1、 數(shù)學選修2-2知識點總結(jié)第一章 導數(shù)及其應用一、導數(shù)概念的引入1.導數(shù)的物理意義：瞬時速率。一般的，函數(shù)在處的瞬時變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導數(shù)，記作或，即=2.導數(shù)的幾何意義：曲線的切線.通過圖像,我們可以看出當點趨近于時，直線與曲線相切。容易知道，割線的斜率是，當點趨近于時，函數(shù)在處的導數(shù)就是切線PT的斜率k，即導函數(shù)：當x變化時，便是x的一個函數(shù)，我們稱它為的導函數(shù). 的導函數(shù)有時也記作,即二.導數(shù)的計算1.函數(shù)的導數(shù)2.函數(shù)的導數(shù)3.函數(shù)的導數(shù)4.函數(shù)的導數(shù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式:1若(c為常數(shù))，則；2 若,則;3 若,則4 若,則;5 若,則6 若,則7 若,則8 若,則導數(shù)

2、的運算法則1. 2. 3. 復合函數(shù)求導和,稱則可以表示成為的函數(shù),即為一個復合函數(shù)三.導數(shù)在研究函數(shù)中的應用1.函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù): 一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系：在某個區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減.2.函數(shù)的極值與導數(shù)極值反映的是函數(shù)在某一點附近的大小情況.求函數(shù)的極值的方法是:如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值;如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值;4.函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)函數(shù)極大值與最大值之間的關系.求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟求函數(shù)在內(nèi)的極值；將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是

3、最小值.四.生活中的優(yōu)化問題利用導數(shù)的知識,求函數(shù)的最大(小)值,從而解決實際問題第二章 推理與證明考點一 合情推理與類比推理根據(jù)一類事物的部分對象具有某種性質(zhì),退出這類事物的所有對象都具有這種性質(zhì)的推理,叫做歸納推理,歸納是從特殊到一般的過程,它屬于合情推理根據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似(或一致)性,推測其中一類事物具有與另外一類事物類似的性質(zhì)的推理,叫做類比推理.類比推理的一般步驟:找出兩類事物的相似性或一致性;用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì),得出一個明確的命題(猜想);考點二 演繹推理(俗稱三段論)由一般性的命題推出特殊命題的過程,這種推理稱為演繹推理.考點三 數(shù)學歸納法它是一

4、個遞推的數(shù)學論證方法.步驟:A.命題在n=1（或）時成立，這是遞推的基礎；B.假設在n=k時命題成立 C.證明n=k+1時命題也成立,完成這兩步,就可以斷定對任何自然數(shù)(或n=,且)結(jié)論都成立?？键c三 證明反證法:分析法:綜合法:第三章數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念考點一:復數(shù)的概念復數(shù):形如的數(shù)叫做復數(shù)，和分別叫它的實部和虛部.分類:復數(shù)中,當,就是實數(shù); ,叫做虛數(shù);當時,叫做純虛數(shù).復數(shù)相等:如果兩個復數(shù)實部相等且虛部相等就說這兩個復數(shù)相等.共軛復數(shù):當兩個復數(shù)實部相等,虛部互為相反數(shù)時,這兩個復數(shù)互為共軛復數(shù).復平面:建立直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面,x軸叫做實軸，y軸除去原點的部分叫

5、做虛軸。兩個實數(shù)可以比較大小，但兩個復數(shù)如果不全是實數(shù)就不能比較大小?？键c二：復數(shù)的運算1.復數(shù)的加，減，乘，除按以下法則進行設則2,幾個重要的結(jié)論(1) (2) (3)若為虛數(shù),則3.運算律(1) ;(2) ;(3)4.關于虛數(shù)單位i的一些固定結(jié)論：（1） （2） （3） （2）高中數(shù)學選修2-3基礎知識一基本原理1加法原理：做一件事有n類辦法，則完成這件事的方法數(shù)等于各類方法數(shù)相加。2乘法原理：做一件事分n步完成，則完成這件事的方法數(shù)等于各步方法數(shù)相乘。注：做一件事時，元素或位置允許重復使用，求方法數(shù)時常用基本原理求解。二排列：從n個不同元素中，任取m（mn）個元素，按照一定的順序排成一1

6、.2.(1)(2) ；(3)三組合：從n個不同元素中任取m（mn）個元素并組成一組，叫做從n 個不同的m 元素中任取 m 個元素的組合數(shù)，記作 Cn 。 1. 公式： 四處理排列組合應用題1.明確要完成的是一件什么事（審題） 有序還是無序 分步還是分類。2解排列、組合題的基本策略（1）兩種思路：直接法；間接法：對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉。這是解決排列組合應用題時一種常用的解題方法。（2）分類處理：當問題總體不好解決時，常分成若干類，再由分類計數(shù)原理得出結(jié)論。注意：分類不重復不遺漏。即：每兩類的交集為空集，所有各類的并集為全集。（3）分步處理：與分類處理類似，

