1、高級生物統(tǒng)計(jì)學(xué)第一章 預(yù)備知識第二章 T平方測驗(yàn)與多元方差分析第三章 主成分分析第四章 因子分析第五章 典型相關(guān)分析第六章 多元回歸分析第七章 通徑分析第八章 多元相關(guān)分析第九章 聚類分析第十章 判別分析第二章 T平方測驗(yàn)與多元方差分析Chapter II T2 Test & MANOVA第二節(jié) 多元方差分析第一節(jié) 平方測驗(yàn)統(tǒng)計(jì)測驗(yàn)Statistical Test 回顧單變量情況的 t 測驗(yàn)。 一些常見的例子: 1. 產(chǎn)品檢驗(yàn): 某產(chǎn)品某個(gè)技術(shù)指標(biāo)值為 ,現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中抽取大小為 的樣本，測得樣本平均數(shù)為 ，標(biāo)準(zhǔn)差為 ，試測驗(yàn)該批產(chǎn)品的該技術(shù)指標(biāo)平均數(shù) 是否與已知的 間有顯著差異。 2. 品

2、種比較: 調(diào)查A品種 株，平均產(chǎn)量為 ,標(biāo)準(zhǔn)差為 ；調(diào)查B品種 株，平均產(chǎn)量為 ,標(biāo)準(zhǔn)差為 ；試測驗(yàn)兩品種的真正產(chǎn)量 與 之間有無顯著差異。統(tǒng)計(jì)測驗(yàn)Statistical Test 單個(gè)樣本平均數(shù)的測驗(yàn) 測驗(yàn)?zāi)硺颖舅鶃碜缘目傮w平均數(shù)（ ）是否與某已知總體的平均數(shù)（ ）有顯著差異的統(tǒng)計(jì)測驗(yàn)。 測驗(yàn)的步驟: 1. 設(shè)假設(shè) H0: = vs HA: 2. 計(jì)算統(tǒng)計(jì)量： 3. 此統(tǒng)計(jì)量服從自由度為 的 分布，可以在 分布表上查得出現(xiàn)此值的概率。當(dāng) 時(shí)，判 定 與 的差異顯著；若 則差異極顯著。 第一節(jié) T平方測驗(yàn) T-Square Test 現(xiàn)在依然是討論第一個(gè)常見例子: 1. 產(chǎn)品檢驗(yàn): 某產(chǎn)品某個(gè)

3、技術(shù)指標(biāo)值為 ,現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中抽取大小為 的樣本，測得樣本平均數(shù)為 ，標(biāo)準(zhǔn)差為 ，試測驗(yàn)該批產(chǎn)品的該技術(shù)指標(biāo)平均數(shù) 是否與已知的 間有顯著差異。 只是現(xiàn)在不再是單個(gè)變量而是多個(gè)變量了，即： 1. 產(chǎn)品檢驗(yàn): 某產(chǎn)品 個(gè)技術(shù)指標(biāo)值為 維向量 ,現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中抽取大小為 的樣本，測得樣本平均數(shù)向量為 ，方差協(xié)方差向量為，試測驗(yàn)該批產(chǎn)品的這些技術(shù)指標(biāo)平均數(shù)向量 是否與已知的 間有顯著差異。 第一節(jié) T平方測驗(yàn) T-Square Test 在單變量的樣本平均數(shù)的測驗(yàn)中，計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量是：此統(tǒng)計(jì)量服從 的 分布 將此統(tǒng)計(jì)量平方變成：此統(tǒng)計(jì)量服從 的 分布，因此單變量的樣本平均數(shù)測驗(yàn)也可以用 測驗(yàn)進(jìn)行，

4、效果是一樣的。 第一節(jié) T平方測驗(yàn) T-Square Test 如果考察的有 項(xiàng)指標(biāo)，統(tǒng)計(jì)量用矩陣形式表示為：其中 為 維，其轉(zhuǎn)置陣為 維， 是方差協(xié)方差矩陣的逆陣， 維。 是一個(gè)數(shù)字。因?yàn)?此統(tǒng)計(jì)量又可以用平方和乘積和矩陣 表示為： 極少統(tǒng)計(jì)書提供 Hotelling T2分布表。 此統(tǒng)計(jì)量服從Hotelling 2分布。算出2后，與2分布表值比較，便可以判斷差異是否顯著。 第一節(jié) T平方測驗(yàn) T-Square Test 如果考察的有 項(xiàng)指標(biāo)，統(tǒng)計(jì)量用矩陣形式表示為：其中 為 維，其轉(zhuǎn)置陣為 維， 是方差協(xié)方差矩陣的逆陣， 維。 是一個(gè)數(shù)字。因?yàn)?此統(tǒng)計(jì)量又可以用平方和乘積和矩陣 表示為：

