1、高等量子力學(xué)總結(jié)第一章希爾伯特空間理論物理張四平學(xué)號(hào)：2201209220611、 矢量空間，同類(lèi)的許多數(shù)學(xué)對(duì)象（實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)，數(shù)組）在滿足一定的要求下構(gòu)成的系統(tǒng).三 種運(yùn)算：加法，數(shù)乘，內(nèi)積。例：0+2=2+0 ;2 + 0 =0即：2 =- 0 （存在逆元）（2a） b=2 （ab）2（a+b）=2a+ 2b（2, 0） = （ 0, 2） * （2, 0a） =（ 2, 0） a 矢量的空間性質(zhì)：零矢量唯一；逆元唯一；2 （ -1 ） =- 2 ； （ 0 +2X） =0 x+2X；2、 正交矢量：（2，0） =0；模方：| 21| 21= （ 2， 2）；schwarts 不等式：| （

2、2, 2） | 弓 2II 21 ；三角不等式：| 2 + 01 弓 21+I 01;3、基矢n維空間中有限個(gè)矢量集合；一個(gè)線性無(wú)關(guān)的矢量的集合（完全集）；正交歸一的完全集；對(duì)于同一矢量，左右因子不同，dirac符號(hào)：=（2,0）右矢量滿足：I2+I0=I0+I 2 ； I2+I0=I 2;I2*1=I 2 ；（I2+I 0） *a=I 2a+I 0a 為；4、 算符：I2=AI2；A （I2+I0） =AI 2+AI 0；線性算符的性質(zhì)：定義域是個(gè)右矢空間，值域 也是個(gè)右矢空間；定義域是有限維，值域也是小于等于這個(gè)維數(shù)；零算符：0I 2=I0 ；單位算符：II 2=I2；-1算符：AI 2=

3、I 0；逆算符：A I 0=I 2； 0I=A 21= 2IA+ （A+為A勺伴算符）；若A有逆，則 （A+） -1 = （A-1） + ;5、等距算符：定義：U+U=l;性質(zhì)：U+U=l;= ；IU2I=I 21；6、幺正算符：定義：U+U=UU+=I或U+=U-1;投影算符：I 2=aI 2i （i=1，s ） （I 2i（本證子空間，s重簡(jiǎn)并）；厄米算符A的本證矢量：不簡(jiǎn)并的正交，S重簡(jiǎn)并的本證矢量構(gòu)成一個(gè)s維的子空間，與其他的本證 矢量正交；完全性；正交性；定理：有限維空間中，厄米算符的全部本證矢量構(gòu)成一個(gè)完全集；定 理：當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)厄米算符對(duì)易時(shí)，他們有一組共同的本證矢量完全集；8、

4、表象理論：基矢：厄米算符完備組K=（P，H，.，.基矢選他們共同的本證矢，KIi=kiIi ；-1相似變換：存在幺正矩陣U: B=UAU, A, B相似.trA=trB，detB=detU+detA，detA=detB ；任何厄米 矩陣都可以通過(guò)相似變換變成對(duì)角矩陣；L 表象：（| & iE| & i俎 V 務(wù)= iUi a| i= L| v0Uai-11 1Ya= EUi 2iWi = DJi a 2 aAa = EZU ai Aij-Uj 3Aij= XTUi aA a U 3 一第二章量子力學(xué)基本原理1、基本原理：原理1：描寫(xiě)微觀系統(tǒng)狀態(tài)的數(shù)學(xué)量是希爾伯特空間中的矢量，相差一個(gè)復(fù)數(shù)因子的

5、兩個(gè)矢量描寫(xiě)同 一狀態(tài).原理2:1.描寫(xiě)微觀系統(tǒng)物理量的是希爾伯特空間中的厄米算符.2.物理量所能取得值是相應(yīng)的本征值.3.物理量A在狀態(tài)| “ 中取各值ai的概率，與態(tài)矢量| “ 安人的歸一化本證矢量|ai 的展開(kāi)式|ai的系數(shù)復(fù)平方成正比.原理3.微觀系統(tǒng)中的每個(gè)粒子的直角坐標(biāo)下的位置算符Xi (i=1.2.3 )與相應(yīng)正則動(dòng)量有下列對(duì)易關(guān)系：Xi,Xj=O Pi,Pj=O Xi,Pj=i(h/2 nZij而不同粒子間的所有算符均相互對(duì)易.原理4.微觀狀態(tài)| “(t)隨時(shí)間變化的規(guī)律是薛定遇方程原理5.描寫(xiě)全同粒子系統(tǒng)的態(tài)矢量，對(duì)于任意一對(duì)粒子的對(duì)調(diào)，是對(duì)稱(chēng)的，或是反對(duì)稱(chēng)的，服從前者的粒子