7、某些問題總體不好解決時，常常分成若干步，再由分步計數(shù)原理解決。在處理排列組合問題時，常常既要分類，又要分步。其原則是先分類，后分步。（4）兩種途徑：元素分析法；位置分析法。3排列應用題：（1）窮舉法（列舉法）：將所有滿足題設條件的排列與組合逐一列舉出來；(2)、特殊元素優(yōu)先考慮、特殊位置優(yōu)先考慮；（3）相鄰問題：捆邦法：對于某些元素要求相鄰的排列問題，先將相鄰接的元素“捆綁”起來，看作一“大”元素與其余元素排列，然后再對相鄰元素內(nèi)部進行排列。 （4）全不相鄰問題，插空法：某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法.即先安排好沒有限制條件的元素，然后再將不相鄰接元素在已排好的元素之間

8、及兩端的空隙之間插入。（5）順序一定，除法處理。先排后除或先定后插解法一：對于某幾個元素按一定的順序排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同進行全排列，然后用總的排列數(shù)除于這幾個元素的全排列數(shù)。即先全排，再除以定序元素的全排列。解法二：在總位置中選出定序元素的位置不參加排列，先對其他元素進行排列，剩余的幾個位置放定序的元素，若定序元素要求從左到右或從右到左排列，則只有1種排法；若不要求，則有2種排法；（6）“小團體”排列問題采用先整體后局部策略 對于某些排列問題中的某些元素要求組成“小團體”時，可先將“小團體”看作一個元素與其余元素排列，最后再進行“小團體”內(nèi)部的排列。（7）分排問題用“直排法

9、”把元素排成幾排的問題，可歸納為一排考慮，再分段處理。（8）數(shù)字問題（組成無重復數(shù)字的整數(shù)） 能被2整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是偶數(shù)；不能被2整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是奇數(shù)。能被3整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)；能被9整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是9的倍數(shù)。能被4整除的數(shù)的特征：末兩位是4的倍數(shù)。能被5整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是0或5。能被25整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)是25，50，75。能被6整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)的偶數(shù)。4組合應用題：（1）“至少”“至多”問題用間接排除法或分類法:1.從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取3臺，其中至少要甲型和乙型電視機各一臺，則共有？不同的取法解

10、析1：逆向思考，至少各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取另一種型號的電視機，故不同的取法共有種解析2：至少要甲型和乙 型電視機各一臺可分兩種情況：甲型1臺乙型2臺；甲型2臺乙型1臺；故不同的取法有臺（2）“含”與“不含” 用間接排除法或分類法: 2從5名男生和4名女生中選出4人去參加辯論比賽（1）如果4人中男生和女生各選2人，有？種選法； （2）如果男生中的甲與女生中的乙必須在內(nèi)，有？種選法； （3）如果男生中的甲與女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，有？種選法； （4）如果4人中必須既有男生又有女生，有？種選法分析：本題考查利用種數(shù)公式解答與組合相關的問題.由于選出的人沒有地位的差異，所以是組合問

11、題.解：（1）先從男生中選2人，有種選法，再從女生中選2人，有種選法，所以共有=60（種）；（2）除去甲、乙之外，其余2人可以從剩下的7人中任意選擇，所以共有=21（種）；（3）在9人選4人的選法中，把甲和乙都不在內(nèi)的去掉，得到符合條件的選法數(shù)：=91（種）；直接法，則可分為3類：只含甲；只含乙；同時含甲和乙，得到符合條件的方法數(shù)=91（種）.（4）在9人選4人的選法中，把只有男生和只有女生的情況排除掉，得到選法總數(shù)=120（種）.直接法：分別按照含男生1、2、3人分類，得到符合條件的選法為=120（種）.3分組問題：均勻分組：分步取，得組合數(shù)相乘，再除以組數(shù)的階乘。即除法處理。非均勻分組：分

12、步取，得組合數(shù)相乘。即組合處理?；旌戏纸M：分步取，得組合數(shù)相乘，再除以均勻分組的組數(shù)的階乘。4分配問題：定額分配：（指定到具體位置）即固定位置固定人數(shù)，分步取，得組合數(shù)相乘。隨機分配：（不指定到具體位置）即不固定位置但固定人數(shù)，先分組再排列，先組合分堆后排，注意平均分堆除以均勻分組組數(shù)的階乘。5隔板法： 不可分辨的球即相同元素分組問題，每組至少一個元素五二項式定理1.它是(a+b)n的二項展開式的第r+1項，而不是第r項； （r=0的情形不要忽視）2二項式定理的應用求二項展開式中的任何一項，特別是常數(shù)項：變量的指數(shù)為0、有理項：指數(shù)為整數(shù)；證明整除或求余數(shù)；利用賦值法證明某些組合恒等式；近似計

