1、關(guān)于二次曲線系的幾點(diǎn)說(shuō)明(2012 年 10 月 16 日)山東臨沂沂州實(shí)驗(yàn)學(xué)校李守峰關(guān)于二次曲線系的一點(diǎn)探討1.設(shè)f3,y) = 0表示二次曲線，g3,y) = 0表示一條直線。則曲線入f 3, y) +日g 3, y) = 0至多與f 3, y) = 0同類。也就是說(shuō)若f 3, y) = 0表示圓，則曲線入f 3, y) +日g 3, y) = 0至多表示圓;若f 3, y) = 0表示橢圓，則曲線入f 3, y) +日g 3, y) = 0至多表示橢圓;若f 3, y) = 0表示雙曲線，則曲線入f 3, y) +日g 3, y) = 0至多表示雙曲線;若f 3, y) = 0表示拋物線

2、，則曲線入f 3, y) +日g 3, y) = 0至多表示拋物線。上述結(jié)論告訴我們：過(guò)兩交點(diǎn)的二次曲線并非包含所有的二次曲線，而是與“母曲線”相似的曲線設(shè)f 3,y) = 0，g3,y) = 0均表示二次曲線。貝0曲線入f 3, y) +日g 3, y) = 0至多與f 3, y) = 0或g 3, y) = 0同類的二次曲線。兩條相交直線或平行直線的積為退化的二次曲線(ax+ by- X m孜 世y ) p 0當(dāng)它不含xy項(xiàng)時(shí)，可與對(duì)稱軸平行于坐標(biāo)軸的二次曲線同類。對(duì)稱軸平行于坐標(biāo)軸的二次曲線，在直角坐標(biāo)系中的方程不含xy項(xiàng)。設(shè)C為二次曲線，AB為二次曲線的任意弦，以直線AB為x軸，AB的

3、垂直平分線為y軸，若C在此 坐標(biāo)系下的方程為g(x, y) = 0，則g(x,0) = 0不含x的一次項(xiàng)。設(shè)由二次曲線f(x,y) = 0和直線以x +py = 1決定的關(guān)于x、y的二次齊次式為. 一 ,y、，y、B ,y、，y、 CAy2 +Bxy +Cx2 =。，則()+( ) = ， ( ) ()=x 1 x 2 A x 1 x 2 A特別的：當(dāng)直線與二次曲線的兩交點(diǎn)與原點(diǎn)的連線互相垂直時(shí)A + C = 0，也就是說(shuō)單二次項(xiàng)的系數(shù)之和 等于0；當(dāng)直線與二次曲線的兩交點(diǎn)與原點(diǎn)的連線關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱時(shí)B = 0，也就是說(shuō)齊次式中不含xy項(xiàng)。下面舉例說(shuō)明應(yīng)用中應(yīng)該注意的問(wèn)題x 2 y 2(孫銘問(wèn)

4、題)如圖，橢圓的方程為+ =1，a 2 b 2A為橢圓上一定點(diǎn)，弦AB AC ,求三角形ABC面積的最大值 孫銘思考方式：設(shè)AC: y = k(x %) + *，則 AB : y = - 1 (x - x ) + yk 001 , 則二次曲線AB乂Ac可表示為伙（x-*-y+*-后（xf-y+y-0(2)由曲線系的思想可知，過(guò)A、B、C三點(diǎn)的二次曲線可設(shè)為1x 2 y 2(3)俱(x-x)-y+y0-k(x-x)-y+y0頂 a+b T)=0讓（3）表示圓，0（3）即為三角形的外接圓，且BC為直徑。但事實(shí)上對(duì)任意的k，（3）式中含有xy項(xiàng)，也就是說(shuō)（3）不能表示圓，而我們知道三角形必有外接圓，