6、是波色子，服從后者的粒子是費(fèi)米子2、哈密頓算符不顯含時(shí)間t是能量算符.I “(t)=| “ f(t).H| 2i=Ei| 2i定態(tài)薛定遇方程能量值確定.態(tài)矢量為：| 2i(t)=|iexp (-iEit/h ).含時(shí)間的H對(duì)應(yīng)薛定遇方程的解為：|2(t)= E|i Ci exp (-iEit/h ).為各定態(tài)矢量的疊加.若已知初態(tài)| 20=爻且i Ci貝U | 2(t)= E|iexp (-iEOt/h ).第三章量子力學(xué)的基本概念和方法1、 一個(gè)電子具有自旋角動(dòng)量S, s沿著空間中某一固定方向，只有兩個(gè)可能的投影值：Sz=I I_0【Sz=- /2 -3=0電子的自旋態(tài)：| 2(t)|2 (

7、t)=C1 (t)a+C2(t) 32 (t)|=C1(t) a-1 +C2 (t)電子的自旋態(tài)只能有兩個(gè)(朝上或朝下)3、相繼stern-Gerlach實(shí)驗(yàn)說(shuō)明：一般的說(shuō)，測(cè)量必定要改變微觀客體狀態(tài)，當(dāng)加第二個(gè)裝置Gx測(cè)量Sx時(shí)，原來(lái)關(guān)于Sz的信息消失，一個(gè)電子的自旋要么按Sx分解，要么按Sz分解，電子不能同時(shí)具有Sz和Sx.S= ( /2 ) Z1 o 0-10 -i-Sz=mz4、pauli矩陣 算符zx和Zy之間不對(duì)易，0門(mén)Z x = IZ y =J 0 一對(duì)易關(guān)系：Z* Z =Z或S*S=S極化矢量：=p=e(t) Iz | “(t)PA2=PxA2+PyA2+PzA2=1;=Px+

8、Py+Pz；P標(biāo)志了自旋S的指向；電子自旋的量子本質(zhì)表現(xiàn)與P矢量始終存在著起伏，用均方偏差度量： = = 1-A25、 分離譜：A| a =a| a;= Sa aE| a=y； = S (匕乂 )； j dt it 含t，基矢|x不含t ; Heisenberg圖景：態(tài)矢|(t)不含t，基矢|x含 t ; 一般：H=pA2/2m+V; = V (x) = V(x) S (x-x )； = dp(pA2/2m)態(tài)矢：跟表象無(wú)關(guān)，跟圖景有關(guān)；包函數(shù)：與表象有關(guān)，與圖景無(wú)關(guān)(此為態(tài)矢在基矢上的投影)；7、 基態(tài)|0 :基態(tài)波函數(shù)：20 (x) = ；第一激發(fā)態(tài) |1 = a+|0:21 (x) =

9、；第 n 激發(fā)態(tài)：2n (x) = ;8、1/4|A2 ;對(duì)于任意的態(tài)矢：| a= AA|13= a B| ； | ( AA, AB) |人 2 ；9、 諧振子不確定關(guān)系：基態(tài)： =A2/4 ；激發(fā)態(tài)： = (n+1/2 ) Q 一 A?；10、相干態(tài)：也是諧振子的量子態(tài)與經(jīng)典粒子運(yùn)動(dòng)最為接近相干態(tài)不是N的本正態(tài)，但有確定的粒子數(shù)；不同本證值的相干態(tài)一般不正交；雖不正交，但有 完備性；全部的相干態(tài)，過(guò)完備性；11、壓縮態(tài)：算符：S(r)為幺正算符；在正則變換下：保持了對(duì)易關(guān)系：b,b+=a,a+=1;真空態(tài)：|0,r= S(r)|0;一般壓縮態(tài)：|z,r= D (z) S (r) |0 ;12

10、、 經(jīng)典力學(xué)到量子力學(xué)：薛定遇表述形成(波動(dòng)力學(xué))，重視描述粒子的波粒二象性運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)，服從薛定遇方程；heisenberg矩陣力學(xué)，重視可觀測(cè)量，算符；dirac和feyman路徑積分，著眼于經(jīng)典作用量和量子力學(xué)中相位之間的關(guān)系，重視傳播函數(shù)或傳播子的作用基本思想：一個(gè)粒子在某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)情況決定于他們的過(guò)去或一切歷史；在復(fù)Z平面上，半經(jīng)為1/2的圓，面積為1*pi/4,相干態(tài)；在復(fù)z平面上的橢圓，面積1*pi/4測(cè)量精 度在I上提高了，在另一個(gè)方向降低了，壓縮態(tài)；第四章對(duì)稱(chēng)性和角動(dòng)量1、力學(xué)量成算符：A,B-1/i A,B；F, H-F為守恒量；F的一個(gè)守恒性必與體系的不可觀測(cè)量的對(duì)稱(chēng)性

