1、局部裂紋損傷簡支梁的曲率模態(tài)特性論文導(dǎo)讀:：將裂縫損傷簡化成矩形凹槽，采用delta函數(shù)表示簡支梁的裂紋損傷位置，得到了全梁范圍內(nèi)截面轉(zhuǎn)動慣量和單位長度質(zhì)量的表達式，建立了局部裂縫損傷簡支梁的橫向自由振動方程。利用攝動方法給出了裂紋攝動項的一般表達式，根據(jù)攝動項和完整梁都同時滿足邊界條件的特點，將一階和二階攝動項都表示成完整梁模態(tài)的線性組合，結(jié)合delta函數(shù)的性質(zhì)，最終獲得了受損簡支梁的特征值和模態(tài)振型的解析表達式。最后，通過數(shù)值計算得到結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)，比照了一階攝動和二階攝動對計算結(jié)果的影響，分析了不同階固有頻率和模態(tài)曲率的變動量，為簡支梁的損傷監(jiān)控和檢測提供了理論依據(jù)。論文關(guān)鍵詞：裂紋損傷

2、，簡支梁，攝動方法，模態(tài)分析方法，曲率模態(tài)1 引 言隨著使用年限的增加，結(jié)構(gòu)的強度和剛度等性能必然會下降，如果出現(xiàn)損傷，結(jié)構(gòu)的動力特性如固有頻率、固有振型和模態(tài)阻尼都會產(chǎn)生變化，通過研究結(jié)構(gòu)動力特性的變化來檢測和檢控結(jié)構(gòu)的損傷是目前一個重要研究課題【1】。文【2】根據(jù)結(jié)構(gòu)動力學(xué)理論，以結(jié)構(gòu)損傷后系統(tǒng)各種模態(tài)參數(shù)的改變作為特征標(biāo)識量對損傷進行診斷，雖然效果很好，但主要適應(yīng)于嚴(yán)重?fù)p傷的情況，當(dāng)結(jié)構(gòu)局部受損且程度較低時，結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的改變甚微，這時無法從結(jié)構(gòu)固有頻率或模態(tài)阻尼的改變來判斷結(jié)構(gòu)是否存在損傷，目前，國內(nèi)外眾多學(xué)者比擬認(rèn)可的是根據(jù)模態(tài)曲率的特性對低程度損傷進行檢測，并已進行了大量的相關(guān)研究

3、：文【5】研究指出，曲率模態(tài)對局部參數(shù)變化較傳統(tǒng)的模態(tài)分析方法更為敏感，在結(jié)構(gòu)的損傷檢測及損傷定位中具有優(yōu)越性；文【6】對實橋的損傷進行了檢測攝動方法，并根據(jù)實測數(shù)據(jù)采用曲率模態(tài)分析對損傷進行了分析但上述研究主要集中于數(shù)值模擬，關(guān)于損傷對曲率模態(tài)的影響的研究報道很少。文【7】利用一階攝動方法給出了攝動項的一般表達式，推導(dǎo)了受損懸臂梁的固有頻率和模態(tài)振型的解析表達式，并就結(jié)構(gòu)損傷對位移模態(tài)和曲率模態(tài)的影響作了分析和研究。目前關(guān)于簡支梁裂紋損傷的相關(guān)理論研究較少報道，本文將裂紋損傷展開成二階攝動，得到了固有頻率、模態(tài)振型和模態(tài)曲率的解析式，通過數(shù)值計算，比照了一階攝動和二階攝動對計算結(jié)果的影響，分

4、析了不同階的模態(tài)曲率的變動量。2 受損簡支梁的結(jié)構(gòu)模型受損簡支梁的簡化模型如圖1所示，梁的截面為矩形，寬度和高度分別為b和h，梁長為l，在簡支梁底部xd處存在一處裂紋損傷，裂紋簡化成矩形凹槽，裂紋的寬度和深度分別為?l和hd。圖1 底部存在一處損傷裂縫的簡支梁模型Fig.1 Structuralmodel of a simple beam with a damaged crack at the bottom在損傷部位，梁的截面轉(zhuǎn)動慣量和單位長度梁質(zhì)量的表達式分別為(1) (2) 令，引入delta函數(shù)，將上式展開，因為，略去三階小項O(3)，那么全梁范圍內(nèi)的截面轉(zhuǎn)動慣量和單位長度質(zhì)量可分別表示

