1、第4章 矩陣的因子分解4.1 初等矩陣4.2 滿秩分解4.3 三角分解4.4 QR分解4.5 Schur定理與正規(guī)矩陣4.6 奇異值分解4.1 初等矩陣4.1.1 初等矩陣4.1.2 初等下三角矩陣4.1.3 Householder矩陣4.1.1 初等矩陣定義4.1.1 設(shè) ，為一復(fù)數(shù)，如下形式的 矩陣稱為初等矩陣. 定理4.1.1 初等矩陣E(u,v,)具有如下性質(zhì)：4.1.2 初等下三角矩陣稱為初等下三角矩陣, 即對初等下三角矩陣，當(dāng)i 0,則存在 mr 矩陣B 和 rn 矩陣 C 使得并且rank(B) = rank(C) = r. 什么是矩陣的滿秩分解？ 矩陣的滿秩分解是否存在？如果存

2、在，滿秩 分解是否唯一？ 如何計(jì)算矩陣的滿秩分解？ 滿秩分解有什么應(yīng)用？ 滿秩分解的應(yīng)用： 有關(guān)結(jié)論的證明。 計(jì)算廣義逆矩陣。4.3 三角分解 設(shè)A = (aij)是n 階矩陣，如果 A 的對角線下(上)方的元素全為零，即對i j, aij = 0（對i j,aij = 0），則稱矩陣 A 為上（下）三角矩陣。上三角矩陣和下三角矩陣統(tǒng)稱為三角矩陣。對角元全為1的上（下）三角矩陣稱為單位上（下）三角矩陣。 什么是矩陣的LU分解？ 矩陣的LU分解是否存在？如果存在， LU分解 是否唯一？ 如何計(jì)算矩陣的LU分解？ LU分解有什么應(yīng)用？上（下）三角矩陣的性質(zhì) 定理4.3.1（LU分解定理）設(shè) A 是

3、 n 階非奇異矩陣，則 存在唯一的單位下三角矩陣L和上三角矩陣U使得的充分必要條件是A的所有順序主子式均非零, 即定理4.3.2（LDU分解定理）設(shè)A是n階非奇異矩陣,則存在唯一的單位下三角矩陣L，對角矩陣D=diag(d1, d2,dn )和單位上三角矩陣U使得的充分必要條件是A的所有順序主子式均非零，即 ，并且分解式 稱為矩陣A的LDU分解。 一般說來，即使A是n階非奇異矩陣， A未必能作LU分解和LDU分解。定義4.3.1 設(shè)ei是n 階單位矩陣的第i列(i=1,2,n)，以 為列作成的矩陣 稱為 n 階排列矩陣，其中 是1,2,n的一個(gè)排列。定理4.3.3 設(shè) A是 n 階非奇異矩陣，

4、則存在排列矩陣P 使得其中L是單位下三角矩陣, 是上三角矩陣，U是單位上三角矩陣，D是對角矩陣。 排列矩陣的性質(zhì)。 排列矩陣的作用。LU分解的應(yīng)用： 求解線性方程組。 求解矩陣特征值問題。4.4 QR 分解定理4.4.1 設(shè) A是 n 階非奇異實(shí)（復(fù)）矩陣，則存在正交（酉）矩陣 Q 和非奇異實(shí)（復(fù)）上三角矩陣 R使得且除去相差一個(gè)對角元絕對值(模)全等于1的對角矩陣因子外分解式（4.4.1）是唯一的。 什么是矩陣的QR分解？ 矩陣的QR分解是否存在？如果存在，QR分解 是否唯一？ 如何計(jì)算矩陣的QR分解？ QR分解有什么應(yīng)用？定理4.4.3 設(shè)A 是 矩陣，且 ，則存在 m 階正交（酉）矩陣

5、Q 和 行滿秩矩陣 R使得或A有分解定理4.4.2 設(shè) A 是 實(shí)（復(fù)）矩陣，且其n 個(gè)列向量線性無關(guān)，則存在m 階正交（酉）矩陣Q 和 n階非奇異實(shí)（復(fù)）上三角矩陣R使得QR分解的應(yīng)用： 求解線性方程組。 求解矩陣特征值問題。 求解線性最小二乘問題。4.5 Schur定理與正規(guī)矩陣定義4.5.1則稱A正交（酉）相似于B。定理4.5.1(Schur定理) 任何一個(gè)n 階復(fù)矩陣A都酉相似于一個(gè)上三角矩陣，即存在一個(gè)n 階酉矩陣U 和一個(gè)n階上三角矩陣 R 使得其中R 的對角元是A 的特征值，它們可以按要求的次序排列。定義4.5.2則稱A為正規(guī)矩陣。定理4.5.2 n 階矩陣 A 酉相似于一個(gè)對角

6、矩陣的充分必要條件為 A 是正規(guī)矩陣。推論4.5.1 若 A是n 階Hermite矩陣，則 A必酉相似于實(shí)對角矩陣，即存在n 階酉矩陣U 使得(4.5.6)式稱為Hermite矩陣A的譜分解式。定理4.5.3 設(shè)A，B 均為n 階正規(guī)矩陣，并且AB = BA，則存在n 階酉矩陣U 使得 與 同時(shí)為對角矩陣。定理4.5.4 任何n 階實(shí)矩陣A都正交相似于一個(gè)擬上三角矩陣，即存在一個(gè)n階正交矩陣Q和一個(gè)n階擬上三角矩陣R使得其中R是塊上三角矩陣（或稱擬上三角矩陣）,其對角塊為1階塊或2階塊,每個(gè)1階塊是A的實(shí)特征值,而每個(gè)2階塊的兩個(gè)特征值是A的一對共軛復(fù)特征值,且R的對角塊可以按要求的次序排列。推論4.5.2 若 A是n 階實(shí)對稱矩陣，則 A正交相似于實(shí)對角矩陣，即存在n 階正交矩陣 Q 使得4.6 奇異值分解定義4.6.1則稱為A的奇異值，u 和v 分別稱為A對應(yīng)于奇異值的右奇異向量和左奇異向量。由(4.6.2)可得定理4.6.1 若A是正規(guī)矩陣，則 A