5、（3）式有一定過(guò)A、B、C三點(diǎn)。這就產(chǎn)生了矛盾。這是為什么呢？上述是孫銘提出的問(wèn)題，我一時(shí)也感覺(jué)納悶！正是有了這個(gè)問(wèn)題，我才對(duì)這類問(wèn)題進(jìn)行了一番思考，得出 上述結(jié)論。解疑：因?yàn)榉匠蹋?）并不是圓，（2）是二次曲線的對(duì)稱形式（少xy項(xiàng)），因此有（1）（2）構(gòu)成的曲線系 一定不能夠成圓。也就是說(shuō)經(jīng)過(guò)三點(diǎn)ABC的二次曲線有兩類，一是含xy項(xiàng)的，而是不含xy項(xiàng)的，而含xy項(xiàng)的必須有含xy項(xiàng)的二次曲線生成；而 不含xy項(xiàng)的二次曲線必須由不含xy項(xiàng)的二次曲線生成，這個(gè)問(wèn)題就相當(dāng)于相于向量線性表示只能生成與 基向量同類的向量，并非過(guò)一點(diǎn)的所有向量。如a（1，0）+b（0，1）可表示過(guò)原點(diǎn)的所有二維向量，而過(guò)

6、原點(diǎn)的向量還有三維的，他顯然不包含這種 情況不。進(jìn)一步說(shuō)曲線（3）一定經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，但經(jīng)過(guò)ABC三點(diǎn)的二次曲線未必都是曲線（3）的形式。至此，問(wèn)題的原因找到了，但是如何解決這個(gè)問(wèn)題呢?為此，構(gòu)造如下的方程即可解決過(guò)點(diǎn)B作直線AC關(guān)于x軸的對(duì)稱直線，因?yàn)?AC: y = k（x-x0） + y0，則 AB: y = -k （x - x ） + y 00這時(shí)二次曲線 AB X AC 可表示為k（x-x0） - y + y0-k（x- x0） - y + y0 = 0即：（y y0）2 -k2（x x2 = 0此方程不含xy項(xiàng)，而且經(jīng)過(guò)A、B、C、D四點(diǎn)，當(dāng)然經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)至此可設(shè)經(jīng)過(guò)AB

7、CD四點(diǎn)的另一類二次曲線為x2y2入(y y0)2 k 2(xx0)2 + 日(- + 膈-1) = 0讓x2、y2項(xiàng)的系數(shù)相等，即得經(jīng)過(guò)ABC三點(diǎn)的圓的方程。關(guān)于曲線系的兩類應(yīng)用一、若f （x, y） = 0表示齊次二次曲線，則f （x, y） = 0可表示為關(guān)于y或x的一元二次方程，即關(guān)于曲線 x y上的點(diǎn)于坐標(biāo)原點(diǎn)連線的直線的斜率或斜率的倒數(shù)的一元二次方程1 .過(guò)二次曲線上任意一點(diǎn)A作互相垂直的兩條弦AB、AC，則過(guò)另兩端點(diǎn)的直線BC必過(guò)定點(diǎn)Q；且過(guò) 點(diǎn)A的二次曲線的切線垂直于AQ (或者AQ為二次曲線的法線)。證明：設(shè)橢圓(尤一心+ ( _ = c 一2直線 BC: a x +P y

8、= 1(2)七、 一/ 一 (因?yàn)橹本€一定不能過(guò)A點(diǎn))則由(1), (2)構(gòu)造齊次式得： TOC o 1-5 h z x m(以x +。y)2 + y - n(以x +。y)2 _ (以尤 + y)2 = a 2b 2整理得：Ay2 + Bxy + a2 + b2 2mb2 _ 2na2 + (a2n2 + b2m2 a2b2)(a 2 + p 2)x2 = 0因?yàn)?AB AC，所以a2 + b2 2mb?a _ 2na2 + (a2n2 + b2m2 a2b2)(a2 + 2)(3)(x m)2 (y n)2又因?yàn)闄E圓 + 7-1 = 0經(jīng)過(guò)(0, 0)a2b2m 2 n 2 .,所以 +