5、統(tǒng)計(jì)學(xué)家發(fā)現(xiàn)2分布與分布有如下關(guān)系： 第一節(jié) T平方測驗(yàn) T-Square Test 或：此統(tǒng)計(jì)量服從的分布。 統(tǒng)計(jì)學(xué)家發(fā)現(xiàn)2分布與分布有如下關(guān)系：此統(tǒng)計(jì)量又可以用平方和乘積和矩陣 表示為： 第一節(jié) T平方測驗(yàn) T-Square Test 或：此統(tǒng)計(jì)量服從的分布。 現(xiàn)在可以將2測驗(yàn)的步驟歸納以下了。特別地，當(dāng)時(shí)，此式與前面的 完全一致。 第一節(jié) T平方測驗(yàn) T-Square Test 2測驗(yàn)的步驟： 1. 設(shè)假設(shè) H0: = vs HA: 2. 計(jì)算統(tǒng)計(jì)量： 多元統(tǒng)計(jì)可取較低的顯著水平，例如 。 3. 此統(tǒng)計(jì)量服從的 分布，可以 在 分布表上查得出現(xiàn)此值的概率。當(dāng) 時(shí)， 判定 與 的差異顯著；

6、否判斷差異不顯著。 第一節(jié) T平方測驗(yàn) T-Square Test 2測驗(yàn)的例子： 某產(chǎn)品的四個(gè)關(guān)鍵性指標(biāo)的驗(yàn)收標(biāo)準(zhǔn)為： 現(xiàn)從某批產(chǎn)品中抽取 的樣本，數(shù)據(jù)如下表。試用95%的置信度測驗(yàn)這批產(chǎn)品是否符合驗(yàn)收標(biāo)準(zhǔn)。 (表中數(shù)據(jù)參閱課本第49頁表2.1） 第一節(jié) T平方測驗(yàn) T-Square Test 利用數(shù)據(jù)可以算出： 于是得到： 第一節(jié) T平方測驗(yàn) T-Square Test 或者利用方差協(xié)方差矩陣計(jì)算： 同樣得到： 第一節(jié) T平方測驗(yàn) T-Square Test 換算為當(dāng) 時(shí)，現(xiàn)在 ，判斷 所來自的總體的 與 之間有顯著差異。 如果對四個(gè)指標(biāo)分別進(jìn)行單變量的平均數(shù) 測驗(yàn)，他們的 值分別為當(dāng) 時(shí)

7、， 只有第4個(gè)變量與驗(yàn)收指標(biāo)有顯著差異。 若刪除第4個(gè)指標(biāo)重作2測驗(yàn)，會發(fā)現(xiàn) 與 之間無顯著差異。 第二節(jié) 多元方差分析 Multiple ANOVA單向分類的多元方差分析基本原理兩向分類（不帶互作）的多元方差分析兩向分類（帶互作）的多元方差分析任意試驗(yàn)設(shè)計(jì)資料的多元方差分析 第二節(jié) 多元方差分析 Multiple ANOVA 基本原理： 多元方差分析的基本原理與單變量的方差分析的基本原理基本一致，只是將一個(gè)變量推廣到多個(gè)變量。 讓我們回顧一下關(guān)于單變量的方差分析的基本思路。 在方差分析中數(shù)據(jù)的變異用方差來衡量。 方差分析Analysis of Variance (ANOVA)方差分析的基本思

8、路: 將試驗(yàn)數(shù)據(jù)的總變異分解為已知的若干可控因子引起的變異，扣除這些可控因子引起的變異后，把剩余的變異當(dāng)作為由誤差引起的，再將要考察的因子引起的變異與誤差引起的變異比較，如果待考察的因子引起的變異顯著地大于誤差引起的變異，便判定該因子對試驗(yàn)指標(biāo)有顯著的效應(yīng)，拒絕H0，,接受HA ；否則，判定該因子對試驗(yàn)指標(biāo)沒有顯著的效應(yīng)，接受H0 ，拒絕HA 。 在方差分析中數(shù)據(jù)的變異用方差來衡量。 第二節(jié) 多元方差分析 Multiple ANOVA 當(dāng)變量數(shù)變成 時(shí) ，用方差協(xié)方差距陣來衡量變異。 而方差和協(xié)方差是分別用平方和及乘積和除以相應(yīng)的自由度計(jì)算出來的。因此在多元方差分析中要將總的平方和乘積和矩陣分

