1、Differential equation model and its application第4篇 微分方程模型及應(yīng)用第13章 微分方程概念及簡單建模實例第14章 微分方程建模的綜合實例第15章 飲酒駕車模型2022/8/11 16:15:25第15章 飲酒駕車模型15-1 問題的提出15-2 模型的假設(shè)15-3 符號說明15-4 問題的分析15-5 模型的建立 與求解4.1、模型的建立4.2、模型的求解15-6 模型的評價15-7 短文 對酒后駕車說不2022/8/11 16:15:25據(jù)報載，2003年全國道路交通事故死亡人數(shù)為10.4372萬，其中因飲酒駕車造成的占有相當?shù)谋壤?。針對這

2、種嚴重的道路交通情況，國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗檢疫局2004年5月31日發(fā)布了新的車輛駕駛?cè)藛T血液、呼氣酒精含量閾值與檢驗國家標準，新標準規(guī)定，車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于20毫克百毫升，小于80毫克百毫升為飲酒駕車（原標準是小于100毫克百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克百毫升為醉酒駕車（原標準是大于或等于100毫克百毫升）。大李在中午12點喝了一瓶啤酒，下午6點檢查時符合新的駕車標準，緊接著他在吃晚飯時又喝了一瓶啤酒，為了保險起見他呆到凌晨2點才駕車回家，又一次遭遇檢查時卻被定為飲酒駕車，這讓他既懊惱又困惑，為什么喝同樣多的酒，兩次檢查結(jié)果會不一樣呢？15-1 問題的提出202

3、2/8/11 16:15:25請你參考下面給出的數(shù)據(jù)（或自己收集資料）建立飲酒后血液中酒精含量的數(shù)學模型，并討論以下問題：1.對大李碰到的情況做出解釋；2.在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多長時間內(nèi)駕車就會違反上述標準，在以下情況下回答：酒是在很短時間內(nèi)喝的；酒是在較長一段時間（比如2小時）內(nèi)喝的。3.怎樣估計血液中的酒精含量在什么時間最高；4.根據(jù)你的模型論證：如果天天喝酒，是否還能開車？5.根據(jù)你做的模型并結(jié)合新的國家標準寫一篇短文，給想喝一點酒的司機如何駕車提出忠告。15-1 問題的提出2022/8/11 16:15:25參考數(shù)據(jù)1.人的體液占人的體重的65%至70%，其中血液只占體重的

4、7%左右；而藥物（包括酒精）在血液中的含量與在體液中的含量大體是一樣的。2.體重約70kg的某人在短時間內(nèi)喝下2瓶啤酒后，隔一定時間測量他的血液中酒精含量（毫克百毫升），得到數(shù)據(jù)如表15-1。表15-1 喝兩瓶啤酒后的時間的血液中酒精含量（毫克百毫升）時間(小時)0.250.50.7511.522.533.544.55酒精含量306875828277686858515041時間(小時)678910111213141516酒精含量383528251815121077415-1 問題的提出2022/8/11 16:15:251）不同年齡段、不同性別、不同種族人的酒精代謝功能大致相同；15-2 模型

5、的假設(shè)2）喝的都是同一種酒，酒精含量相同；3）血液中的酒精含量與在短時間內(nèi)喝下的啤酒中的實際酒精含量成正比；4）大李的體重大約為70kg；5）假設(shè)血液的密度為1g/ml；6）酒精在血液中的含量與在體液中的含量大體相同。2022/8/11 16:15:2515-3 符號說明G 飲酒者的體重r 血液占體重的比例m1 酒精的密度m2血液的密度a 血液中酒精含量的變化率與單位時間內(nèi)的酒精含量的 比例系數(shù)b 酒精含量的消失率t 飲酒后的時間xn(t) 表示在短時間喝下n瓶酒后，t時刻血液中的酒精含量A(n) 表示積分常數(shù)C隨著飲酒量變化的系數(shù)T 飲酒消耗的時間M 飲酒的次數(shù) t0 血液中酒精含量達到峰值

6、的時刻xn(t,T,k) 表示在T時間內(nèi)第k次喝下酒后到 時刻血液中的 酒精含量N 飲酒的瓶數(shù)2022/8/11 16:15:2515-4 問題的分析眾所周知，司機酒后駕車的危險性非常大，我國道路交通事故中因飲酒駕車造成的占有相當比例，如何抑制？找出飲酒后酒精在血液中的變化規(guī)律至關(guān)重要。我們可以根據(jù)題目所給的參考數(shù)據(jù)作出散點圖，找出血液中酒精含量與時間的函數(shù)關(guān)系；也可以由相應(yīng)的醫(yī)學、化學以及數(shù)學知識，建立微分方程模型，找出血液中酒精含量與時間的函數(shù)關(guān)系。由這些函數(shù)關(guān)系分析解決如何控制飲酒、安全駕車的問題。2022/8/11 16:15:2515-5 模型的建立與求解4.1、模型的建立從某人喝下

