1、請(qǐng)你做下面的游戲：一筆畫出如圖1的圖形來。規(guī)則：筆不離開紙面，每根線都只能畫一次。這就是古老的民間游戲一筆畫。你能畫出來嗎？如果你畫出來了，那么請(qǐng)你再看圖2能不能一筆畫出來？雖然你動(dòng)了腦筋，但我相信你肯定不能一筆畫出來！為什么我的語氣這么肯定？我們來分析一下圖2。我們把圖世界數(shù)學(xué)難題哥尼斯堡七橋問題看成是由點(diǎn)和線組成的一種集合。圖里直線的交點(diǎn)叫做頂點(diǎn)，連結(jié)頂點(diǎn)的線叫做邊。這個(gè)圖是聯(lián)通的，即任何二個(gè)頂點(diǎn)之間都有邊。很顯然，圖中的頂點(diǎn)有兩類：一類是有偶數(shù)條邊聯(lián)它的，另一類是有奇數(shù)條邊聯(lián)它的。一個(gè)頂點(diǎn)如果有偶數(shù)條邊聯(lián)它的，這點(diǎn)就稱為偶點(diǎn)；如果有奇數(shù)條邊聯(lián)它的，就稱它為奇點(diǎn)。我們知道，能一筆畫的圖形只

2、有兩類：一類是所有的點(diǎn)都是偶點(diǎn)。另一類是只有二個(gè)奇點(diǎn)的圖形。圖有六個(gè)奇點(diǎn)，四個(gè)偶點(diǎn)，當(dāng)然不能一筆畫出來了。為什么能一筆畫的圖形只有上述兩類呢？有關(guān)這個(gè)問題的討論，要追溯到二百年前的一個(gè)著名問題：哥尼斯堡七橋問題。十八世紀(jì)東普魯士哥尼斯堡城（今俄羅斯加里寧格勒）的普萊格爾河，它有兩個(gè)支流，在城市中心匯成大河，中間是島區(qū)，河上有7座橋，將河中的兩個(gè)島和河岸連結(jié)，如圖3所示。由于島上有古老的哥尼斯堡大學(xué)，有教堂，還有哲學(xué)家康德的墓地和塑像，因此城中的居民，尤其是大學(xué)生們經(jīng)常沿河過橋散步。漸漸地，愛動(dòng)腦筋的人們提出了一個(gè)問題：一個(gè)散步者能否一次走遍7座橋，而且每座橋只許通過一次，最后仍回到起始地點(diǎn)。這

3、就是七橋問題，一個(gè)著名的圖論問題。圖這個(gè)問題看起來似乎很簡(jiǎn)單，然而許多人作過嘗試始終沒有能找到答案。因此，一群大學(xué)生就寫信給當(dāng)時(shí)年僅20歲的大數(shù)學(xué)家歐拉。歐拉從千百人次的失敗，以深邃的洞察力猜想，也許根本不可能不重復(fù)地一次走遍這七座橋，并很快證明了這樣的猜想是正確的。歐拉是這樣解決問題的：既然陸地是橋梁的連接地點(diǎn)，不妨把圖中被河隔開的陸地看成4個(gè)點(diǎn)，7座橋表示成7條連接這4個(gè)點(diǎn)的線，如圖4所示。圖4圖5于是“七橋問題”就等價(jià)于圖5中所畫圖形的一筆畫問題了。歐拉注意到，如果一個(gè)圖能一筆畫成，那么一定有一個(gè)起點(diǎn)開始畫，也有一個(gè)終點(diǎn)。圖上其它的點(diǎn)是“過路點(diǎn)”畫的時(shí)候要經(jīng)過它?，F(xiàn)在看“過路點(diǎn)”具有什么

4、性質(zhì)。它應(yīng)該是“有進(jìn)有出”的點(diǎn)，有一條邊進(jìn)這點(diǎn)，那么就要有一條邊出這點(diǎn)，不可能是有進(jìn)無出，如果有進(jìn)無出，它就是終點(diǎn)，也不可能有出無進(jìn)，如果有出無進(jìn)，它就是起點(diǎn)。因此，在“過路點(diǎn)”進(jìn)出的邊總數(shù)應(yīng)該是偶數(shù)，即“過路點(diǎn)”是偶點(diǎn)。如果起點(diǎn)和終點(diǎn)是同一點(diǎn)，那么它也是屬于“有進(jìn)有出”的點(diǎn)，因此必須是偶點(diǎn)，這樣圖上全體點(diǎn)都是偶點(diǎn)。如果起點(diǎn)和終點(diǎn)不是同一點(diǎn)，那么它們必須是奇點(diǎn)，因此這個(gè)圖最多只能有二個(gè)奇點(diǎn)?，F(xiàn)在對(duì)照七橋問題的圖，所有的頂點(diǎn)都是奇點(diǎn)，共有四個(gè)，所以這個(gè)圖肯定不能一筆畫成。歐拉對(duì)“七橋問題”的研究是圖論研究的開始，同時(shí)也為拓?fù)鋵W(xué)的研究提供了一個(gè)初等的例子。事實(shí)上，中國民間很早就流傳著這種一筆畫的游

