1、11.1 與三角形有關的線段第1課時 三角形的邊第十一章 三角形下面請同學們仔細觀察一組圖片，找出你熟悉 的幾何圖形.你能畫出一個三角形嗎？知1導1知識點三角形及有關概念下面哪個是三角形？什么是三角形？結合你畫的三角形，說明三角形是由什么組成的.ABC由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形. 注意：1.不在同一條直線上. 2.三條線段. 3.首尾順次相接.1. 三角形的定義：知1講注意：表示三角形時，字母沒有先后順序.即：可以記作ABC，也可記作ACB.2. 三角形的表示：三角形用符號“”表示，如下圖的三角形，記作“ABC”，讀作“三角形ABC ”.知1講ABC如圖，A

2、BC的三個頂點分別是：A，B，C.3.三角形的頂點如圖，ABC的三條邊分別是：AB，BC，CA.它的三個內角（簡稱三角形的角）分別是： A，B， C.ABC4.三角形的邊、內角知1講注意：1.三角形的三邊用字母表示時，字 母沒有順序限制.2.三角形的三邊，有時也用一個小寫字母來表示. 如：ABC的三邊中，頂點A所對的邊BC也可表示為a， 頂點B所對的邊AC也可表示為b，頂點C所對的邊AB也可 表示為c.3.一般情況下，我們把邊BC叫做A的對邊，AC，AB叫 A的鄰邊；邊AC叫B的對邊，AB，BC叫B的鄰邊； 你能說出C的對邊及鄰邊嗎？abcABC對邊是AB，鄰邊是BC，AC.知1講一位同學用三

3、根木棒拼成的圖形如下，則其中符合三角形定義的是()知1練 1D如圖：(1)ADC的三個頂點分別是_，三個內角分 別是_(2)在ABC中，C的對邊是_；在AEC 中，C的對邊是_ 2知1練A、D、CCD AC A D CABAE知1練 圖中有幾個三角形？用符號表示這些三角形.3解：圖中有5個三角形，分別是ABE，ABC，BEC，BCD，CDE.知2導2知識點三角形的分類 我們知道，按照三個內角的大小，可以將三角形分為銳角三角形、直 角三角形和鈍角三角形. 如何按照邊的關系對三角形進行分類呢？說說你的想法，并與同學交流.我們知道：三邊都相等的三角形叫做等邊三角形(圖(1); 有兩條邊相等的三角形叫

4、做等腰三角形(圖(2) ).圖 (3)中的三角形是三邊都不相等的三角形.知2講 我們還知道：在等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底邊， 兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.知2講ABC頂角底角底角腰腰底邊 等邊三角形是特殊的等腰三角形，即底邊和腰相等的等腰三角形.知2講 以“是否有邊相等”，可以將三角形分為兩類：三邊都不相等的三角形和等腰三角形.三角形按角分銳角三角形直角三角形鈍角三角形按邊分三邊都不相等的三角形三角形的分類等腰三角形底邊和腰不相等的等腰三角形等邊三角形三邊都不相等的三角形等腰三角形等邊三角形知2講知2練下列說法：等邊三角形是等腰三角形；等腰三角形也可能是直角

5、三角形；三角形按邊分類可分為等腰三角形、等邊三角形和三邊都不相等的三角形；三角形按角分類應分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形其中正確的有() A1個 B2個 C3個 D4個 1 C知2練已知一個三角形是等腰三角形，則這個三角形()A一定是銳角三角形B一定是直角三角形C一定是鈍角三角形D可能是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形 2D知3導3知識點三角形的三邊關系 任意畫一個ABC，從點B出發(fā)，沿三角形的邊到點C，有幾條線路可以選擇？各條線路的長有什么關系？能證明你的結論嗎？ 如圖三角形中，假設有一只小蟲要從點B出發(fā)沿著三角形的邊爬到點C，它有幾條路線可以選擇？各條路線的長一樣嗎？ABC知3導

6、 對于任意一個 ABC，如果把其中任意兩個頂點(例如B，C)看成定 點，由“兩點之間，線段最短”可得 AB+ACBC.同理有 AC+BCAB, AB+BCAC.一般地，我們有三角形兩邊的和大于第三邊.由不等式移項可得BCABAC，BCACAB.這就是說，三角形兩邊的差小于第三邊. 知3講用一條長為18 cm的細繩圍成一個等腰三角形.如果腰長是底邊長的2倍，那么各邊的長是多少？能圍成有一邊的長是4 cm的等腰三角形嗎？為什么？(1)設底邊長為x cm，則腰長為2x cm. x+2x+2x = 18. 解得x=3. 6. 所以，三邊長分別為3. 6 cm，7.2 cm，7.2 cm.(2)因為長為

7、4 cm的邊可能是腰，也可能是底邊，所 以需要分情況討論. 例1(1)(2)解：知3導如果4 cm長的邊為底邊，設腰長為x cm，則 4+2x = 18.解得x = 7.如果4 cm長的邊為腰，設底邊長為 x cm，則24+x = 18.解得x = 10.因為4+410,不符合三角形兩邊的和大于第三邊，所以不能圍成腰長 是4 cm的等腰三角形.由以上討論可知，可以圍成底邊長是4 cm的等腰三角形. 知3導注意：1.一個三角形的三邊關系可以歸納成如下一句話：三 角形的任何兩邊之和大于第三邊，任何兩邊之差小 于第三邊.2.在做題時，不僅要考慮到兩邊之和大于第三邊，還 必須考慮到兩邊之差小于第三邊.

