1、第3講獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ图岸?xiàng)分布相互獨(dú)立事件核心提煉相互獨(dú)立事件(1)對(duì)于事件 A B,若A的發(fā)生與B的發(fā)生互不影響，則稱 A B是相互獨(dú)立事件.(2)若A與B相互獨(dú)立，則 A與B, A與B, A與B也都相互獨(dú)立. 若P(AB = P(A)RE),則A與B相互獨(dú)立.典型例題例1 (1)(2019 浙江“七彩陽(yáng)光”聯(lián)盟高三聯(lián)考)小明喜歡玩有三個(gè)關(guān)卡的通關(guān)游戲,2 3 4根據(jù)他的游玩經(jīng)驗(yàn)，每次開(kāi)啟一個(gè)新的游戲，這三個(gè)關(guān)卡他能夠通過(guò)的概率分別為個(gè)游戲的游戲規(guī)則是：如果玩者沒(méi)有通過(guò)上一個(gè)關(guān)卡，他照樣可以玩下一個(gè)關(guān)卡，但玩該游戲的得分會(huì)有影響)，則小明在開(kāi)啟一個(gè)新的游戲時(shí)，他能夠通過(guò)兩個(gè)關(guān)卡的概率為設(shè)X

2、表示他能夠通過(guò)此游戲的關(guān)卡的個(gè)數(shù)，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為(2)某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為2 3刊g.現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A,乙組研發(fā)新產(chǎn)品 B設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立.求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率;若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)120萬(wàn)元；若新產(chǎn)品B研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)100萬(wàn)元.求該企業(yè)可獲利潤(rùn)的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解】(1)隨機(jī)變量X的所有可能取值為 0, 1,2, 3.11111111.又 P(X= 2) =(1 -2)x3x4 + 2 = ()A. 2AB. 2 或21C.2D. 1(2)在某校教師趣味投籃比賽中，比賽規(guī)則是：每場(chǎng)投6

3、個(gè)球，至少投進(jìn) 4個(gè)球且最后2個(gè)球都投進(jìn)者獲獎(jiǎng)；否則不獲獎(jiǎng)，已知教師甲投進(jìn)每個(gè)球的概率都是23.記教師甲在每場(chǎng)的 6次投球中投進(jìn)王的個(gè)數(shù)為 X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望和方差;求教師甲在一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率.2_. _一 aa 一 2.一【解】(1)選C.因?yàn)榉植剂兄懈怕屎蜑?,所以萬(wàn)+2=1,即a + a 2=0,解得a=-，、 12(舍去)或a=1,所以E(X) =2.2(2)X的所有可能取值為0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.依條件可知，XB(6 , -) , P(X= k)=3工 2 k 1 6 k TOC o 1-5 h z Ck - (-) (-)6 (k=0, 1, 2, 3

4、, 4, 5, 6). 33所以X的分布列為X0123456P1729424320243160729802436424364729一、，.一 2., _2因?yàn)?XB(6 , 3),所以 E(X) = 6X 3- = 4. TOC o 1-5 h z 1 4 D(X)=6X-x- = .3 3設(shè)教師甲在一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)為事件A,121223232則P(A)=c4,(3) (3) + C4 3 (3) +(3)=所，即教師甲在一場(chǎng)比賽中秋獎(jiǎng)的概率為所.圖呦S國(guó)(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)滿足的條件獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是在同樣的條件下重復(fù)地、各次之間相互獨(dú)立地進(jìn)行的一種試驗(yàn)，在這種 試驗(yàn)中，每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即某

5、事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗(yàn)中 發(fā)生的概率都是一樣的.(2)二項(xiàng)分布的判斷每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率是相同的.各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的.每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生.隨機(jī)變量是這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練51 .設(shè)隨機(jī)變量 七B(2 , p),刀B(4 , p),若R己1) = -,則R刀2)的值為()9c 11B. 一2716D- 81八32A. -81 65C.二 81 TOC o 1-5 h z 解析：選B.因?yàn)殡S機(jī)變量EB(2 , p),刀B(4 , p),又P(1)=1 P(=0)=12 5 -11(1 p) = Q,斛得 p =

