1、計(jì)數(shù)原理分類加法計(jì)數(shù)與分步乘法計(jì)數(shù)分類加法計(jì)數(shù)原理： 完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有 N=m+n種不同的方法。分類要做到“不重不漏”。分步乘法計(jì)數(shù)原理：完成一件事需要兩個(gè)步驟。做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=mn種不同的方法。分步要做到“步驟完整”。n元集合A=a1，a2，an的不同子集有2n個(gè)。排列與組合排列一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列(arrangement)。從n個(gè)不同元素中取出m(mn

2、)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號Anm表示。排列數(shù)公式：Anm=n!n-m!=nn-1n-2(n-m+1)n個(gè)元素的全排列數(shù)Ann=n!規(guī)定：0!=1組合一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素合成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合(combination)。從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號Cnm或nm表示。組合數(shù)公式： Anm=CnmAmmCnm=AnmAmm=n!m!n-m!=nn-1n-2(n-m+1)m! 規(guī)定：Cn0=1組合數(shù)的性質(zhì)：Cnm=Cnn-

3、m (“構(gòu)建組合意義”“殊途同歸”)Cn+1m=Cnm+Cnm-1 （楊輝三角）kCnk=nCn-1k-1*CnkCn-km-k=CnmCmk二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理(binomial theorem)(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cnkan-kbk+Cnnbn (nN*)其中各項(xiàng)的系數(shù)Cnk (k0，1，2，n)叫做二項(xiàng)式系數(shù)(binomial coefficient)；式中的Cnkan-kbk叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用Tk+1表示通項(xiàng)展開式的第k+1項(xiàng)：Tk+1=Cnkan-kbk*注意二項(xiàng)展開式某一項(xiàng)的系數(shù)與這一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是兩個(gè)不同的概念?！皸钶x三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)*表現(xiàn)

4、形式的變化有時(shí)能幫助我們發(fā)現(xiàn)某些規(guī)律！(1) 對稱性(2) 當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，共有奇數(shù)項(xiàng)，中間的一項(xiàng)Cnn2+1取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，共有偶數(shù)項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)Cnn-12，Cnn+12同時(shí)取得最大值。(3) 各二項(xiàng)式系數(shù)的和為 2n=Cn0+Cn1+Cn2+Cnk+Cnn(4) 二項(xiàng)式展開式中，奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和等于偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和：Cn0+Cn2+Cn4+=Cn1+Cn3+Cn5+(5) 一般地，Crr+Cr+1r+Cr+2r+Cn-1r=Cnr+1 (nr)隨機(jī)變量及其分布2.1 離散型隨機(jī)變量及其分布2.1.1 離散型隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量(random v

5、ariable)。隨機(jī)變量和函數(shù)都是一種映射，隨機(jī)變量把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果映為實(shí)數(shù)，函數(shù)把實(shí)數(shù)映為實(shí)數(shù)。試驗(yàn)結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域。所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量(discrete random variable)。概率分布列(probability distribution series)，簡稱為分布列(distribution series)。Xx1x2xixnPp1p2pipn也可用等式表示：PX=xi=pi ，i=1，2，n根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機(jī)變量的分布列具有如下性質(zhì)：pi0，i=1，2，n；i=1npi=1隨機(jī)變量X的均

6、值(mean)或數(shù)學(xué)期望(mathematical expectation)：EX=x1p1+x2p2+xipi+xnpn它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平。隨機(jī)變量X的方差(variance)刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度DX=i=1n(xi-E(X)2pi其算術(shù)平方根D(X)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差(standard deviation)。EaX+b=aEX+bDaX+b=a2DX若隨機(jī)變量X的分布具有下表的形式，則稱X服從兩點(diǎn)分布(two-point distribution)，并稱p=P(X=1)為成功概率。(兩點(diǎn)分布又稱0-1分布。由于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)叫伯努利

7、試驗(yàn)，所以兩點(diǎn)分布又叫伯努利分布)X01P1-pp若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)=p ，D(X)=p(1-p)一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則PX=k=CMkCN-Mn-kCNn ，k=0，1，2，mX01mPCM0CN-Mn-0CNnCM1CN-Mn-1CNnCMmCN-Mn-mCNn其中m=minM，n，且nN，MN，n，M，NN*如果隨機(jī)變量X的分布列具有上表的形式，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布(hypergeometric distribution)。2.2 二項(xiàng)分布及其應(yīng)用2.2.1 條件概率一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)事件，且P(A)0，稱PBA=P(AB

8、)P(A)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率(conditional probability)。如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則PBCA=PBA+P(C|A)2.2.2 事件的相互獨(dú)立性設(shè)A，B為兩個(gè)事件，若P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A與事件B相互獨(dú)立(mutually independent)?？梢宰C明，如果事件A與B相互獨(dú)立，那么A與B，A與B，A與B也都相互獨(dú)立。2.2.3 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布一般地，在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)(independent and repeated trials)。PA1A2An=PA1P(A2)P(An)其中Ai (

9、i=1，2，n)是第i次試驗(yàn)的結(jié)果。一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則PX=k=Cnkpk(1-p)n-k ， k=0，1，2，n此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布(binomial distribution)，記作XB(n，p)，并稱p為成功概率。若XB(n，p) ，則EX=k=0nkCnkpkqn-k=k=1nnpCn-1k-1pk-1qn-1-(k-1)=npk=0n-1Cn-1kpkqn-1-k=np(p+q)n-1=npD(X)=np(1-p)*隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，而樣本的平均值是隨著樣本的不同而變化的，因此樣本的平均值是隨機(jī)變量。隨機(jī)變量的方差是常數(shù)，而樣本的方差是隨著樣本的不同而變化的，因此樣本的方差是隨機(jī)變量。2.4 正態(tài)分布一般地，如果對于任何實(shí)數(shù)a，b (ab)，隨機(jī)變量X滿足，x=12e-(x-)222 ，x（-，+）Pa0，P-aX+a=-a+a，(x)dx該面積隨著的減少而變大。這說明越小，X落在區(qū)間(-a，+a的概率越大，即X集中在周圍概率越大。特別有P-X+=0.6826