8、知3導(口答)下列長度的三條線段能否組成三角形？為 什么？(1) 3, 4, 8； (2) 5, 6, 11； (3) 5, 6, 10. 1知3練(1)不能組成三角形 因為34FG，BECG，BECFEF.在EFD和GFD中，返回2已知：如圖，在ABC和ABC中，AB返回2知識點“邊角邊”與“邊邊邊”的綜合應用AB，ACAC，AM和AM是中線，且AMAM.求證ABCABC.證明：如圖，分別延長AM和AM到點D，D，使得MDAM，MDAM，連接CD，CD.AMBDMC(SAS)ABDC，3D.在AMB和DMC中，同理ABDC，4D.ABAB，CDCD.又AD2AM2AMAD，ACAC，ACDA

9、CD(SSS)12，DD.34.1324，即BACBAC.又ABAB，ACAC，ABCABC(SAS)返回3如圖，已知A，D，E三點共線，C，B，F(xiàn)三點共3知識點構造全等三角形，用“邊角邊”與“邊邊邊”說明兩條線段的數(shù)量關系線，ABCD，ADCB，DEBF，那么BE與DF之間有什么數(shù)量關系？請說明理由解：BEDF.理由如下：連接BD.ABDCDB(SSS)AC.在ABD和CDB中，ADCB，DEBF，ADDECBBF，即AECF.ABECDF(SAS)BEDF.在ABE和CDF中，返回4如圖，ABC是等邊三角形，點D，E分別是邊BC，AB所在直線上的動點，且BDAE，AD與CE交于點F.3知識

10、點“邊角邊”在探究動點問題中的應用(1)當點D，E在邊BC，AB上運動時，DFC的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不變，求出其度數(shù)；若變化，寫出其變化規(guī)律解：不變 ABC是等邊三角形，ABAC，BBAC60.又BDAE，ABDCAE(SAS)BADACE.DFCACFFACBADFACBAC60.DFC的度數(shù)不發(fā)生變化，為60.(2)當點D，E運動到CB，BA的延長線上時，(1)中的結論是否改變？并說明理由(1)中的結論不改變理由如下：ABCBAC60，ABDCAE.又ABAC，BDAE，ABDCAE(SAS)DE.DFCEEAFDDABABC60.返回第十二章 全等三角形12.2 全等三角形的判定第4課

11、時 利用兩角一邊判定 三角形全等1. 什么是全等三角形？2. 我們已經(jīng)學過了哪幾種判定兩個三角形全等的方法？能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.邊邊邊(SSS)和邊角邊(SAS).1知識點判定兩三角形全等的基本事實：角邊角知1導 一張教學用的三角形硬紙板不小心被撕壞了，如圖，你能制作一張與原來同樣大小的新教具？能恢復原來三角形的原貌嗎？怎么辦？可以幫幫我嗎？畫一個ABC ，使AB=AB, AA ， BB ：(1)畫A B=A B；(2)在AB 的同旁畫DA B A, EB A B, AD, BE相交于點C .知1導 知1導歸 納1.判定方法三：兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三 角形全等(簡

12、寫成“角邊角”或“ASA”)2. 證明書寫格式：在ABC和ABC中， AA, ABAB， BB ， ABCABC. 例1 已知：如圖，點D在AB上，點E在AC上， AB=AC，B=C，求證：AD=AE.知1講 AC=AB ， C=B ，ACDABE（ASA）. AD=AE.分析：證明ACDABE中，就可以得出AD=AE.A=A（公共角），證明：在ACD和ABE中， 總 結知1講 在證兩三角形全等所需要的角相等時，目前通常采用的方法有：(1)公共角、對頂角分別相等；(2)等角加(減)等角，其和(差)相等，即等式的性質；(3)同角或等角的余(補)角相等；(4)角平分線得到相等角；(5)平行線的同位

13、角、內錯角相等；(6)直角都相等；(7)全等三角形對應角相等；(8)第三角代換，即等量代換等如圖，已知ABC的六個元素，則下列甲、乙、丙三個三角形中一定和ABC全等的圖形是() A甲、乙B甲、丙C乙、丙D乙知1練 C如圖，某同學不小心把一塊三角形玻璃打碎成三塊，現(xiàn)在要到玻璃店配一塊與原來完全相同的玻璃，最省事的方法是() A帶(1)和(2)去 B只帶(2)去 C只帶(3)去 D都帶去知1練 C(中考安順)如圖，已知AECF，AFDCEB，那么添加下列一個條件后，仍無法判定ADFCBE的是() AAC BADCB CBEDF DADBC知1練 B如圖，AB BC, AD DC，垂足分別為 B，D

14、, 1 = 2.求證AB=AD.知1練 知1練 證明： ABBC，ADDC， BD90. 在ABC和ADC中， BD， 12， AC AC （公共邊）， ABCADC(AAS) ABAD(全等三角形的對應邊相等)2知識點判定兩三角形全等的推論：角角邊知2講例2 如圖，AD是ABC的中線，過C，B分別作AD及 AD的延長線的垂線CF，BE.求證：BECF. 知2講導引：要證明BECF，可根據(jù)中線及垂線的定義和 對頂角的性質來證明BDE和CDF全等證明：AD是ABC的中線，BDCD. CFAD，BEAE，CFDBED90. 在BDE和CDF中， BEDCFD， BDECDF， BDCD， BDEC

15、DF(AAS)BECF.總 結知2講 判定兩三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法看缺什么條件，再去證什么條件，簡言之：即綜合利用分析法和綜合法尋找證明途徑 (中考六盤水)如圖，已知ABCDCB，下列所 給條件不能證明ABCDCB的是() AAD BABDC CACBDBC DACBD知2練 D知2練 2 (中考通遼)如圖，四邊形ABCD中，E點在AD上， 其中BAEBCEACD90，且BC CE. 求證：ABC與DEC全等知1練 證明： BCEACD90， 3445， 35， 在ACD中，ACD90， 2D90， BAE1290， 1D， 在ABC和