5、成的形式(3) (4) 本文主要研究固有頻率和模態(tài)振型等結(jié)構(gòu)動力參數(shù)，故不考慮體力和外部荷載作用，于是梁的自由振動微分方程為(5)式中，為材料的彈性模量，為梁中性面上各點的橫向位移中國學(xué)術(shù)。將式(3)和(4)代入式(5)可得：(6)簡支梁的邊界條件為(7)式(7)的通解可表示為階主振動的疊加 (8) 式中，、和分別為梁的第階模態(tài)振型、特征值和相位角，滿足正交性。3 受損簡支梁的模態(tài)振型和模態(tài)曲率由式(8)代入(6)，根據(jù)模態(tài)的正交性，對于任意的階模態(tài)，都滿足(9)考慮到梁的局部微小損傷攝動方法，因而、都是很小的量，損傷后結(jié)構(gòu)的特征值和模態(tài)振型是損傷前的一個微小擾動，根據(jù)二階攝動理論，損傷后的特

6、征值和模態(tài)振型可表達成(10) (11) 式中，和是完整梁的特征值和模態(tài)振型，和是裂紋損傷引起的特征值和模態(tài)振型的一階攝動量，和是裂紋損傷引起的特征值和模態(tài)振型的二階攝動量。將(10)和(11)代入式(9)，按系數(shù)項和展開，略去小項O(2)，整理后可得： (12)： (13)：(14)式中，為完整梁第i階振型的波數(shù)。 (15) 完整梁的、和固有頻率的解答可直接根據(jù)文獻由式(12)求得(16) (17) (18) 式中，常數(shù)Bi由初始條件確定。一階攝動需滿足簡支梁的邊界條件式(7)，式(13)的解可以表示成(j=1,2,3,-)的線性組合 (19) 式中，為線性組合系數(shù)。將式(17)、(10)和

7、(11)代入式(9)，得(20)根據(jù)式(12)，式(19)可進一步簡化成(21)為了求得n2個和n個的值，將式(21)乘以第k階完整梁的模態(tài)振型，并在整個梁長度上進行積分，考慮到模態(tài)的正交性，那么有 (22) 根據(jù)，可得(23)(24)于是式(22)可進一步簡化為(25)根據(jù)和的兩種情況，可分別求得 (26) (27)與式(17)相似，可將二階攝動表示成完整梁振型(j=1,2,3,-)的線性組合 (28) 式中，為二階攝動項的線性組合系數(shù)。略去復(fù)雜的推導(dǎo)，可得式(14)的解為 (29) (30)將式(26)、(29)代入式(10)，將式(27)、(28)、(19)、(28)代入(11)，可求得

8、受損簡支梁的特征值和模態(tài)振型。4 受損簡支梁的模態(tài)振型和模態(tài)曲率將簡支梁按梁長進行歸一化處理，取結(jié)構(gòu)參數(shù)：l=1.0m、b=0.03m、h=0.03m、xd=0.5m，取材料特性參數(shù)(混凝土)：E=20GPa、=2400kg/m3，取裂紋損傷參數(shù)：=0.2、?l=0.002m。4.1 受損梁的固有頻率表1 完整梁和損傷梁的前4階固有頻率Table 1 Former 4order natural frequencies of the intact and damaged beam 階次 1 2 3 4 固有 頻率 /Hz 完整梁 246.74 986.96 2220.66 3947.84 損傷梁

9、(展開至) 246.56 986.69 2220.05 3944.99 變動量(展開至) 0.18 0.27 0.61 2.86 損傷梁(展開至2) 246.56 986.68 2220.04 3944.94 變動量(展開至2) 0.18 0.26 0.62 2.90 完整梁和受損梁的固有頻率可分別由式(18)和求得，前4階振型的固有頻率見表1。從表1可以看出，在微小損傷的條件下攝動方法，相對于損傷前的固有頻率，梁的固有頻率的一階和二階變動量都非常小。也就是說，當(dāng)結(jié)構(gòu)測量時存在噪聲的情況時，單純地希望從梁體的固有頻率變化來識別微小的損傷，來獲取識別正確結(jié)果是比擬困難的。另外從表1還可以看出，按