7、2瓶啤酒后血液中的酒精含量表4-3-1中所給的數(shù)據(jù)可分析出，并不是喝下2瓶啤酒后血液中的酒精含量立即達到2瓶啤酒中實際的酒精含量。通過查閱醫(yī)學資料可知，自飲酒后2-5分鐘酒精開始進入血液，隨著身體對酒精的吸收，血液中酒精含量逐漸上升，在某一時刻達到了峰值，由于人體內(nèi)時刻進行著代謝，所以在達到某一峰值之后血液中的酒精含量將會衰減并逐漸趨向于0。某體重70kg的人喝下2瓶啤酒，通過查閱資料知1瓶啤酒的酒精含量為3.5%-4%，容量為640ml，酒精的密度為0.8kg/L。在喝下2瓶啤酒后血液中的實際酒精含量代入數(shù)據(jù)得203毫克/百毫升，表4-3-1所給數(shù)據(jù)的酒精含量都小于203毫克/百毫升，因此數(shù)

8、據(jù)符合由于體內(nèi)酒精代謝而導致酒精含量變化的規(guī)律，所以給出的血液中的酒精含量的數(shù)據(jù)可信性較高。 2022/8/11 16:15:2515-5 模型的建立與求解1）模型一：基于假設(shè)3，體重約70kg的某人在短時間內(nèi)喝下1瓶啤酒后，隔一定時間血液中酒精含量如表15-2表15-2 喝下一瓶啤酒后一定時間間隔內(nèi)體內(nèi)血液中的酒精含量變化表時間(小時)0.250.50.7511.522.533.544.55酒精含量153437.5414138.534342925.52520.5時間(小時)678910111213141516酒精含量1917.51412.597.5653.53.52根據(jù)表15-2中的數(shù)據(jù)，運

9、用 可作出酒精含量散點圖，見圖15-1。圖15-1 喝下一瓶啤酒后體內(nèi)酒精含量散點圖2022/8/11 16:15:25根據(jù)散點圖估計血液中酒精含量x(t)與時間t的關(guān)系為 （15.1） 其中B為常數(shù)。 為了確定模型（15.1）中的常數(shù)B，對該式式兩邊取對數(shù)，得： 我們用表15-2中的數(shù)據(jù)通過 計算出B=71.199，這樣得到（15.2） 15-5 模型的建立與求解2022/8/11 16:15:25分別將不同的時刻帶入模型（15.2），可以求得不同時間間隔內(nèi)血液中的酒精含量，見表15-3。表15-3 擬合血液中的酒精含量變化表時間(小時)0.250.50.7511.522.533.544.5

10、5酒精含量313942434137322723191613時間(小時)678910111213141516酒精含量964220.90.60.40.20.20.1將表15-3與表15-2中的數(shù)據(jù)比較，可以看出擬合的數(shù)據(jù)并不理想，運用此模型也不能夠合理解釋問題1，所以此模型不夠合理，我們將進一步改進。15-5 模型的建立與求解2022/8/11 16:15:252）模型二：受模型一的啟發(fā)，并注意到模型一中的X(t)滿足是表示血液中酒精含量關(guān)于時間的彈性，這一彈性并非像模型一給出的是一常數(shù)，而是(1-t)/2.事實上，酒精在血液中含量的變化的規(guī)律是這樣的：剛開始喝酒的時候時間變化1%，血液中酒精含量

11、變化的百分數(shù)較大，但喝下酒后較長時間的時候血液中酒精含量變化的百分數(shù)較小。也就是酒精在人體內(nèi)變化的彈性系數(shù)是線性下降的變化趨勢，所以假設(shè)15-5 模型的建立與求解2022/8/11 16:15:25從而可得模型（15.3） 其中a,b均為大于0的常數(shù)。(15.3)是一階微分方程, 其通解為：（15.4） 其中C為積分常數(shù)為了確定(15.4)式中的常數(shù)a,b,C，對等式兩邊取對數(shù)，得：利用表15-2中數(shù)據(jù),用最小二乘法擬合出常數(shù)lnC,a,b;可決系數(shù)R2達到了0.9789，a,b兩參數(shù)的t統(tǒng)計量的值分別為：8.5056和-20.7408，且統(tǒng)計檢驗是高度顯著的。得15-5 模型的建立與求解20