6、Z,所以 刀B(4,與)，則 P(r 2)=1 P(T =0) P( T=1) = 1 9331 411 3 1111- Cx 1 - x-=. 333 272.某風(fēng)沙鹽堿地為了擺脫經(jīng)濟(jì)不發(fā)達(dá)的困擾，決定種植一片環(huán)保林，已知在一年中，該 1 環(huán)保林在當(dāng)?shù)孛考径仍馐茏匀粸?zāi)害的概率為2,且每次受災(zāi)與否互不影響.若在 1年內(nèi)，沒(méi)有受災(zāi)，地方經(jīng)濟(jì)可增加 100萬(wàn)元；受災(zāi)一次，仍可增加40萬(wàn)元；受災(zāi)2次，經(jīng)濟(jì)可增加10萬(wàn)元；若受災(zāi)3次或3次以上，地方經(jīng)濟(jì)不但沒(méi)有增加反而減少10萬(wàn)元.求該地種植環(huán)保林后在1年內(nèi)的經(jīng)濟(jì)增加值 X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：依題意：X的可能取值為100, 40, 10, 10.

7、TOC o 1-5 h z 0 1 01 41且 P( X= 100) = C4 2 X 2 =, 小 7 1 11 3 1P(X= 40) =C4 - X -=-, 224n 1 21 23p(x= 10) =c2 2 x 2 =8，3 1 31 14 1p(x= 10) = c32 x2 +c42所以X的分布列為X1004010-10P1135164816一,1135135所以 日X) =100X g+40X 4+10X g+l 10) X n=-8-. TOC o 1-5 h z 專(zhuān)題強(qiáng)化訓(xùn)練1 .如果己B(5 , 0.1),那么 PR W2) =()A. 0.072 9B. 0.008

8、 56C. 0.918 54D. 0.991 44解析：選 D.P(己 W2) = P( 己=0) + P( 己=1) + P(己=2)2c5 (0.1) k (0.9) 5 kk= 0_ _5_ _45X4_2_ _3=(0.9) +5X(0.1) x (0.9)(0.1) x (0.9)= 0.590 49 +0.328 05 +0.072 9= 0.991 44.2 .在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分，若某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.8 ,則他罰球兩次得分的均值為()A. 0.8 分B. 1.2 分C. 1.6 分D. 2分解析：選C.設(shè)罰球得分為 X,則X的所有取值為0, 1

9、, 2.P(X= 0) = C2X 0.8 X 0.2 2= 0.04 ,p(X= 1) =C2X0.8 X 0.2 =0.32 ,p(X= 2) = dx 0.8 2X 0.2 = 0.64 ,E(X) =0.04 X 0+0.32 X 1 + 0.64 X 2= 1.6.3.投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上“為事件A, “骰子向上的點(diǎn)數(shù)是3”為事件B,則事件A, B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率是()5A.121B.- 27 C.123D.4解析：選C.依題意，得P(A)=2, P(B)=6,且事件A, B相互獨(dú)立，則事件 A B中至少 -157.有一個(gè)發(fā)生的概率為 1 RA

10、-B) = 1 P( A) P( B) =13X=而，故選C.4.投籃測(cè)試中，每人投 3次，至少投中2次才能通過(guò)測(cè)試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6 ,且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為A. 0.648B. 0.432C. 0.36D. 0.312解析：選A.3次投籃投中2次的概率為 P(X= 2)=C3X0.62X(1 -0.6)為P(X= 3) =0.6 3,所以通過(guò)測(cè)試的概率為RX= 2)+P(X= 3)=C3X0.6 2X,投中3次的概率3(1 0.6) + 0.6 =0.648.故選 A. 一 35.化019臺(tái)州局三期末質(zhì)量評(píng)估)經(jīng)檢帆有一批廣品的合格率為4現(xiàn)

11、從這批廣品中任取5件，設(shè)取得合格產(chǎn)品的件數(shù)為E ,則R E =k)取得最大值時(shí)，k的值為()A. 5B. 4C. 3D. 23 k 3解析：選B根據(jù)題意得，-=心=弓”尸*0, 1, 2, 3, 4, 5,則也=0 30) = C5 41 51u 3 11 44 =45, PH = D =。(2 x =152321 3 9045, PH =2) = C5(R X(4) =-45, P(=3)73 31 2 2704 3 41 14057 3 51 0243 上一，=C5(4) xq)=才，p(= 4) = C5(4)xq)=-4,P(己=5) =C5C4)x(4)=寸，故當(dāng) k =4時(shí)，P(