9、1 = 0 即 a 2 n 2 + b 2 m 2 = a 2b 2(4)a 2 b 2帶入(3)并整理得a2 + b2 2mb2a _ 2na2 = 02mb22na22mb22na2、即： 以+ = 1 所以直線恒過(guò)定點(diǎn)( , )a2 +b2a2 +b2a2 +b2 a2 +b22mb 22na 2、 zb 2 a 2a 2 b 2 、若曲線為標(biāo)準(zhǔn)方程，則定點(diǎn)為(m, n)，即：(xm, xn)a 2 + b 2a 2 + b 2a 2 + b 2a 2 + b 2x 2 y 2若轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，一+二=1,其上任一定點(diǎn)P(m, n) , OA OB ,則直線AB必過(guò)定點(diǎn)a 2 b 2b

10、2 a 2 、 TOC o 1-5 h z Q (x m,x n)a 2 + b 2a 2+ b 2b 2 a 2x n nk = a 2 + b 2=竺pq a 2 b 2b 2 mx m m a2 + b2b2m利用求導(dǎo)易知曲線在P(m,n)的切線斜率為k =-，所以它們的斜率之積等于1,故AQ為法線!切線 a 2 n說(shuō)明：對(duì)于拋物線3 n)2 = 2 p( x m)而言，設(shè)BC: a x +P y = 1,貝0有y n(a x + p y )2 = 2 p x(a x + p y) m(a x + p y )2，即：(1 np)y anx2 = 2px(ax + py) m(ax + p

11、y)2因?yàn)镺A OB，所以上式中的y方的系數(shù)與x方的系數(shù)之和為0所以(1 np )2 +a 2 n 2 = 2 pa 2 pma 2 2 pmp 2注意到：n2 = 2pm 所以2pa + 2np=1所以BC :2 px + 2ny = 1，所以直線BC恒過(guò)定點(diǎn)Q (2 p,2 n)上述結(jié)論轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程y2 = 2px，點(diǎn)A(m,n)，則定點(diǎn)Q(2p + m, n)PQ一一.一一 ，P 一 、 利用求導(dǎo)易知曲線在A(m, n)的切線斜率為k =一，所以它們的斜率之積等于1，故AQ為法線！切線n經(jīng)過(guò)有心二次曲線的中心作兩條互相垂直的射線，則射線與曲線的兩交點(diǎn)的直線到中心的距離為定值證明：設(shè)ax

12、2 + by2 = 1(a + b 0) (1)直線 AB: a x +p y = 1(2)由(1) (2)構(gòu)成的齊次式為ax2 + by2 = (ax +py)2因?yàn)?OA OB，所以a2 + p2 = a + b11所以 OD = ,= ,為定值x：a 2 + p 2-J a + b過(guò)平面內(nèi)任一點(diǎn)作兩條關(guān)于二次曲線的直線，使它們與對(duì)稱軸對(duì)稱成等角，則四交點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的 對(duì)角線及另一組對(duì)邊所在的直線也與對(duì)稱軸成等角。證明：設(shè) ax 2 + by 2 = 1 (a + b 0) 動(dòng)直線 PAB : y = k(x m) + n貝ij PDC : y = k(x m) + n 又設(shè) BC: y

13、 = sx + eAD : y = tx + f由曲線系理論可知，存在實(shí)常數(shù)u、v,使得 u (PAB x PDC) + v( AB x CD) = ax 2 + by 2 -1即：uk(x - m) + n - y x -k(x - m) + n - y + v(sx - y + e) x (tx - y + f) = ax2 + by2 -1整理得 u(n y )2 k 2( x m)2 + v( sx y + e) x (tx y + f) = ax 2 + by 2 1 TOC o 1-5 h z 比較x2的系數(shù)得uk2 + vst = a（1）比較xy的系數(shù)得v（s +1） = 0（

14、2）比較y2的系數(shù)得u + v = b（3）若v = 0，有（3）知u = b帶入（1）得：k2 =-a為常數(shù)，這與k為參數(shù)相矛盾 b故v。0這是（2）知：s +1 = 0，所以直線AD、BC關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱。4.（根據(jù)諸葛瑞玥提供的題改編）如圖設(shè)有心二次曲線的對(duì)稱軸為直線OA，M為直線OA上任一定 點(diǎn)，過(guò)M任作曲線的割線MCE交曲線于C、E兩點(diǎn)，設(shè)B為C關(guān)于直線OA的對(duì)稱點(diǎn)，連接BE， 求證直線BE恒過(guò)定點(diǎn)。證明：設(shè) ax2 + by2 = 1 （a + b 0）動(dòng)直線MC : x = ky + m因?yàn)镸在x軸上，B、C關(guān)于x軸對(duì)稱所以 MB : x = -ky + m又因?yàn)榍€關(guān)于x軸對(duì)稱所