12、22/8/11 16:15:25代入(15.4)得：我們將擬合的圖形與實際的散點圖相比較如圖15-2所示。（15.5） 圖15-2 擬合曲線與對應(yīng)的散點圖15-5 模型的建立與求解2022/8/11 16:15:25我們認為由模型二確定的常數(shù)a,b 對于飲酒量來說是不變的，為了表示喝n瓶酒后血液中酒精變化的規(guī)律，我們讓模型二中的積分常數(shù)C隨著飲酒量的變化而變化，記為A(n)，又假設(shè)在短時間內(nèi)喝下n瓶酒，這樣得 （15.6） 其中xn(t)表示在短時間內(nèi)喝下n瓶酒時血液中的酒精含量.(15.6)式是一個方程組，其中xn(0.25)=15n表示在喝完n瓶酒后0.25小時時血液的酒精含量，從而得A(

13、n)應(yīng)滿足方程（15.7） 3）模型三15-5 模型的建立與求解2022/8/11 16:15:254）模型四模型三中沒有考慮酒是在一段時間內(nèi)喝下的，這與實際情況不符，我們在模型三的基礎(chǔ)上，建立在0,T時間內(nèi)連續(xù)喝下 瓶酒后血液中的酒精變化規(guī)律模型，其中假設(shè)在0,T時間內(nèi)分M次喝完n瓶啤酒，每次間隔的時間為T/M，每次喝下后進入到血液中的酒精含量為x(T/M)n/M，第k次喝下酒后血液中的酒精含量滿足下列方程：（15.8） 其中xn(t,T,k)表示在T時間內(nèi)第k次喝下酒后到t時刻血液中的酒精含量。15-5 模型的建立與求解2022/8/11 16:15:25根據(jù)題目中的具體情況, 假設(shè)T=2

14、小時, M=8, x(T/M)=15，代入（15.8）得：（15.9） 在2小時內(nèi)喝完酒后t時刻血液中的酒精含量走勢圖見圖15-3。圖15-3 在2小時內(nèi)喝完酒后t時刻血液中的酒精含量走勢圖 15-5 模型的建立與求解2022/8/11 16:15:254.2、模型的求解1）問題1的求解由模型二的解（15.5）式，我們求出喝一瓶啤酒后血液中酒精含量的擬合值見表15-4。表15-4 喝一瓶啤酒后血液中酒精含量的擬合值時間（小時）0.250.50.7511.522.53酒精含量21.1828.0131.6533.8735.8335.9034.8933.28時間（小時）3.544.556789酒精含

15、量31.3329.2127.0424.8819.9117.1614.0211.37時間（小時）10111213141516酒精含量9.177.365.884.693.782.952.34從表15-4中可得出：大李在中午12點喝了一瓶啤酒，到下午6點時血液中的酒精含量為19.91毫克/百毫升，血液中的酒精含量小于20毫克/百毫升，所以在檢查時符合新的駕車標準。15-5 模型的建立與求解2022/8/11 16:15:25當在6點鐘又喝一瓶啤酒，此時血液里不僅含有第2瓶啤酒的酒精，同時第1瓶的酒精仍然存在，并且同時進行著酒精代謝。這時大李從喝第2瓶酒后的t時刻，血液中的酒精含量x2(t)應(yīng)滿足：其

16、中由（15.5）式算出x(6.25)=19.847，從而解出常數(shù)A=66.3625。因此大李從喝第2瓶酒后的t時刻，血液中的酒精含量（15.10） 大李在凌晨2點接受檢查時，從喝第2瓶酒后已經(jīng)過了8小時，將t=8帶入（15.10）式，得結(jié)果表明：此時血液中的酒精含量為22.5371毫克/百毫升, 超過了20毫克/百毫升, 所以檢查出他是飲酒駕車。 15-5 模型的建立與求解2022/8/11 16:15:252）問題2的求解當3瓶啤酒是在較短的時間內(nèi)喝下時，此時n=3，代入（15.7）式，得所以在短時間內(nèi)喝完3瓶酒后血液中的酒精含量x3(t)為:解得: A(3)=85.6978當x3(t)=8

17、5.6978時,解得： 結(jié)果表明：如果在短時間內(nèi)喝下3瓶啤酒，那么在酒后0.0387小時至9.7731小時血液中的酒精含量超過了20%，即在這一段時間內(nèi)駕車就會違反標準。15-5 模型的建立與求解2022/8/11 16:15:25討論3瓶啤酒是在較長的時間內(nèi)喝下的情況如果在較短的時間內(nèi)喝下3瓶啤酒就不需考慮喝酒的過程中酒精在體內(nèi)的代謝，但此問題要求在較長的時間內(nèi)喝下3瓶啤酒，所以在喝酒的過程中就需考慮酒精在體內(nèi)的代謝。解決此問題時。我們將2小時以0.25小時為單位分成8個時間段，假設(shè)每次喝酒的量為瓶，每隔0.25小時喝一次，喝8次。由(15.9)式求解得：當k=8時，即在2小時內(nèi)喝完酒后t時