12、E = k) 最大.6.某商場(chǎng)在兒童節(jié)舉行回饋顧客活動(dòng)，凡在商場(chǎng)消費(fèi)滿100元者即可參加射擊贏玩具活動(dòng)，具體規(guī)則如下：每人最多可射擊3次，一旦擊中，則可獲獎(jiǎng)且不再繼續(xù)射擊，否則一直射擊到3次為止.設(shè)甲每次擊中的概率為 p(pw0),射擊次數(shù)為 刀，若刀的數(shù)學(xué)期望 日刀)； 則p的取值范圍是()1A. 0, 2B. (0, 1)一 1 ,1C. 2， 1D. 0, 2解析：選 A.由已知得 P( Y =1) =p, P(刀=2) =(1 p)p, P(刀=3) = (1 -p)2,則 E(刀)227-5 ,、1 一 一一， 一 1=p+ 2(1 p) p+3(1 - p) = p 3p+ 34,

13、斛得 p2或 p5，又 p e (0, 1),所以 p e 0, 2 . 一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則D;X=.解析：依題意，X B(100 , 0.02) ,所以 DX= 100X0.02 X(1 0.02) = 1.96.答案：1.96 1 1 .國(guó)慶節(jié)放假，甲去北京旅游的概率為乙去北京旅游的概率為 :，假定二人的行動(dòng)相 TOC o 1-5 h z 34互之間沒(méi)有影響，那么這段時(shí)間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為.解析：記在國(guó)慶期間“甲去北京旅游”為事件A, “乙去北京旅游”為事件 B,又P( A B)=P( A)

14、 P( B)=1 -P(A)1 -P(E) = 1-3 1一=；,342甲、乙二人至少有一人去北京旅游的對(duì)立事件為甲、乙二人都不去北京旅游，故所求概率為 1P( A B) = 1-2=1.-1答案：2.拋擲兩枚骰子，當(dāng)至少一枚5點(diǎn)或一枚6點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功，則在 10次試驗(yàn)中成功次數(shù)的均值為 .4 4 4. 一 ,解析：拋擲兩枚骰子，當(dāng)兩枚骰子不出現(xiàn)5點(diǎn)和6點(diǎn)時(shí)的概率為-X-=-,所以至少有一6 6 9 45 5次出現(xiàn)5點(diǎn)或6點(diǎn)的概率為1 9=9,用X表木10次試驗(yàn)中成功的次數(shù)，則 XB 10, 9 ,E(X) =10X5_ 509= 9答案:509.某畢業(yè)生參加人才招聘會(huì)，分別向甲、

15、乙、丙三個(gè)公司投遞了個(gè)人簡(jiǎn)歷.假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為 2,得到乙、丙兩公司面試的概率均為p,且三個(gè)公司是否讓其31、口 ，面試是相互獨(dú)立的.記 X為該畢業(yè)生得到面試的公司個(gè)數(shù).若RX= 0)=,則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X) =.解析：由題意知 P(X= 0) = -(1 p)2=7,所以P=53122隨機(jī)變量X的分布列為：X0123P1151123126E(X)=0X 11-+ 1X 3+2x152+3x1=5. 123126 3答案：7 311. (2019 開(kāi)封第一次模擬)某生物產(chǎn)品，每一個(gè)生產(chǎn)周期成本為20萬(wàn)元，此產(chǎn)品的產(chǎn)量受氣候影響、價(jià)格受市場(chǎng)影響均具有隨機(jī)性，且互不影響

16、，其具體情況如下表:產(chǎn)量(噸)3050概率0.50.5市場(chǎng)價(jià)格(萬(wàn)元/噸)0.61概率0.40.6(1)設(shè)X表示1個(gè)生產(chǎn)周期此產(chǎn)品的利潤(rùn)，求X的分布列;(2)連續(xù)3個(gè)生產(chǎn)周期，求這 3個(gè)生產(chǎn)周期中至少有2個(gè)生產(chǎn)周期的利潤(rùn)不少于10萬(wàn)元的概率.解：(1)設(shè)A表示事件“產(chǎn)品產(chǎn)量為 30噸”，B表示事件“產(chǎn)品市場(chǎng)價(jià)格為0.6萬(wàn)元/噸”，則 P(A) = 0.5 , RB) =0.4 ,因?yàn)槔麧?rùn)=產(chǎn)量X市場(chǎng)價(jià)格-成本, 所以X的所有值為50X 1 20=30, 50X0.6 20=10,30X 1 20=10, 30X0.6 20= 2,則 P( X= 30) = P( A) R B) = (1 0.