9、解為各個(gè)可控因素的平方和乘積和矩陣和誤差引起的平方和乘積和矩陣。同時(shí)將總自由度也進(jìn)行相應(yīng)的分解。 在一元方差分析中用 測驗(yàn)來比較兩個(gè)不同變異來 源的方差。但在多元方差分析中，不是兩個(gè)方差之比而是兩個(gè)不同變異來源的矩陣之比了。因此要尋 求另一種測驗(yàn)方法。 第二節(jié) 多元方差分析 Multiple ANOVA 在多元方差分析中，要計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量是： 其中， 為誤差平方和乘積和矩陣； 為欲測驗(yàn)可控因素的平方和乘積和矩陣。此統(tǒng)計(jì)量服從的分布。其中 為變量數(shù)， 為 矩陣的自由度， 為 矩陣的自由度， 為顯著水準(zhǔn)。 注意：這里的 中，誤差項(xiàng)放在分子，而在一元方 差分析中的 統(tǒng)計(jì)量中，誤差放在分母。所以， 越大

10、越顯著，而 則越小越顯著。 第二節(jié) 多元方差分析 Multiple ANOVA它近似服從 分布。其中當(dāng) 時(shí)， 否則當(dāng) 不為整數(shù)時(shí)，用最接近的整數(shù)查 表。 很少統(tǒng)計(jì)書提供 分布表。不斷有人研究 分布與其它分布的關(guān)系。 國外大多數(shù)統(tǒng)計(jì)軟件上采用Rao提出的近似公式。該公式把 轉(zhuǎn)換為 ： 注意：當(dāng)轉(zhuǎn)換為 后，又變成 越大越顯著了。 單向分類的多元方差分析 One-way MANOVA 舉例子說明此法的步驟:有一個(gè)完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的作物 品種試驗(yàn)，五個(gè)品種(A1,A2, A3,A4,A5), 三次重復(fù)，對每個(gè)品種記錄了四項(xiàng)指標(biāo)（產(chǎn)量指標(biāo) ,抗性指標(biāo) ,質(zhì)量指標(biāo) ,經(jīng)濟(jì)指標(biāo) )。數(shù)據(jù)如右表，現(xiàn)欲綜合考慮這四

11、個(gè)指標(biāo)，看這五個(gè)品種之間是否有顯著的差異。 單向分類的多元方差分析 One-way MANOVA一、分別對四個(gè)變量進(jìn)行單向分類平方和分解: 二、分別對兩兩變量間進(jìn)行乘積和分解: 三、用上述品種間平方和及品種間乘積和構(gòu)成 ： 單向分類的多元方差分析 One-way MANOVA8266.67-540.00-540.0040.0040.004653.334653.333092.4018.4018.40-1164.73-1164.7319.066784.26784.2673551.73 單向分類的多元方差分析 One-way MANOVA四、用上述誤差平方和及誤差乘積和構(gòu)成： 單向分類的多元方差分析

12、 One-way MANOVA37916.675935.005935.00426.67426.674158.00462.33462.33308.667-44.667-44.667494.67-686.67-686.67314.00314.00一、分別對四個(gè)變量進(jìn)行一元的單向分類方差分析: 三、用上述品種間平方和及品種間乘積和構(gòu)成 ： 分析步驟:二、分別對兩兩變量間進(jìn)行單向分類協(xié)方差分析: 四、用上述誤差平方和及誤差乘積和構(gòu)成： 六、求出 的行列式值； 五、將 與 相加得和矩陣，求和矩陣的行列式值 單向分類的多元方差分析 One-way MANOVA本例中， 。用它除以和矩陣的行列式值得到:一、

13、分別對四個(gè)變量進(jìn)行一元的單向分類方差分析: 三、用上述品種間平方和及品種間乘積和構(gòu)成 ： 分析步驟:二、分別對兩兩變量間進(jìn)行單向分類協(xié)方差分析: 四、用上述誤差平方和及誤差乘積和構(gòu)成： 六、求出 的行列式值； 五、將 與 相加得和矩陣，求和矩陣的行列式值 單向分類的多元方差分析 One-way MANOVA本例中， 。用它除以和矩陣的行列式值得到:七、將 換算為 ，并算出 的自由度，查出 進(jìn) 行統(tǒng)計(jì)推斷。 Rao的換算公式：本例中， 單向分類的多元方差分析 One-way MANOVA查表 df1=16，df2=22 F0.05=2.13因?yàn)镕=2.45 F0.05=2.13判斷這五個(gè)品種之間