18、刻血液中的酒精含量為計算結(jié)果表明：當t14.4911時血液中的酒精含量超過了20%，也即說明，在2小時內(nèi)喝完3瓶酒后在14.4911小時內(nèi)血液中的酒精含量超過了20%，即在這一段時間內(nèi)駕車就會違反標準注：此模型只給出了大概的時間范圍，如果給出一個比0.25更小的單位來劃分不同時刻，那么得出的時間范圍會更為精確。15-5 模型的建立與求解2022/8/11 16:15:253）問題3的求解血液中的酒精含量何時達到峰值與飲酒方式有關(guān)，與飲酒量無關(guān)，因此不同的飲酒方式使得血液中的酒精含量達到峰值的時間不同。針對本問題我們只考慮喝一次酒后血液中的酒精含量達到峰值的時間。此時，問題可轉(zhuǎn)化為求x(t)的最

19、大值，根據(jù)模型一，x(t)的導數(shù)為：得x(t)的唯一駐點 ：t0=a/b.所以由求極值的理論知， 15-5 模型的建立與求解2022/8/11 16:15:25當t=t0=a/b時， N達到最大值。因此，在喝酒后血液中的酒精含量達到最大值的時刻為a/b。將數(shù)據(jù)帶入a=0.4647,b=0.2640，求得t0=1.769（小時）即為血液中酒精含量達到最高的時刻。計算結(jié)果表明：喝完酒后血液中的酒精含量基本上都在 t0=1.769 小時達到峰值，這與相關(guān)文獻中給出了大多數(shù)飲酒者在飲完酒后30120分鐘血液中的酒精濃度達到峰值結(jié)論是相符的。15-5 模型的建立與求解2022/8/11 16:15:25

20、4）問題4的求解問題4要求我們用以上建立的模型論證：天天喝酒，是否還能開車。并未作出具體要求，但此問題的解決需要考慮到一天喝酒的次數(shù)和每次飲酒量。對此我們做以下詳細分析。首先我們假設(shè)一天只喝一次酒并且在短時間內(nèi)喝完,設(shè)喝下的量為N瓶。第一種情況：喝完酒后，一天中的每個時刻都能開車。也就是使Nx(t)的峰值小于20。此時根據(jù)問題3所估算出的x(t)達到峰值時的時刻t0，將t=t0代入方程Nx(t)20中，求得N的最大值為0.55瓶（352毫升），即當0N0.55時，一天中的每個時刻都能開車。 15-5 模型的建立與求解2022/8/11 16:15:25第二種情況：喝完酒后，一天中的各個時刻都不

21、能開車。即在喝完酒后的24個小時內(nèi) Nx(t)20，將t=24代入方程Nx(t)20，求得N的最小值8.57瓶（5484.8毫升）。即當N8.57（5484.8毫升）時，一天中的每個時刻都不能開車。第三種情況：一天之內(nèi)，有一段時間可以開車。此時0.55N8.57，這時隨著N的增加，可以開車的時間逐漸減少。其次假設(shè)一天喝二次酒, 每次的量相同為N，且每次間隔時間也相同, 為24/2=12小時. 此時也可分為三種情況.15-5 模型的建立與求解2022/8/11 16:15:25第一種情況：喝完酒后,一天中的各個時刻都能開車。由假設(shè)可看出，每天血液中的酒精含量的峰值一定出現(xiàn)在第二次飲酒后, 其時刻

22、仍為上述的t0 ,此時將t=t0代入方程Nx(t+12)+Nx(t)=20，求出N=0.5003瓶(320.192毫升)。即一天飲兩次，且每次的量0N0.5003時，一天之內(nèi)，各個時刻都能開車。第二種情況：喝完酒后，一天中的各個時刻都不能開車。根據(jù)假設(shè)，可以看出每天血液中的酒精含量最低值應(yīng)在第12個小時。即第二次喝酒之前。些時將t=12代入方程Nx(t)=20，求出N=3.4（2176毫升）。即當N3.4（2176毫升）時，一天之內(nèi)每時刻都不能開車。第三種情況：一天之內(nèi)，有一段時間可以開車，此時0.5N3.4，即隨著N的增加，可以開車的時間逐漸減少. 15-5 模型的建立與求解2022/8/11 16:15:25最后，我們再討論一天之內(nèi)喝n次酒、每次飲酒量相同為N的情況，且每次飲酒間隔時間相同