由高一年級(jí)5人，高二年級(jí)