16、DEC中， ABCDEC(AAS)利用兩角一邊判定，三角形全等兩角及其夾邊（ASA）兩角和其中一角的對邊（AAS)(1) 本節(jié)課學習了幾種判斷兩個三角形全等的方法？ 分別是什么？它們之間有什么共同點和區(qū)別？(2) 本節(jié)課學習的兩種方法能否用“兩角一邊相等， 則三角形全等” 來代替？第十二章 全等三角形12.2 全等三角形的判定第5課時 利用斜邊和直角邊判 定直角三角形全等 舞臺背景的形狀是兩個直角三角形，為了美觀，工作人員想知道這兩個直角三角形是否全等，但每個三角形都有一條直角邊被花盆遮住無法測量. 你能幫工作人員想個辦法嗎？1知識點判定兩直角三角形全等的方法：斜邊、直角邊知1導問題任意畫一個

17、RtABC，使C =90，再畫一個RtABC，使C=90，BC=BC，AB=AB，然后把畫好的RtABC剪下來放到RtABC上，你發(fā)現(xiàn)了什么？ 知1導ABC(1)畫MCN =90；(2)在射線CM上取BC=BC；(3)以B為圓心，AB為半徑畫弧， 交射線C N于點A；(4)連接AB現(xiàn)象：兩個直角三角形能重合說明：這兩個直角三角形全等畫法：A NMCB 由上面可以得到判定兩個直角三角形全等的一個方法： 斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等(可以簡寫成“斜邊、 直角邊”或“HL”).知1導 歸 納 例1 重慶江津，節(jié)選如圖，在ABC中，AB CB，ABC90，F(xiàn)為AB延長線上一點，點 E在

18、BC上，且AECF. 求證： RtABERtCBF.知1講導引：根據(jù)ABCB，ABECBF90，AE CF，可利用“HL”證明RtABERtCBF. 證明：ABC90， CBFABE90. 在RtABE和RtCBF中， AECF， ABCB， RtABERtCBF(HL)知1講 總 結知1講 應用“HL”判定兩個直角三角形全等，書寫時，兩個三角形符號前要加上“Rt” 如圖，點C，E，B，F(xiàn)在一條直線上，ABCF于點B，DECF于點E，ACDF，ABDE.求證：CEBF.知1練 證明：ABCF，DECF， ABCDEF90. 在RtABC和RtDEF中， RtABCRtDEF(HL) BCEF.

19、BCBEEFBE， 即CEBF.知1練 如圖，CD90，添加一個條件，可使用“HL”判定Rt ABC與Rt ABD全等以下給出的條件適合的是() AACAD BABAB CABCABD DBACBAD知1練 A(中考西寧)下列可使兩個直角三角形全等的條件是() A一個銳角對應相等 B兩個銳角對應相等 C一條邊對應相等 D兩條邊對應相等知1練 D2知識點直角三角形全等的綜合判定知2導 直角三角形全等的判定既可以用“SSS” “SAS” “ASA”和“AAS”,有可以用 “HL”.知2講 例2 已知：如圖，ACBC，BDAD，垂足 分別為C , D, AC=BD,求證；BC=AD.證明：ACBC，

20、BDAD， C與D都是直角. 在RtABCRtBAD中， AB=BA, AC=BD, RtABCRtBAD (HL). BC=AD. 知2練1 下列條件可使兩個直角三角形全等的是() A一條邊對應相等 B兩條直角邊對應相等 C一個銳角對應相等 D兩個銳角對應相等 B2 下列條件不能使兩個直角三角形全等的是() A斜邊和一銳角對應相等 B有兩邊對應相等 C有兩個銳角對應相等 D有一直角邊和一銳角對應相等知2練 C知2練3 如圖，ACB90，ACBC，BECE于點 E，ADCE于點D，下面四個結論：ABE BAD；CEBADC；ABCE；AD BEDE.其中正確的是 _ (將你認為正 確結論的序號

21、都寫上) 4 如圖，MNPQ，ABPQ，點A，D在直線MN上， 點B，C在直線PQ上，點E在AB上，ADBC7， ADEB，DEEC，則AB_.知2練 7判定直角三角形全等的“四種思路”：(1)若已知條件中有一組直角邊和一組斜邊分別相等， 用“HL”判定(2)若有一組銳角和斜邊分別相等，用“AAS”判定(3)若有一組銳角和一組直角邊分別相等，直角邊是銳 角的對邊，用“AAS”判定；直角邊是銳角的鄰邊， 用“ASA”判定(4)若有兩組直角邊分別相等，用“SAS”判定 第十二章 全等三角形12.3 角的平分線的性質第1課時 角的平分線 的性質 不利用工具，請你將一張用紙片做的角分成兩個相等的角.

22、你有什么辦法？AOBC再打開紙片 ，看看折痕與這個角有何關系？ 對折1知識點角的平分線的畫法知1導 下圖是一個平分角的儀器，其中AB= AD，BC=DC.將點A放在角的頂點，AB和AD 沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就 是這個角的平分線,你能說明它的道理嗎？ ABDCE知1講證明： 在ACD和ACB中 AD=AB（已知） DC=BC（已知） CA=CA（公共邊） ACD ACB（SSS） CAD=CAB（全等三角 形的對應角相等） AC平分DAB（角平分線的定義）ADBCE作已知角的平分線的方法.已知：AOB.求作：AOB的平分線.作法：（1)以點O為圓心，適當長為半徑畫弧， 交