5、戲，從長(zhǎng)期實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，人們知道如果圖的點(diǎn)全部是偶點(diǎn)，可以任意選擇一個(gè)點(diǎn)做起點(diǎn)，一筆畫成。如果是有二個(gè)奇點(diǎn)的圖形，那么就選一個(gè)奇點(diǎn)做起點(diǎn)以順利的一筆畫完。可惜的是，古時(shí)候沒有人對(duì)它重視，沒有數(shù)學(xué)家對(duì)它進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，以及加以研究。今天學(xué)習(xí)歐拉的成果不應(yīng)是單純把它作為數(shù)學(xué)游戲，重要的是應(yīng)該知道他怎樣把一個(gè)實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題。研究數(shù)學(xué)問題不應(yīng)該為“抽象而抽象”，抽象的目的是為了更好的、更有效的解決實(shí)際產(chǎn)生的問題，歐拉對(duì)“七橋問題”的研究就是值得我們學(xué)習(xí)的一個(gè)樣板。附錄】一、【七巧板簡(jiǎn)介】十九世紀(jì)最流行的謎題之一就是七巧板。七巧板的流行大概是由于它結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、操作簡(jiǎn)便、明白易懂的緣故。你可以用七巧板隨

6、意地拼出你自己設(shè)計(jì)的圖樣，但如果你想用七巧板拼出特定的圖案，那就會(huì)遇到真正的挑戰(zhàn)。七巧板那簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)很容易使人誤認(rèn)為要解決它的問題也很容易，其實(shí)這種想法是片面的。用七巧板可以拼出160種0以上的圖案，其中有些是容易拼成的，有一些卻相當(dāng)詭秘，還有一些則似是而非充滿了矛盾?！捌咔砂濉笔俏覈糯鷦趧?dòng)人民的發(fā)明。大約發(fā)明于明朝初年，明、清兩代在民間廣泛流傳，清陸以氵恬冷廬雜識(shí)卷一中寫道“近又有七巧圖，其式五，其數(shù)七，其變化之式多至千余。體物肖形，隨手變幻，蓋游戲之具，足以排悶破寂，故世俗皆喜為之。”“七巧圖”不知何時(shí)傳到國外，受到他們的歡迎與重視，李約瑟說它是“東方最古老的消遣品”之一，至今英國劍橋大

7、學(xué)的圖書館里還珍藏著一部七巧新譜美國作家埃德加愛倫坡特竟用象牙精制了一副七巧板。法國拿破倫在流放生活中也曾用七巧板作為消遣游戲。誰能想像到七巧板居然會(huì)跟拿破侖、亞當(dāng)、杜雷、愛倫坡特以及卡洛爾等人發(fā)生關(guān)系？實(shí)際上他們?nèi)际瞧咔砂宓目駸釔酆谜?。關(guān)于七巧板的名稱有許多原始的說法：1來自被廢棄的英語詞“”：奇怪形狀的小玩意兒；來自詞（中國的唐朝）帶后綴一（希臘文意為作品）；3來自術(shù)語“”k意即沿海船上人家。他們?cè)谶\(yùn)輸擺渡中除了供應(yīng)食物、浣洗衣物外，還提供一些娛樂方面的招待。其中就有這種由七塊板組成的中國謎題。大約七巧板一詞（）就是從（船上人家的游戲）演化來的。以上這幾種說法似乎都有一定的道理。大概是原

8、始七巧板的濃厚的趣味和它的娛樂釋義，激發(fā)了美國著名謎題專家山姆洛依德的文學(xué)創(chuàng)意。年，歲高齡的他，在第八茶皮書中寫道：“按百科全書的介紹，七巧板游戲淵源極為古老。在中國，它作為一種消遣性的玩物，其歷史可以追溯到年前”七巧板圖：二、【棋盤格上的數(shù)學(xué)】傳說國際象棋是舍罕王的宰相西薩班達(dá)依爾發(fā)明的。他把這個(gè)有趣的娛樂品進(jìn)貢給國王。舍罕王對(duì)于這一奇妙的發(fā)明異常喜愛，決定讓宰相自己要求得到什么賞賜。西薩并沒有要求任何金銀財(cái)寶，他只是指著面前的棋盤奏道：“陛下，就請(qǐng)您賞給我一些麥子吧，它們只要這樣放在棋盤里就行了：第一個(gè)格里放一顆，第二個(gè)格里放兩顆，第三個(gè)格里放四顆，以后每一個(gè)格里都比前一個(gè)格里的麥粒增加一倍。圣明的王啊，只要把這樣擺滿棋盤上全部六十四格的麥粒都賞給您的仆人，他就心滿意足了”，舍罕王聽了，心中暗暗欣喜：“這個(gè)傻瓜的胃口實(shí)在不算大啊”。他立即慷慨的應(yīng)允道：“愛卿，你當(dāng)然會(huì)如愿以償?shù)模　钡?dāng)記麥工作開始后不久，舍罕王便暗暗叫苦了，因?yàn)楸M管第一袋麥子放滿了將近二十個(gè)格子，可是接下去的麥粒數(shù)增長(zhǎng)得竟是那樣的快，國王很快意識(shí)到，即使把自己王國內(nèi)的全部糧食都拿來，也兌現(xiàn)不了他許給宰相的諾言了！舍罕王由于失算而欠了西薩一大筆債，他為顧全面子而選擇了什么樣的善后措施我們已不得而知，但計(jì)算一下他的債務(wù)確是一件很有趣的事。我們知道，這位聰明的宰相所要求的麥粒總數(shù)，實(shí)際