17、5) X (1 0.4) = 0.3 ,P(X= 10) = R A) P(B) + P(A) R B) =(1 -0. 5) X0.4+0.5 X (1 - 0.4) =0.5 ,P(X= - 2) =P(AIP(B)=0.5 X0.4= 0.2 ,則X的分布列為X3010-2P0.30.50.2(2)設(shè)C表示事件“第i個(gè)生產(chǎn)周期的利潤(rùn)不少于10萬(wàn)元”(i = 1, 2, 3),則 C, C, G相互獨(dú)立,由(1)知，RC)=P(X= 30) + RX= 10) = 0.3 +0.5 =0.8( i =1 , 2, 3),連續(xù)3個(gè)生產(chǎn)周期的利潤(rùn)均不少于10萬(wàn)元的概率為 RCCO) =P(G)

18、RG)P(C3) =0.8 3 =.512 ,連續(xù)3個(gè)生產(chǎn)周期中有2個(gè)生產(chǎn)周期的利潤(rùn)不少于10萬(wàn)元的概率為 P( C C2G) + P( C G一一 -Z-2G) + P(CQ G ) =3X0.8 X 0.2 = 0.384,所以連續(xù)3個(gè)生產(chǎn)周期中至少有2個(gè)生產(chǎn)周期的利潤(rùn)不少于10萬(wàn)元的概率為 0.512 +.384 =0.896.12.小王在某社交網(wǎng)絡(luò)的朋友圈中，向在線的甲、乙、丙隨機(jī)發(fā)放紅包，每次發(fā)放(1)若小王發(fā)放5元的紅包2個(gè)，求甲恰得1個(gè)的概率;(2)若小王發(fā)放3個(gè)紅包，其中5元的2個(gè)，10元的1個(gè).記乙所得紅包的總錢(qián)數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.解：(1)設(shè)“甲恰得1個(gè)紅包”為

19、事件 A,，、”12 4則 P(A) =C1x-x-=-3 3 9(2) X的所有可能取值為 0, 5, 10, 15, 20.,-2 3P(X= 0)=3277 12P(X= 5) =C2X-X -33271 2 2P(X= 10) = - X- +332 2 16-X - =,33 27P(X= 15)=dx J32 4X - =一,3 27所以考生甲正確回答題數(shù)的分布列為123P- 53515E ) =1X -+2X 3+3X -=2. 55551P(X= 20)=可3127.X05101520P827827627427127X的分布列為:E(X) =0X8127+5X8-27+1027

20、一 4 一15X F20X2720工2713.在2017年全國(guó)高校自主招生考試中，某高校設(shè)計(jì)了一個(gè)面試考查方案：考生從 6道備選題中一次性隨機(jī)抽取 3題，按照題目要求獨(dú)立回答全部問(wèn)題.規(guī)定：至少正確回答其中2題的便可通過(guò).已知 6道備選題中考生甲有 4題能正確回答，2題不能回答；考生乙每題正確2回答的概率都為全且每題正確回答與否互不影響.3(1)分別寫(xiě)出甲、乙兩考生正確回答題數(shù)的分布列、并計(jì)算其數(shù)學(xué)期望;(2)試用統(tǒng)計(jì)知識(shí)分析比較兩考生的通過(guò)能力.解：(1)設(shè)考生甲、乙正確回答的題目個(gè)數(shù)分別為 c4c211, 2, 3,P( E =1)P( E = 2)c4c23=cT=55P( E = 3)

21、c4C21= -cT=5,-2又刀B 3,三,其分布列為30123P1248279927所以 E( t) ) =np=3x -= 2.3(2)因?yàn)?D 己)=(2 -1)2X1+(2 -2)2X3+(2 -3)2X = 2. 555 52 1 2D(Y)=np(1 - p) =3X ；rX-=-. 3 3 3所以DR )2) = 3 + 1= 0.8.5 5128P5 2) =27+-0.74 ,所以 P( E 2)R y 2).從回答對(duì)題數(shù)的數(shù)學(xué)期望考查，兩個(gè)水平相當(dāng)；從回答對(duì)題數(shù)的方差考查，甲較穩(wěn)定；從至少完成2題的概率考查.甲通過(guò)的可能性大.因此可以判斷甲的通過(guò)能力較強(qiáng).14.某公司準(zhǔn)備將 1 000萬(wàn)元資金投入到市環(huán)保工程建設(shè)中，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)