23、OA于點M，交OB于點N. (2)分別以點M，N為圓心，大于 MN的長 為半徑畫弧，兩弧在AOB的內部相交于點C. (3)畫射線OC.射線OC即為所求（如圖).知1講 作AOB的平分線時，以O為圓心，某一長度為半徑作弧，與OA，OB分別相交于C，D，然后分別以C，D為圓心，適當?shù)拈L度為半徑作弧，使兩弧相交于一點，則這個適當?shù)拈L度為() A大于 CD B等于 CD C小于 CD D以上答案都不對知1練 A如圖所示，已知AOB，求作：AOM AOB.知1練 導引)：要作射線OM，使AOM AOB，其實質是作 AOB的平分線作法：(1)以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點E， 交OB于點F；

24、(2)分別以點E，F(xiàn)為圓心，大于 EF的長為半徑畫弧， 兩弧在AOB的內部交于點C； (3)畫射線OC； (4)同理，作AOC的平分線OM.AOM即為所求 (如上圖所示)知1練2知識點角的平分線的性質知2導 如圖，任意作一個角AOB，作出 AOB的平分線OC. 在OC上任取一點P，過點P 畫出OA，OB的垂線，分別記垂足為D，E，測量 PD，PE并作比較，你得到什么結論？在OC上再取幾個點試一試. 通過以上測量，你發(fā)現(xiàn)了角的平分線的什么性質？ ABOPCDE1.性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等2.書寫格式： 如圖，OP平分AOB， PD OA于點D，PEOB于點E, PDPE. 知2

25、講 知2講BADOPEC定理應用所具備的條件：(1)角的平分線；(2)點在該平分線上；(3)垂直距離.定理的作用： 證明線段相等. 如圖, AOC=BOC，點 P 在OC 上，PDOA,PEQB，垂足分別為D，E.求證PD=PE.證明：PDOA, PEOB, PDO=PEO=90. 在PDO和PEO中， PDO=PEO, AOC=BOC, OP=OP, PDO PEO(AAS). PD=PE.知2講 知2講 例1 如圖，在ABC中，C90，AD平分 CAB，DEAB于E，F(xiàn)在AC上，BEFC， 求證：BDDF. 導引：要證BDDF，可考慮證兩線段所在的 BDE和FDC全等，兩個三角形中已有一

26、角和一邊相等，只要再證DECD即可，這 可由AD平分CAB及垂直條件證得 在BDE和FDC中，DE=CD ,DEB=C,BE=FC, BDE FDC , BD=DF .證明：AD平分CAB，DEAB于E， C90，DEDC.知2講 總 結知2講 由角平分線的性質不用證全等可以直接得線段相等，這是證線段相等的一個簡捷方法 如圖，在直線MN上求作一點P，使點P到射線OA 和OB 的距離相等.知2練 解：如圖，過O作AOB的平分線，與直線MN交于點P， 點P即為所求作的點知2練 知2練 2 如圖，在ABC中，C90，ACBC，AD 平分CAB交BC于D，DEAB于E，若AB 6 cm，則DBE的周長

27、是() A6 cm B7 cm C8 cm D9 cm A如圖，已知在ABC中，CD是AB邊上的高線， BE平分ABC，交CD于點E，BC50，DE14，則BCE的面積等于_知2練 350(1)本節(jié)課學習了哪些主要內容？(2)本節(jié)課是通過什么方式探究角的平分線的性質的？(3)角的平分線的性質為我們提供了證明什么的方法？ 在應用這一性質時要注意哪些問題？ 第十二章 全等三角形12.3 角的平分線的性質第2課時 角的平分線 的判定角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.ODEPP到OA的距離P到OB的距離角平分線上的點ACB回顧舊知1知識點角的平分線的判定 知1導 如圖，由 于點 D

28、 ， 于點E，PD= PE ， 可以得到什么結論 ？ OBPEPDOABADOPE到一個角的兩邊的距離相等的點， 在這個角的平分線上.判定方法：角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上書寫格式：如圖，PDOA，PEOB，PDPE, 點P在AOB的平分線上(或AOCBOC)知1講 例1 如圖，BECF，DFAC于點F，DEAB于 點E，BF和CE相交于點D. 求證：AD平分BAC. 知1講 導引：要證AD平分BAC，已知 條件中有兩個垂直，即有 點到角的兩邊的距離，再證這兩個距離相等即 可證明結論，證這兩條垂線段相等，可通過證 明BDE和CDF全等來完成 證明：DFAC于點F，DEAB于點

29、E， DEBDFC90. 在BDE和CDF中， BDECDF DEBDFC BECF BDECDF(AAS)， DEDF. 又DFAC于點F，DEAB于點E， AD平分BAC.知1講 總 結知1講證明角平分線的“兩種方法”(1)定義法：應用角平分線的定義.(2)定理法：應用“到角兩邊距離相等的點在角的平分線 上”來判定 . 判定角平分線時，需要滿足兩個條件： “垂直”和“相等”.1 解決課時導入提出的問題.2 在正方形網(wǎng)格中，AOB的位置如圖所示，到AOB 兩邊距離相等的點應是() A點M B點N C點P D點Q知1練 A如圖，在CD上求一點P，使它到邊OA，OB的距 離相等，則點P是() A

30、線段CD的中點 BCD與過點O作CD的 垂線的交點 CCD與AOB的平分線的交點 D以上均不對知1練 C4 如圖，在ABC中，分別與ABC，ACB相鄰的 外角的平分線相交于點F，連接AF，則下列結論正 確的是() AAF平分BC BAF平分BAC CAFBC D以上結論都正確知1練 B(中考永州)如圖，在四邊形ABCD中，ABCD， BA和CD的延長線交于點E，若點P使得SPAB SPCD，則滿足此條件的點P() A有且只有1個 B有且只有2個 C組成E的平分線 D組成E的平分線所在的直線(E點除外)知1練 D2知識點三角形的角平分線知2講 如圖，ABC的角平分線BM， CN相交于點P.求證：