13、算。3.二項式系數(shù)的性質(zhì)： （3）（4）最值：n為偶數(shù)時，n1為奇數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)最大且為第4區(qū)分（1）某一項的二項式系數(shù)與系數(shù)項的系數(shù)與二項式系數(shù)是不同的兩個概念，但當二項式的兩個項的系數(shù)都為1時，系數(shù)就是二項式系數(shù)。如在的展開式中，第項的二項式系數(shù)為，第項的系數(shù)為；而的展開式中的系數(shù)就是二項式系數(shù)；（2）二項式系數(shù)最大項與系數(shù)最大項二項式系數(shù)最大項是中間項系數(shù)最大項求法：設第k+1項的系數(shù)最大，由不等式組求k。再求第k+1項值。系數(shù)的絕對值最大的項二項展開式的系數(shù)絕對值最大項的求法，設第r+1項系數(shù)的絕對值最大,則此項系數(shù)的絕對值必不小于它左、右相鄰兩項系數(shù)的絕對值，即由求r注意：

14、二項展開式中系數(shù)最大的項及系數(shù)最小的項的求法:先求系數(shù)的絕對值最大項第r+1項，然后再求第r+1項的符號，若這一項的系數(shù)符號為正，則它為展開式中系數(shù)最大的項；若這一項的系數(shù)符號為負，則它為展開式中系數(shù)最小的項（3）二項展開式中，二項式系數(shù)和與各項系數(shù)和應用“賦值法”可求得二項展開式中各項系數(shù)和即令式子中變量為1。注意：注意：（1）二項展開式的各項系數(shù)絕對值的和相當于的各項系數(shù)的和。即令原式中的x=-1即可。（2）審題時要注意區(qū)分所求的是項還是第幾項？求的是系數(shù)還是二項式系數(shù)？六事件分類（3）互斥事件（互不相容事件）：“A與B不能同時發(fā)生”叫做A、B互斥。的和（并）。（6）對立事件（互逆事件）：

15、（7）獨立事件：A發(fā)生與否對B發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相 互獨立事件。七對某一事件概率的求法：（1）等可能事件的概率（常采用排列組合的方法，即 即分類相加 即分步相乘（5）如果在一次試驗中A發(fā)生的概率是p，那么在n次獨立重復試驗中A恰好發(fā)生k次的概率。即當XB(n,p)時，八.離散型隨機變量 1.在的射擊、產(chǎn)品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量2.離散型隨機變量的分布列一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2, ,xi , ,xn X取每一個值xi(i=1,2,）的概率 P(X=xi）Pi，則稱表為離散型隨

16、機變量X 的概率分布，簡稱分布列性質(zhì)： 0pi1, i =1，2， p1 + p2 +pn= 1 一般地，離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和。3.公式：期望或平均數(shù)、均值 E(X)x1p1x2p2xnpn方差:DX=（x1-E(X)2P1+ （x2-E(X)2P2 + + （xn-E(X)2Pn 說明（1）數(shù)學期望的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平 (2) D X的算術平方根為隨機變量X的標準差， (3)、隨機變量的方差與標準差都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動，集中與分散的程度。 (4)性質(zhì)： 4二項分布：在n次獨立重復試驗中，一次試驗中某事

17、件A發(fā)生的概率是p, 某事件A發(fā)生的次數(shù)為X，則在n次獨立重復試驗中，這個事件恰好發(fā)生k次的概率為p(X=k)=, X的分布列為X01xiNp此時稱服從二項分布，記作XB(n,p).若XB(n,p)，則EX=np ,DX=np（1-P）5、二點分布：如果隨機變量X的分布列為：其中0p3.841時，X與Y有95%可能性有關；K26.635時X與Y有99%可能性有關回歸分析回歸直線方程其中, 高中數(shù)學 選修4-5知識點1、不等式的基本性質(zhì)（對稱性）（傳遞性）（可加性）（同向可加性）（異向可減性）（可積性）（同向正數(shù)可乘性）（異向正數(shù)可除性）（平方法則）（開方法則）（倒數(shù)法則）2、幾個重要不等式,（