11、變換直接聯(lián)系；定態(tài)間的躍遷定則；分離對(duì)稱(chēng)性；每個(gè)定態(tài)波函數(shù)必有嚴(yán)格的對(duì)稱(chēng)性；無(wú)限自由度的量子場(chǎng)論：H中某一連續(xù)對(duì)稱(chēng)性在真空有破壞，真空存在簡(jiǎn)并，但實(shí)際上對(duì)稱(chēng)也存在，表現(xiàn)為一個(gè)無(wú)質(zhì)量的標(biāo)量粒子；2、 F (r, p)的平均值: = ；3、 態(tài)的無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)：自旋為零：| (r) = |“(R r)=W(x+y S 另U-x S 憶)R(n, S) = 1-i S*L*n/ ； l是標(biāo)量場(chǎng)無(wú)窮小生成元；自旋為1/2的粒子波函數(shù)：波函數(shù)為二分量的旋量：(吩)、蚣)=I2;門(mén)=0(x1/2) + 2(x 1/2)；(r)=(1-i S ( /2 Zz+Lz)(r)/ 一轉(zhuǎn)動(dòng)算符：(1-i S 0 一/2

12、 Zz+Lz)/ ；任意軸：R ( n, S) = 1- (i S/) n(/2 ) S+I)；粒子的總角動(dòng)量：J= /2 s+L, J是旋量場(chǎng)的無(wú)限小生成元；4、角動(dòng)量算符的一般性質(zhì)：jA2=jxA2+jyA2+jzA2;jA2,ji = 0； jz,j=i j；j+,j- = 2%5、 標(biāo)量算符：F=RFR -轉(zhuǎn)動(dòng)不變；6、若態(tài)I “ 在只乙的作用下不變，貝VRz| “ = exp (-i S)| “ ；假定體系在變換Q下具有對(duì)稱(chēng)性，| W=Q| W，則保持幾率不變，運(yùn)動(dòng)規(guī)律不變；總之：量子力學(xué) 中一個(gè)不可觀測(cè)量的對(duì)稱(chēng)性變換往往聯(lián)系于一個(gè)可觀測(cè)量的守恒性；7、將體系沿x軸平移一無(wú)限小距離，

13、體系具有平移不變性：Px(s),H = 0 ；W (x) = Dx ( s ) Wx)= W(x- s)；體系沿時(shí)間平移一無(wú)限小量 n:I W (t) = D ( n ) W(x)=| W(t+ n) ； W(x,t)= W(x)exp(-iEt);8、 本證態(tài)：W(-x) = W(x)偶宇稱(chēng)態(tài)W(-x) = - W(x)奇宇稱(chēng)態(tài)宇稱(chēng)本征值：pi= (-1 ) 1變換方式：主動(dòng)式：坐標(biāo)系不動(dòng)，算符動(dòng)；被動(dòng)式，算符不動(dòng)，坐標(biāo)系反向；P*X -標(biāo)量P*S -贗標(biāo)量9、 支配運(yùn)動(dòng)的H在空間反演中是標(biāo)量，可能含有的項(xiàng)是：PA2, L*S,P*X ；不可有的項(xiàng)：P*S(贗標(biāo)量)；宇稱(chēng)守恒在強(qiáng)相互作用下，

14、電磁相互作用中有充分的實(shí)驗(yàn)支持；則在弱相互作用下有贗標(biāo)量項(xiàng)，宇稱(chēng)不再守恒；原子核自旋S在低溫下沿外磁場(chǎng)固定方向排列，測(cè)量這種“極化核”方向 B衰變時(shí)放出電子對(duì)S 存在一定角分布；10、實(shí)算符，時(shí)間反演不變：THT-i=T-iTXT-i=X ；TJT t= - J ；虛算符：TPT i1= - P第五章量子力學(xué)中的相位1、 經(jīng)典物理中：H , A, 0(四維矢量)，代替E,B (二階反對(duì)稱(chēng)張量)；量 子物理中：A, 0，代替E,B為本質(zhì)上的需求； 規(guī)范變換：A =A + VA ( x)；若要要求薛定遇方程在此變換下不變，否則物理規(guī)律就變了，(x) = ( x) exp (x) iq/ c；薛定遇

15、方程在定域規(guī)范變化下的不變性，是一種對(duì)稱(chēng)性，不影響可觀測(cè)量；2、A-B效應(yīng)-A比B更基本；因?yàn)楸磉_(dá)了量子力學(xué)的相位差； 因子：就要求波函數(shù)做相應(yīng)變化:根據(jù)波函數(shù)的幾率解釋?zhuān)@一變換確是的位不是相位,exp(a A dx )；e總的波才為描述電磁場(chǎng)最恰當(dāng)?shù)牧?，在物理上既不丟失信息，也不會(huì)附加非物理(不確定)信息， 稱(chēng)此因子為規(guī)范場(chǎng)的不可積相位因子 在磁場(chǎng)中：函數(shù)：(x，W-io)(x,) - exp代 A(x)d x相位差改變了上-,卉c稱(chēng)：Sab (AB相c；在電場(chǎng)中：總的波函數(shù)：(x,t)=0)(x,t) exp(-A(A02(X5t)-AQ1(x,t)dt) 20)(x5 t), eSAB-規(guī)范不變AB相不依賴(lài)于速度等力學(xué)量，屬于幾何相，