31、點P到三邊AB，BC， CA的距離相等.證明：過點P作PD，PE，PF分別垂 直于 AB，BC, CA，垂足分別 為D, E，F(xiàn). BM是ABC的角平分線，點P在BM上， PD=PE. 同理PE=PF. PD=PE=PF. 即點P到三邊AB，BC，CA的距離相等. 探究思考： 想一想，點P在A的平分線上嗎？這說明三角形得三條角平分線有什么關系？ 知2講 總 結知2講 三角形的角平分線的交點到三邊的距離相等，這個交點叫作三角形的內心. 1 到ABC的三條邊距離相等的點是ABC的() A三條中線的交點 B三條角平分線的交點 C三條高的交點 D以上均不對知2練 B知2練 2 如圖，ABC的三邊AB，

32、BC，CA的長分別為40， 50，60，其三條角平分線交于點O，則 SABOSBCOSCAO _.4 5 6 3 如圖，ABC的ABC的外角的平分線BD與 ACB的外角的平分線CE相 交于點P.求證：點P到 三邊AB，BC，CA所在直線的距離相等.知2練 知2練證明：如圖，過點P分別作PF，PG，PH垂直于直線 AC，AB，BC，垂足分別為F，G，H. 因為BD是ABC的ABC的外角的平分線，點 P在BD上， 所以PGPH(角的平分線上 的點到角的兩邊的距離相等) 同理PFPH， 所以PGPHPF，即點P到三邊AB，BC，CA 所在直線的距離相等 角的平分線的性質與判定定理的關系：(1)都與距

33、離有關，即垂直的條件都應具備(2)點在角的平分線上 點到這個角兩邊的距離 相等 (3)性質反映只要是角的平分線上的點，到角兩邊的距離就 一定相等；判定定理反映只要是到角兩邊距離相等的點， 都應在角的平分線上性質判定定理全章熱門考點整合應用第12章 全等三角形1如圖，將標號為A，B，C，D的正方形沿圖中的虛線剪開后，得到標號為N，Q，M，P的四個圖形，填空：A與_對應；B與_對應；C與_對應；D與_對應返回1考點兩個概念概念1全等形MNQP2如圖，已知ABE與ADC全等，12，BC.指出全等三角形中的對應邊和對應角概念2全等三角形解：AB與AC，AE與AD，BE與CD是對應邊；B與C，2與1，B

34、AE與CAD是對應角返回3如圖，已知ABDACD，且B，D，C在同一條直線上，那么AD與BC有怎樣的位置關系？為什么？2考點兩個性質性質1全等三角形的性質解：ADBC.理由如下：ABDACD， ADBADC.B，D，C在同一條直線上，ADBADC180.ADBADC90.ADBC.返回4如圖，已知ABCADE，BC的延長線分別交DA，DE于點M，F(xiàn).若D25，AED105，DAC10.求DFB的度數(shù)解：D25，AED105，DAE50.又ABCADE，BD25，BACDAE50.DAC10，BAD60.AMFBADB602585.DFBAMFD852560.返回5如圖，在正方形ABCD中，點E

35、是BC的中點，點F在CD上，EAFBAE.求證AFBCFC.性質2角平分線的性質證明：過點E作EGAF，垂足為點G，連接EF.在正方形ABCD中，ABBC，BC90.EBAB.BAEEAF，AE為BAF的平分線又EBAB，EGAF，EBEG.在RtABE和RtAGE中，返回RtABERtAGE(HL)ABAG.BCAG.又點E是BC的中點，BEECEG.在RtEGF和RtECF中，RtEGFRtECF(HL)GFCF，AFAGGFBCFC.6課間，小明拿著老師的等腰三角尺玩，不小心掉到兩堆磚塊之間，如圖所示(1)求證ADCCEB；3考點兩個性質判定1全等三角形的判定證明：由題意得ACBC，AC

36、B90，ADDE，BEDE，ADCCEB90，ACDBCE90.ACDCAD90.BCECAD.在ADC和CEB中，ADCCEB，CADBCE，ACCB，ADCCEB(AAS)(2)已知DE35 cm，請你幫小明求出磚塊的厚度a的大小(每塊磚的厚度相同)解：由題意得AD4a，BE3a.由(1)知ADCCEB，DCBE3a，CEAD4a，DEDCCE7a.DE35 cm，a5 cm.答：磚塊的厚度a為5 cm.返回7已知：如圖，ABAC，BDCD，DEAB于點E，DFAC于點F.求證DEDF.判定2角平分線的判定證明：連接AD.ABAC，BDCD，ADAD，ABDACD(SSS)BADCAD.A

37、D是EAF的平分線DEAB，DFAC，DEDF.返回8如圖，ABDC，AD.求證ABCDCB.4考點兩個技巧技巧1構造全等三角形法證明：分別取AD，BC的中點N，M，連接BN，CN，MN，則有ANND，BMMC.在ABN和DCN中，ABNDCN(SAS)ABNDCN，NBNC.在NBM和NCM中，NBMNCM(SSS)NBCNCB.NBCABNNCBDCN，即ABCDCB.返回9如圖，在ABC中，D為BC的中點若AB5，AC3，求AD的取值范圍技巧2倍長中線法解：延長AD至點E，使DEAD，連接BE.則AE2AD.D為BC的中點，CDBD.又ADED，ADCEDB，ADCEDB(SAS)ACE

