1、質(zhì)量階梯模型 A quality ladder model (Aghion and Howitt (1992)References: Aghion and Howitt (1992).Chapter 7 in Barro and Sala-i-Martin (2003).1.基本設(shè)定最終品只有一種,中間資本品有N種每一種中間品質(zhì)量的進步是階梯型的;當(dāng)質(zhì)量改進的研發(fā)成功時，質(zhì)量才會改進； 均衡時，只有最高質(zhì)量的中間品才能生產(chǎn).每次質(zhì)量改進的研發(fā)者都獲得了生產(chǎn)對應(yīng)質(zhì)量水平中間品的壟斷權(quán)。2最終品部門企業(yè)iNY = AZ)-a Xa,X是弟j種中間品產(chǎn)品的質(zhì)量調(diào)整量(Quality ladderi

2、iijlJj=1每種中間品從質(zhì)量1開始進步，隨后的質(zhì)量依次為q; q2; q3; : q 1:如果j部門進行了次質(zhì)量改進，那么該中間品部門獲得的級別是q; q2; q3; : q%，qKj +1(這些改進只能按順序出現(xiàn)，每次一個梯級)X,=q0Xj最終產(chǎn)品價格為1，與為中間品的價格.利潤最大化：max AL1_a 區(qū)(qKjX )a -wL -ILpXL,X.i Ji J iJJJ =1J =1F.O.CaAlS-aqaKjX廣 1 = p n Xq =aAls-aqaKjPix, = X,=苓i1-j1-aL總產(chǎn)出:Y = Z Y =ZZii i jr ， n15a AqaK j1-aL卜P

3、ija=AL1-aAL1-ai藝(qKjX )a ijJ=13.3中間品部門max(P - 1)XPjJ J因此，max(P - 1)X n max(P -1)PjjPja AqaK jPj1-a生產(chǎn)任何一單位中間品需要一單位最終產(chǎn)品，中間品的邊際成本為1對于不同質(zhì)量(最aK jaK j=(Aa 2)i/i-a q云因此制造的中間品數(shù)量為:Xj企業(yè)的利潤為：11 aaKaK兀(K,) = (- 1)X. =a-( Aa 2)i/i-a q 云 L =兀 q 1j11a兀=A1-a -2-a 1-a L?可以看作為基本利潤，相當(dāng)于質(zhì)量水平為K . = 0 （如果人口不變。利潤就恒定了）利潤隨質(zhì)量

4、提高而上升。盡管壟斷權(quán)對于一項發(fā)明是永久的，但當(dāng)競爭者帶來了新的質(zhì)量改進時，該壟斷的價值為0。令為第K .次質(zhì)量改進的開始時間，而且Lh為競爭者下次改進的時間。K jjj*1第KJ次創(chuàng)新保持其質(zhì)量先進的時間區(qū)間為T（K/） =tK +1 tK因此，從時間點看，第K .次質(zhì)量改進者獲得的全部利潤的凈現(xiàn)值為: KjjV(K ) = jW+1 兀(K )eJ(w)dwdv j t jK j如果利率不變的話，那么：V(k.) = k(k.)1 e-頃Kj)/ r14消費者c1-e 1u (c)=1e人口不增加，消費者的問題為:Mu (c)e-ptdt0s.t: a = w + ra - cc _r p

5、c e5質(zhì)量指數(shù)Na a 2k jY = AL1-a 乙 qaKj (Aa 2) 1a q 1a La總產(chǎn)出：J=1=(Aa 2a)亡詛q富j=1、 aK質(zhì)量指數(shù)：Q =乙必j=1Y = (Aaa)i_a LQik-中間品總量為：X = (Aaa )i_a LQ (對 X = (Ax 2)i/i- qL 加總) j6研發(fā)部門當(dāng)質(zhì)量為k .時，部門j中單位時間成功創(chuàng)新的概率為p(k .)。(Let p(k .) be the probability of success per unit time of a successful innovation in j when state of art