18、當且僅當時取號）. 變形公式：（基本不等式）,（當且僅當時取到等號）.變形公式： 用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”.（三個正數(shù)的算術幾何平均不等式）（當且僅當時取到等號）.（當且僅當時取到等號）.（當且僅當時取到等號）.（當僅當a=b時取等號）（當僅當a=b時取等號），（其中規(guī)律：小于1同加則變大，大于1同加則變小.絕對值三角不等式3、幾個著名不等式平均不等式：，當且僅當時取號）.（即調(diào)和平均幾何平均算術平均平方平均）.變形公式：冪平均不等式：二維形式的三角不等式：二維形式的柯西不等式：當且僅當時，等號成立.三維形式的柯西不等式：一般形式

19、的柯西不等式：向量形式的柯西不等式：設是兩個向量，則當且僅當是零向量，或存在實數(shù)，使時，等號成立.排序不等式（排序原理）：設為兩組實數(shù).是的任一排列，則（反序和亂序和順序和），當且僅當或時，反序和等于順序和.琴生不等式:（特例:凸函數(shù)、凹函數(shù)）若定義在某區(qū)間上的函數(shù),對于定義域中任意兩點有則稱f(x)為凸（或凹）函數(shù).4、不等式證明的幾種常用方法 常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學歸納法等.常見不等式的放縮方法：= 1 * GB3舍去或加上一些項，如= 2 * GB3將分子或分母放大（縮?。绲?5、一元二次不等

20、式的解法求一元二次不等式解集的步驟：一化：化二次項前的系數(shù)為正數(shù).二判：判斷對應方程的根.三求：求對應方程的根.四畫：畫出對應函數(shù)的圖象.五解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集.規(guī)律：當二次項系數(shù)為正時，小于取中間，大于取兩邊.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根標在數(shù)軸上，從右上方依次往下穿（奇穿偶切），結(jié)合原式不等號的方向，寫出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移項通分標準化，則 （時同理）規(guī)律：把分式不等式等價轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.8、無理不等式的解法：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解規(guī)律：把無理不等式等價轉(zhuǎn)化為有理不等式，訣竅在于從“小”的一邊分析求解.9、指數(shù)不等式的解法：當時,當時,規(guī)律

21、：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.10、對數(shù)不等式的解法當時,當時,規(guī)律：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.11、含絕對值不等式的解法：定義法：平方法：同解變形法，其同解定理有：規(guī)律：關鍵是去掉絕對值的符號.12、含有兩個（或兩個以上）絕對值的不等式的解法：規(guī)律：找零點、劃區(qū)間、分段討論去絕對值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含參數(shù)的不等式的解法解形如且含參數(shù)的不等式時，要對參數(shù)進行分類討論，分類討論的標準有：討論與0的大??；討論與0的大?。挥懻搩筛拇笮?14、恒成立問題不等式的解集是全體實數(shù)（或恒成立）的條件是：當時當時不等式的解集是全體實數(shù)（或恒成立）的條件是：當時當時恒成立恒成立恒成立恒成立數(shù)學

22、選修4-4極坐標1伸縮變換：設點是平面直角坐標系中的任意一點，在變換的作用下，點對應到點，稱為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換。2.極坐標系的概念：在平面內(nèi)取一個定點，叫做極點；自極點引一條射線叫做極軸；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標系。3點的極坐標：設是平面內(nèi)一點，極點與點的距離叫做點的極徑，記為；以極軸為始邊，射線為終邊的叫做點的極角，記為。有序數(shù)對叫做點的極坐標，記為. 極坐標與表示同一個點。極點的坐標為.4.若,則,規(guī)定點與點關于極點對稱，即與表示同一點。如果規(guī)定，那么除極點外，平面內(nèi)的點可用唯一的極坐標

23、表示；同時，極坐標表示的點也是唯一確定的。5極坐標與直角坐標的互化：6。圓的極坐標方程：在極坐標系中，以極點為圓心，為半徑的圓的極坐標方程是 ； 在極坐標系中，以 為圓心， 為半徑的圓的極坐標方程是 ；在極坐標系中，以 為圓心，為半徑的圓的極坐標方程是；7.在極坐標系中，表示以極點為起點的一條射線；表示過極點的一條直線.在極坐標系中，過點，且垂直于極軸的直線l的極坐標方程是.參數(shù)方程1參數(shù)方程的概念：在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標都是某個變數(shù)的函數(shù) 并且對于的每一個允許值，由這個方程所確定的點都在這條曲線上，那么這個方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)。相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標間關系的方程叫做普通方程。2圓的參數(shù)方程可表示為. 橢圓的參數(shù)方程可表示為. 拋物線的參數(shù)方程可表示為. 經(jīng)過點，傾斜角為的直線的參數(shù)方程可