38、B. ABEBAEABEB，ABAC2ADABAC.又AB5，AC3， 22AD8，1AD n). 根據(jù)除法是乘法的逆運算，計算被除數(shù)除以除數(shù)所得的商，就是求一個數(shù)，使它與除數(shù)的積等于被除數(shù).由于式中的字母表示數(shù)，所以可以用類似的 方法來計算am an . am-n an= a(m-n)+n = am ， am an = am-n . 一般地，我們有 am an = am-n (a 0，m，n都是正整數(shù)，并且mn).即同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變,指數(shù)相減.知1導計算：(1)x8 x2;(2) (ab) 5 (ab) 2 .(1)x8 x2 =x8-2=x6;(2) (ab) 5 (ab) 2 =

39、(ab)5-2 = (ab) 3 =a3b3.知1講 例1 解： 運用整體思想解題從整體來看以上各題都為同底數(shù)冪或可化為同底數(shù)冪的運算，在運算時要注意結構和符號知1講已知xm9，xn27，求x3m2n的值x3m2n x3m x2n(xm) 3(xn ) 2，把條件代入可求值x3m2n x3m x2n(xm) 3(xn ) 2 932721.知1講 例2 導引： 解： 此題運用了轉化思想當冪的指數(shù)是含有字母的加法時，通常轉化為同底數(shù)冪的乘法；當冪的指數(shù)是含有字母的減法時，通常轉化為同底數(shù)冪的除法，然后逆用冪的乘方法則并整體代入求值知1講 知1練 計算(x)3 (x)2等于()Ax Bx Cx5

40、Dx51 (中考桂林)下列計算正確的是()A(a5)2a10 Bx16x4x4 C2a23a26a4 Db3b32b32AA知1練 計算a2a4(a2)2的結果是()Aa Ba2 Ca2 Da33 B知2導2知識點零指數(shù)冪零指數(shù)的意義：若amam，那么，按照公式，aman=amm=a0.但是，根據(jù)除法的意義，amam=1，可見： a0=1(a0) 我們規(guī)定，任何數(shù)的0次冪等于1，0的0次冪無意義.計算：分別利用絕對值的意義和零指數(shù)冪的定義計算各自的值，再把結果相加原式314.知2講 例3 導引： 解： (1)零指數(shù)冪在同底數(shù)冪除法中，是除式與被除式的指 數(shù)相同時的特殊情況(2)指數(shù)為0，但底數(shù)

41、不能為0，因為底數(shù)為0時，除 法無意義知2講 知2練 計算：(2)3( 1)0_.1 (中考陜西)計算 ()A1 BC0 D.2 7A知2練 3 下列運算正確的是()Aa01 B3a4a12aCa12a3a4 D(a3)4a12D知3講3知識點同底數(shù)冪的除法法則的應用 計算：(1)(a2)5(a2)3(a4)3；(2)(ab)3(ba)2(ab)5(ab)4.有同底數(shù)冪的乘除和乘方運算時，應先算乘方，再算乘除；若底數(shù)不同，要先化為相同底數(shù)，再按運算順序進行計算例4 導引： (1)原式a10(a6)(a12) a16(a12) a1612a4；(2)原式(ab)3(ab)2(ab)5(ab)4

42、(ab)(ab)abab 2b.解： 知3講 從結構上看，這是兩個混合運算，只要注意其結構特征，并按運算順序和法則計算即可注意在運算過程中，一定要先確定符號知3講知3練 1下列計算正確的有()個(c)4(c)2c2； x6x2x3； a3aa3；x10(x4x2)x8； x2nxn2xn2.A2 B3 C4 D5 A知3練 2 計算16m4n2等于()A2mn1 B22mn1 C23m2n1 D24m2n1D本節(jié)課主要學習一個法則：同底數(shù)冪除法法法則；三種方法：同底數(shù)冪除法法則的推導方法； 法則的運用方法(底數(shù)不變，指數(shù)相減)； “特殊-一般”的歸納方法。運用同底數(shù)冪的除法法則的條件：(1)運

43、用范圍：兩個冪的底數(shù)相同，且是相除關系，被 除式的指數(shù)大于或等于除式的指數(shù)，且底數(shù)不能為0.(2)底數(shù)可以是單項式，也可以是多項式(3)對于三個或三個以上的同底數(shù)冪相除，該法則仍然 成立第8課時 整式的乘法單 項式除以單項式14.1 整式的乘法第十四章 整式的乘法與因式分解1.同底數(shù)冪的除法公式：2.單項式乘以單項式法則： 單項式乘以單項式，把系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式中存在的字母連同它的指數(shù)作為積的一個因式.aman=amn(a0, m, n都是正整數(shù)，并且mn).復習回顧1知識點單項式除以單項式的法則知1講填空：(1)2a_8a3；(2) _3xy6x3y；(3) 3ab2

44、_12a3b2x3；計算下列各題，并說說你的理由 .(1) x5yx2 ；(2) 8m2n22m2n ；(3) a4b2c3a2b .可以用類似于分數(shù)約分的方法來計算.知1講知1講 單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除后，作為商的因式；對于 只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個因式 .單項式除以單項式的法則：計算：(1)28x4y2 7x3y;(2) 5a5b3c 15a4b.(1) 28x4y2 7x3y = (28 7) x4 3 y2 1 =4xy ;(2) 5a5b3c 15a4b = ( 5) 15a5 4b 3 1 c = .知1講 例1 解： 例2 計算：(1)

45、12x5y3z3x4y；(2)導引：解題的依據(jù)是單項式除法法則計算時，要弄 清兩個單項式的系數(shù)各是什么，哪些是同底數(shù)冪，哪些是只在被除式里含有的字母，此外，還要特別注意系數(shù)的符號及運算順序解：(1)12x5y3z3x4y(123)x54y31z4xy2z；(2)知1講 總 結知1講單項式除以單項式時，盡量按字母的順序去寫并依據(jù)法則將其轉化為同底數(shù)冪相除來完成；計算時特別注意符號的變化，不要漏掉只在被除式中含有的因式1 (中考遵義)計算12a63a2的結果是()A4a3 B4a8C4a4 D a4知1練 C知1練 2 (中考陜西)下列計算正確的是()Ax23x24x4 Bx2y2x32x4yC(