6、 is k .)(也就是p(Kj)是其他研究者將部門j質(zhì)量水平從Kj提高到Kr的單位時間概率，該概率取決于 研究工作，我們稍后討論。在此，我們將其看為一個給定的數(shù)據(jù)，所以現(xiàn)在壟斷失去壟 斷者地位的概率符合泊松過SPoisson過程)1壟斷者失去壟斷地位的概率epos)是時間的函數(shù)，因此保留壟斷者保留壟斷地位的 概率 1-e-p(Kjv )為了獲得將壟斷者關(guān)于研發(fā)成功的價值，我們需要關(guān)于壟斷地位的持續(xù)時間T(kj)的概率密度函數(shù)。將G (T )定義為在時期T (K )內(nèi)累積的概率，即T (K ) T的概率。G (T ) jj表明壟斷保持到T時刻的概率(到T時刻發(fā)生創(chuàng)新的概率，創(chuàng)新在T時刻發(fā)生的概

7、率為1-G (T )。在創(chuàng)新沒有發(fā)生條件下，單位時間出現(xiàn)創(chuàng)新的概率為p (K j )。因此G(T ) = 1 - exp(p(K )T )j1 Poisson過程(Poisson process，大陸譯泊松過程、普阿松過程等，臺譯卜瓦松遏程、布瓦松遏程、布 阿松遏程、波以松遏程、卜氏遏程等)，是以法國數(shù)學(xué)家泊松(1781 - 1840)的名字命名的。泊松過程是 隨機過程的一種，是以事件的發(fā)生時間來定義的。我們說一個隨機過程N(t)是一個時間齊次的一維泊松 過程，如果它滿足以下條件：-在兩個互斥(不重疊)的區(qū)間內(nèi)所發(fā)生的事件的數(shù)目是互相獨立的隨機變量。在區(qū)間七+廠1內(nèi)發(fā)生的事件的數(shù)目的概率分布為

8、：P(N(t+r)-N(ty)= k其中入是一個正數(shù)，是固定的參數(shù)，通常稱為P(N(t+r)-N(ty)= k其中入是一個正數(shù)，是固定的參數(shù)，通常稱為抵達率(arrival rate) 或度(intensity)。所以，如呈現(xiàn)泊松分布果給定在時間區(qū)間I + H之中事件發(fā)生的數(shù)目，則隨機變量其參數(shù)為 。泊松分布的參數(shù)入是單位時間(或單位面積)內(nèi)隨機事件的平均發(fā)生率。更一般地來說，一個泊松過程是在每個有界的時間區(qū)間或在某個空間(例如：一個歐幾里得平面或三維的 歐.幾里得空間)中的每一個有界的區(qū)域，賦予一個隨機的事件數(shù)，使得-在一個時間區(qū)間或空間區(qū)域內(nèi)的事件數(shù)，和另一個互斥(不重疊)的時間區(qū)間或空間

9、區(qū)域內(nèi)的事件數(shù)，這兩個隨機變量是獨立的。在每一個時間區(qū)間或空間區(qū)域內(nèi)的事件數(shù)是一個隨機變量，遵循泊松分 布。(技術(shù)上而言，更精確地來說，每一個具有有限測度的集合，都被賦予一 個泊松分布的隨機變量。)概率密度函數(shù) g概率密度函數(shù) g e) = G 0) = p(K) exp- p(K) “j壟斷者研發(fā)成功的價值為：E (V ) = M M(1- e-兀)p(K ) e-p(Kj),T d氣=Kjk r 0jr + p (K.)兀-p(K )E(V )經(jīng)濟學(xué)含義：r = K j EV ) KjK j市場收益率等于研發(fā)收益率。E(V )是發(fā)明的市場價值，相當(dāng)于資本的價值。等式右邊的研發(fā)收益包括當(dāng)前受