15、以可設(shè)BE : x = sy + nDC :x = 一 sx + n由曲線系理論可知，存在實(shí)常數(shù)u、v，使得 u (x m ky)(x m + ky) + v( x n sy)(x n + sy) = ax 2 + by 2 1比較x2的系數(shù)得u + v = a(1)比較x的系數(shù)得2mu 2nv = 0(2)比較常數(shù)項(xiàng)得：um2 + vn2 =1(3)mana TOC o 1-5 h z 由(1) (2)得：u = ，umnnama帶入(3)得：m2 +mnmn即： mna (m - n) - m - n因?yàn)閙豐n，所以mna = 1又因?yàn)閍為非零常數(shù)，所以當(dāng)M、N中之一為定點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也比

16、為定 點(diǎn)。5 .如圖，設(shè)M(m,0)為拋物線* = 2px對(duì)稱軸上任一定點(diǎn)，過(guò)M任作曲線的割線MCE交曲線于C、E兩點(diǎn)，設(shè)B為C關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接BE，求證直線BE恒過(guò)定點(diǎn)。設(shè)直線BE交對(duì)稱軸于N(n,0)動(dòng)直線MC : x = ky + m因?yàn)镸在x軸上，B、C關(guān)于x軸對(duì)稱所以 MB : x = -ky + m又因?yàn)榍€關(guān)于x軸對(duì)稱所以可設(shè)BE : x = sy + nDC :x = 一 sx + n由曲線系理論可知，存在實(shí)常數(shù)u、v，使得 u (x m ky)( x m + ky) + v( x n sy)(x n + sy) = y 2 + 2 px比較x2的系數(shù)得u + v =

17、0(1)比較常數(shù)項(xiàng)得：um2 + vn2 = 0 (2)由(1) (2)得：m2 -n2 = 0因?yàn)閙。n，所以m + n = 0故：M、N關(guān)于頂點(diǎn)A對(duì)稱，又因?yàn)锳、M為定點(diǎn)，故N也為定點(diǎn)。6 .設(shè)C為二次曲線，AB為任意弦，M為弦AB的中點(diǎn)，過(guò)M的任意兩條線為PQ和UV直線PU、QV分別交弦AB所在的直線于E、F兩點(diǎn)，求證：ME=MF(推蝴證明：如圖所示建立直角坐標(biāo)系設(shè)二次曲線為f 3, y) = 0因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，故有f 3,0) = 0中不含一次項(xiàng)設(shè)弦 pq ： y = kx，UV : y = lx則由二次曲線系的知識(shí)可知：二次曲線PV x UQ可表示為入(kx - y)(lx y)

18、 + 日 f (x, y) = 0令y = 0可得：Xklxa + yf(x,0) = 0，此方程中不含一次項(xiàng)，且有已知可知，它有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，而方程人klx2 + f (x,0) = 0最多為二次方程，故必有x1 + x2 =。，即ME = MF。設(shè)二次曲線為f (x, y) = 0設(shè)弦 PQ: y = kx，UV : y = lx令y = 0可得:7.(推廣的蝴蝶定理的逆定理)設(shè)C為二次曲線，AB為任意弦，過(guò)M的任意兩條線為PQ 和UV直線PU、QV分別交弦AB所在的宜線于E、F兩點(diǎn)，若ME=MF求證：M為弦AB的 中點(diǎn)。證明：如圖所示建立直角坐標(biāo)系則由二次曲線系的知識(shí)可知:二次曲線PV x UQ可表示為由已知可知，它有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，而且方程入(kx - y)(lx - y) + 日 f (x, y)=Xklx + 旦 f x0= 0Xklxa + gf (x,0)