46、6x2y2)(3x)2x2 D(3x)29x23 (2中考蘇州)下列運算結果正確的是()Aa2b3ab B3a22a21Ca2a4a8 D(a2b)3(a3b)2bDD2知識點單項式除以單項式的法則的應用知2導 如圖所示，三個大小相同的球恰好放在一個圓柱形盒子里，三個球的體積之和占整個盒子容積的幾分之幾？知2講例3 已知(3x4y3)3 mx8y7，求nm的值 .導引：先利用單項式除以單項式法則計算等式左邊的式子，再與等式右邊的式子進行比較求解解：因為 18x12ny7，所以18x12ny7mx8y7.因此m18，12n8.所以n4，所以nm41814. 總 結知2講本題運用了方程思想求解通過

47、單項式除以單項式法則把條件中的等式左邊化簡成一個單項式，再通過兩個單項式相等的特征構造方程是解題的關鍵知2講例4 一種被污染的液體每升含有2.41013個有害細菌，為了試驗某種殺菌劑的效果，科學家們進行了實驗，發(fā)現(xiàn)1滴殺菌劑可以殺死41010個此種細菌，要將1 L液體中的有害細菌全部殺死，需要這種殺菌劑多少毫升？(注：15滴1 mL)導引：根據(jù)題意列出算式，再根據(jù)單項式除以單項式 進行計算可得結果解：依題意，得(2.41013)(41010)600(滴)6001540(mL)答：需要這種殺菌劑40 mL. 總 結知2講這類實際問題先列出算式，要把2.41013和41010看作單項式形式，其中2

48、.4和4可當作系數(shù)知2練1 (中考威海)下列運算正確的是()A(2mn)26m2n2B4x42x4x46x4C(xy)2(xy)xyD(ab)(ab)a2b22 已知a1.6109，b4103，則a2b等于()A4107 B81014C6.4105 D6.41014 CD1. 單項式除以單項式的法則： 單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除后，作 為商的因式；對于 只在被除式里含有的字母，則 連同它的指數(shù)一起作為商的一個因式 .2. 在運算過程中注意數(shù)學方法和數(shù)學思想的應用， 在實際應用中要把數(shù)學問題轉化成數(shù)學問題 .第9課時 整式的乘法多 項式除以單項式14.1 整式的乘法第十四章 整式的乘法

49、與因式分解復習回顧：單項式除以單項式的法則是什么？1知識點多項式除以單項式的法則計算下列各題，說說你的理由 .(1)(ad+bd) d =_；(2)(a2b+3ab) a =_；(3) )(xy3-2xy) xy =_.如何進行多項式除以單項式的運算?知1導多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加 .知1導歸 納1. 多項式除以單項式法則： 多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分 別除以單項式，再把所得的商相加知1講2. 易錯警示：(1)多項式除以單項式時漏項；(2)多項式除以單項式時符號出錯知1講計算： (12a3 6a2+3a) 3a.(12a3 6a2

50、+3a) 3a=12a33a 6 a2 3a +3a 3a =4 a2 2a + 1.知2講 例1 解： 知1講例2 計算 (1) (9a321a26a)(3a)；(2)導引：對于(1)直接利用多項式除以單項式法則進行計 算，對于(2)應先乘方再進行除法運算解：(1)原式(9a3)(3a)(21a2)(3a) 6a(3a)3a27a2；(2)原式 總 結知1講多項式除以單項式實質是轉化為單項式除以單項式，計算時應注意逐項相除，不要漏項，并且要注意符號的變化，最后的結果通常要按某一字母升冪或降冪的順序排列1 計算(8a2b32a3b2ab)ab的結果是() A8ab22a2b1 B8ab22a2

51、b C8a2b22a2b1 D8ab2a2b1知1練 A知1練 2 下列計算：(6ab5a)a6b5，(8x2y4xy2)(4xy)2xy，(15x2yz10 xy2)5xy3x2y，(3x2y3xy2x)x3xy3y2.其中不正確的有()A1個 B2個 C3個 D4個C知1練 3 計算(81xn56xn33xn2)(3xn1)等 于()A27x62x4x3 B27x62x4xC27x62x4x3 D27x42x2x4 長方形面積是3a23ab6a，一邊長為3a，則與其相鄰的另一條邊長為()A2ab2 Bab2C3ab2 D4ab25 (中考漳州)一個矩形的面積為a22a，若一邊長為a，則其鄰

52、邊長為_ABa22知識點整式的混合運算知2導小明在爬一小山時，第一階段的平均速度為v，所用時間為t1 ; 第二階段的平均速度為 v ，所用時間為t2 .下山時，小明的平均速度保持為4v .已知小明上山的路程和下山的路程是相同的，那么小明下山用了多長時間？整式的混合運算和有理數(shù)的混合運算類似，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號里面的.知2講知2講例3 計算：(3a2b)(a2b)b(4a4b)2a .導引：先算括號內的，再做除法運算 解：原式(3a28ab4b24ab4b2)2a (3a24ab)2a 總 結知2講注意運算順序，先算括號里面的，再算多項式除以單項式知2講例4 已知2