10、到收益減去當(dāng)前的資本的預(yù)期損失p(K j)E(匕.)，該損失來源于下 一次存在的創(chuàng)新的概率。(注：如果沒有創(chuàng)新，則發(fā)明的收益率為. 資本的收益 、八十八廠八六=次士二擊4切入妝，必然等于利率)。另外，失去壟斷單位的概率和利率r相E(V )資本的市場價格結(jié)合可得到一個實際的貼現(xiàn)率。根據(jù)前面的兀Kj.表達式，E(V )=兀qKjSa /(r + p(K j)研發(fā)技術(shù):我們假設(shè)研發(fā)成功的概率為p(Kj) = Z(Kj) 0(Kj)。帆Kj)為研發(fā)的投入成本。 自由進入的假設(shè)：研發(fā)部門的利潤為0，則：p(K .) EV(K . +1) = Z(K .)p(KNk )EV(K +1)-1 = 0 nNK

11、 )EV(K +1)-1 = 0a (k 廠1)n r + p (k . +1) = (k ,)兀q 1-a1a (k .+1)假設(shè)：Nk j) = g q - k8(K. J最簡單的形式為是，研發(fā)成功的概率恰好和下一梯級位置K. + 1上的產(chǎn)出負相關(guān)， 因此，r + p (K . +1) =j 兀上式表明，對各部門而言，單位時間研發(fā)成功的概率是相同的，與質(zhì)量階梯的位置無關(guān)， 而且該概率由下式?jīng)Q定：p = L 兀-r6如果利率不變的話，則p也不變。研發(fā)的總投入j部門的研發(fā)投入為1 丁兀rZ (K ) = P =(兀rg) qJ 81a (K +1)!Tq1ag成功概率對于所有部門都相同?？偟难?/p>

12、發(fā)支出為：Z =歹 Z (K ) = qa /1a Q (兀rg )J=1Q三丈qKja/1-a是總質(zhì)量指標。J=1經(jīng)濟體的總約束Y = C + X + ZY.X.Z( Y = (Aa 2a )1a LQ ;中間品總量為 X = (Aa 2a )頃 LQ )； Z = q賜/1-a Q .(?；? 都是關(guān)于Q的線性函數(shù)。進而，C也是Q的線性函數(shù)。因此，所有這些變量在增長率 都等于Q的增長率， .QYCXZ=VQYCXZ，一 、兀廠ppg J因為研發(fā)成功的概率是內(nèi)生的，所以該式并沒有給出模型的最終解。為得到關(guān)于增長的最終解，我們必須解釋質(zhì)量指標Q的行為總質(zhì)量指標的行為和內(nèi)生增長 在部門j中，qK

13、J.a/1a項在沒有創(chuàng)新出現(xiàn)時沒有變化，但在研發(fā)成功時則會提高到q (% +1)a/1 -a，成功的單位時間概率為p.因為p對所有部門都一樣，所以單位時間內(nèi)Q的預(yù)期變化為：E (AQ) =2 p L (KJ +1)a /1a 一 qKJa /1a 尤，Ja /1尤，Ja /1a = p | qa /1 a -1 Q=p I qa /1-a 1J=1Q在單位時間內(nèi)的預(yù)期變化比例為E (絲)=p | qa /1-a 1Q如果部門總數(shù)足夠大，那么大數(shù)法則表明2,在有限的時間段內(nèi)，Q的平均增長率將趨 近于上式的右邊。特別地，我們假定N足夠大，以確保我們可以將Q看作是可微的， 并且假定Q的變化并非隨機的，Q就等于上式的右邊。Y = p qa /1-a - 11. C 】_、=K-r qa q1|(.p =-K-r)55這表明增長率是利率的負函數(shù)。, C r p , 由于7 =因此，C Uqa/1-a 1得：P+0 qa /1a 1 r =z-Tr-1 + 0 qa /1a 1增長率為：兀.司pqa/1-a15 LN