10、式(10)展開到一階攝動量和二階攝動量2，固有頻率的結(jié)果非常接近。4.2 受損梁的模態(tài)振型和模態(tài)曲率取裂縫損傷位置xd=0.4l，繪制了損傷簡支梁的前4階的歸一化模態(tài)振型和模態(tài)曲率沿l的分布曲線，如圖2和圖3所示中國學(xué)術(shù)。比擬圖2和圖3的(a)和(b)可以發(fā)現(xiàn)，展開到一階攝動量和二階攝動量2得到的曲線非常接近，一般情況下，展開到一階攝動量根本上能滿足精度要求。從圖2可以看出，當(dāng)存在微小的裂縫損傷時，損傷點處的模態(tài)振型都是相當(dāng)光滑的，和損傷前的模態(tài)振型根本上一致。相比之下，圖3中損傷點處的模態(tài)曲率出現(xiàn)了比擬明顯的變化，不再像圖2那樣是光滑的，出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因在于：由式(11)可以看出，在損傷條

11、件一定的情況下，模態(tài)曲率的變化量與完整梁的有關(guān)，而根據(jù)式(16)可得，與的數(shù)值相反，而且的數(shù)值是的倍，于是隨著階次的增高，值越大，模態(tài)曲率的變動量越來越顯著。(a) 展開到一階攝動量(a) Computed to first order perturbation (b) 展開到二階攝動量2(b) Computed to second order perturbation 2圖2 損傷梁的前4階模態(tài)振型Fig. 2 Former 4 order modal shape of damaged beam(a) 展開到一階攝動量(a) Computed to first order perturbat

12、ion 梁長l /m(b) 展開到二階攝動量2(b) Computed to second order perturbation 2圖3 損傷梁的前4階模態(tài)曲率Fig. 3 Former 4 order modal curvature of damaged beam為了更好地分析損傷簡支梁的曲率變化，繪制了前4階的模態(tài)曲率的變動量沿l的分布曲線，如圖4所示。比擬圖4(a)和(b)可以發(fā)現(xiàn)，兩曲線反映的規(guī)律完全一致，即隨著階次的增高，模態(tài)曲率的變動量越來越大，而且曲率的峰值點正好對應(yīng)于損傷位置攝動方法，這也印證了很多文獻中提出的觀點：即用模態(tài)曲率進行梁結(jié)構(gòu)的損傷識別，識別效果要優(yōu)于直接用模態(tài)振型

13、。對于前3階模態(tài)曲率，兩曲率曲線非常接近，但對于第4階模態(tài)曲率，圖4(b)的最大數(shù)值明顯要高于4(a)，這主要是因為模態(tài)階數(shù)越高，值越大，由此產(chǎn)生的模態(tài)曲率也越大。(a) 展開到一階攝動量(a) Computed to first order perturbation (b) 展開到二階攝動量2(b) Computed to second order perturbation 2圖4 損傷梁的前4階模態(tài)曲率的變動量Fig. 4 Variations of the former 4 order modal curvature of damagedbeam5 結(jié) 論本文采用攝動理論將裂紋損傷表示成

14、二階攝動，得到了受損簡支梁的固有頻率、模態(tài)振型和模態(tài)曲率的解析式，并進行了數(shù)值計算，得到以下主要結(jié)論：(1) 當(dāng)損傷程度較低時，損傷梁的固有頻率和模態(tài)振型與完整梁非常接近，即從固有頻率和模態(tài)振型的變化無法判斷簡支梁損傷與否，更無法判斷損傷的具體位置；(2) 根據(jù)損傷與完整簡支梁模態(tài)曲率的變動量(即差值)的峰值可以明顯地判斷出損傷位置，峰值隨著模態(tài)階數(shù)的增大而增大；(3) 模態(tài)階數(shù)低于三階時，將損傷展開到二階攝動和一階攝動的模態(tài)曲率根本接近，但隨著階數(shù)的增大，前者計算的模態(tài)曲率峰值要高于后者。參考文獻：【1】謝峻,韓大建.一種改良的基于頻率測量的結(jié)構(gòu)損傷識別方法. 工程力學(xué), 2004, 21

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