53、ab6，求代數(shù)式(a2b2)2b(ab)(ab)24b的值.導引：先將原式進行化簡，再將2ab視為一個整體 代入所求的結果中，求出代數(shù)式的值解：原式a2b22ab2b2a22abb24b (2b24ab)4b 總 結知2講本題運用了整體思想求解這里不需要具體求出a，b的值，只需將所得結果進行變形，轉化成已知條件便可得到解決知2講例5閱讀題一天數(shù)學課上，老師講了整式的除法運算，放學后，王華回到家拿出課堂筆記，認真地復習課上老師講的內容，他突然發(fā)現(xiàn)一道三項式除法運算題：(21x4y37x2y2)(7x2y)5xyy，被除式的第二項被鋼筆水弄污了，商式的第一項也被鋼筆水弄污了，你能復原這兩處被弄污的

54、內容嗎？ 知2講導引：多項式除以單項式，要把多項式的每一項除以 單項式，因此可以對比被除式和商式，找到對 應的項，利用被除式、除式、商式之間的關系 解答解：因為21x4y3(7x2y)3x2y2，而且商式中未弄 污的部分沒有這一項，所以商式中被弄污的內容 就是3x2y2； 因為(5xyy)(7x2y)35x3y27x2y2，所以被 除式中被弄污的部分為35x3y2. 總 結知2講解此類題目時，可以對比運算前后的項，找到對應關系從而確定所求的項或系數(shù)知2練1 (中考臺灣)計算多項式2x(3x2)23除以3x2后，所得商式與余式兩者之和為何？()A2x3 B6x24xC6x24x3 D6x24x3

55、2 (中考南昌)下列運算正確的是()Aa2a3a5B(2a2)36a6C(2a1)(2a1)2a21D(2a3a2)a22a1 CD知2練3 下列四個算式：4x2y4 xyxy3；16a6b4c8a3b22a2b2c；9x8y23x3y3x5y；(12m38m24m)(2m)6m24m2.其中正確的有()A0個 B1個 C2個 D3個 C1. 多項式除以多項式的法則： 多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分 別除以單項式，再把所得的商相加 .2. 利用多項式除以單項式的法則進行計算時需注意：(1)先確定商的每一項的符號，它是由多項式的每一 項的符號與單項式的符號決定的；(2)相除的過程中不

56、要漏項，多項式除以單項式的結 果仍然是一個多項式3. 整式的混合運算的注意點.第十四章 整式的乘法與因式分解14.2 乘法公式第1課時 平方差公式復習回顧：多項式與多項式是如何相乘的？(a + b)( m + n)=am+an+bm+bn知1導1知識點平方差公式平方差公式：(a+b)(ab)=a2b2兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.公式變形:1、(a b ) ( a + b) = a2b22、(b + a )(b + a ) = a2b2知1講 (a+b)(ab)=(a)2(b)2 相同為a 相反為b注：這里的兩數(shù)可以是兩個單項式也可以是兩個 多項式等等適當交換合理加括號運用平方差

57、公式計算：(1)(3x+2)(3x 2);(2) (x+2y)(x 2 y).在(1)中，可以把3x看成a，2看成b，即(3x+2)(3x2) = (3x)2 22. (a+ b)(a b) = a2 b2知1講 例1 分析： (1) (3x+2)(3x 2) = (3x)2 22 = 9x2 4；(2) (x+2y)(x 2 y) =(x ) 2 (2y ) 2 =x2 4y 2.解： 知1講 你還有其他的計算方法嗎？ 符合平方差特點的，緊扣公式特征，找出公式中的“a”和“b”，用平方差公式直接進行計算，注意作為“a”項的符號為“”號時，在計算中要連同它的符號一起作為底數(shù)，例如上題中的（2）

58、題，結果可能會出現(xiàn)x2+4y2這樣的錯解.知1講 根據(jù)平方差公式填空：(1)(3a2)(3a2)(3a)222_；(2)(2x3)(_)4x29；(3)(_)(5a1)125a2.1 知1練 9a242x315a知1練 2 下列運算正確的是()A(ab)(ba)a2b2B(2mn)(2mn)2m2n2C(xm3)(xm3)x2m9D(x1)(x1)(x1)2C知2導2知識點平方差公式的應用 學習了平方差公式之后，我們可利用平方差公式進行簡便運算. 計算：(1)( y+2)( y2) ( y 1)( y+5);(2)102 98.(1)( y+2)( y2) ( y 1)( y+5); =y2

59、22 ( y2+4y 5) =y2 4 y2 4y+5 = 4y +1;(2) 102 98=(100+2) (100 2) = 1002 22 = 10 000 4 =9 996.知2講 例2 解： 運用平方差公式計算兩數(shù)乘積問題，關鍵是找到這兩個數(shù)的平均數(shù)，再將原兩個數(shù)與這個平均數(shù)進行比較，變形成兩數(shù)的和與這兩數(shù)的差的積的形式，利用平方差公式可求解知2講 知2練 1 運用平方差公式計算：(1) (a+3b)(a 3b);(2) (3+2a)( 3+2a);(3) 51 49;(4) (3x+4)(3x 4)(2x+3)(3x 2).(1) a29b2； (2) 4a29；(3) 2499；

60、 (4) 3x25x10.解： 知2練 2 計算2 01622 0152 017的結果是()A1 B1C2 D2A通過本課時的學習，需要我們掌握：平方差公式:(a+b)(ab)=a2b2.即兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.平方差公式的逆用： a2b2 = (a+b)(ab).第十四章 整式的乘法與因式分解14.2 乘法公式第2課時 完全平方公式 我們上一節(jié)學習了平方差公式即(a+b)(a-b)=a2-b2，現(xiàn)在遇到了兩個數(shù)的和的平方，即(a+b)2，這是我們這節(jié)課要研究的新問題知1導1知識點完全平方公式探究計算下列各式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？(1) (p+1)2= (p+1)