14、在四項(xiàng)指標(biāo)上具有顯著差異。 統(tǒng)計(jì)結(jié)論: 單向分類的多元方差分析 One-way MANOVA對四個(gè)指標(biāo)進(jìn)行一元方差分析發(fā)現(xiàn)只有經(jīng)濟(jì)效益指標(biāo)X4的 F 檢驗(yàn)是顯著的。作經(jīng)濟(jì)效益指標(biāo)X4品種間的多重比較，發(fā)現(xiàn)品種1的均值極顯著的高于其它的品種。 兩向分類的多元方差分析 Two-way MANOVA 舉例子說明此法的步驟:有一個(gè)隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的作物 品種試驗(yàn)，五個(gè)品種(A1,A2, A3,A4,A5), 三次重復(fù)，對每個(gè)品種記錄了四項(xiàng)指標(biāo)（產(chǎn)量指標(biāo) ,抗性指標(biāo) ,質(zhì)量指標(biāo) ,經(jīng)濟(jì)指標(biāo) )。數(shù)據(jù)如右表，現(xiàn)欲綜合考慮這四個(gè)指標(biāo)，看這五個(gè)品種之間是否有顯著的差異。一、分別對四個(gè)變量進(jìn)行一元的兩向分類方差分析

15、: 二、分別對兩兩變量間進(jìn)行兩向分類協(xié)方差分析: 三、用上述品種間平方和及品種間乘積和構(gòu)成 ： 兩向分類的多元方差分析 Two-way MANOVA8266.67-540.00-540.0040.0040.004653.334653.333092.4018.4018.40-1164.73-1164.7319.066784.26784.2673551.73 兩向分類的多元方差分析 Two-way MANOVA四、用上述誤差平方和及誤差乘積和構(gòu)成： 兩向分類的多元方差分析 Two-way MANOVA22753.335620.005620.001547.671547.672988.00330.33

16、330.33184.533-133.267-133.267391.07-111.00-111.00-19.00-19.00 兩向分類的多元方差分析 Two-way MANOVA本例中， 。 用它除以和矩陣的行列式值得到: 一、分別對四個(gè)變量進(jìn)行一元的兩向分類方差分析: 三、用上述品種間平方和及品種間乘積和構(gòu)成 ： 對品種間差異顯著性測驗(yàn)的分析步驟:二、分別對兩兩變量間進(jìn)行兩向分類協(xié)方差分析: 四、用上述誤差平方和及誤差乘積和構(gòu)成： 六、求出 的行列式值； 五、將 與 相加得和矩陣，求和矩陣的行列式值 兩向分類的多元方差分析 Two-way MANOVA一、分別對四個(gè)變量進(jìn)行一元的兩向分類方差分

17、析: 三、用上述品種間平方和及品種間乘積和構(gòu)成 ： 對品種間差異顯著性測驗(yàn)的分析步驟:二、分別對兩兩變量間進(jìn)行兩向分類協(xié)方差分析: 四、用上述誤差平方和及誤差乘積和構(gòu)成： 六、求出 的行列式值； 用它除以和矩陣的行列式值得到 。 五、將 與 相加得和矩陣，求和矩陣的行列式值 本例中， 。七、將 換算為 ，與 表查得的值比較，作出統(tǒng)計(jì) 推斷。本例中 ,差異顯著。 兩向分類的多元方差分析 Two-way MANOVAeQ一、分別對四個(gè)變量進(jìn)行一元的兩向分類方差分析: 三、用上述區(qū)組間平方和及區(qū)組間乘積和構(gòu)成 ： 對區(qū)組間差異顯著性測驗(yàn)的分析步驟:二、分別對兩兩變量間進(jìn)行兩向分類協(xié)方差分析: 四、用

18、上述誤差平方和及誤差乘積和構(gòu)成： 六、求出 的行列式值； 用它除以和矩陣的行列式值得到 。 五、將 與 相加得和矩陣，求和矩陣的行列式值 本例中， 。七、將 換算為 ，與 表查得的值比較，作出統(tǒng)計(jì) 推斷。本例中 ,差異不顯著。 兩向分類的多元方差分析 Two-way MANOVAeQ 在兩向分類資料中，當(dāng)每種處理組合（即兩個(gè)分類因素的不同水平的搭配方式）有多于一個(gè)觀察值時(shí)，可以考察因子間的交互作用。 帶互作的兩向分類的多元方差分析 Two-way MANOVA with Interaction 當(dāng)試驗(yàn)中只考慮一種性狀時(shí)，只收集了一個(gè)變量的數(shù)據(jù)。單變量的方差分析方法已經(jīng)在第一章討論過，這里討論多變量的情況。 用一個(gè)例子說明分析的步驟。 帶互作的兩向分類的多元方差分析 Two-way MANOVA with Interaction 例2.4 一個(gè)作物品種和種植密度的試驗(yàn)，有五個(gè) 品種(A1、A2、A3、A4、A5),三種種植密度(B1、B2、B3), 共53=15個(gè)處理組合。試驗(yàn)中每處理組合種植了2個(gè) 小區(qū)，全試驗(yàn)共有152=30個(gè)試驗(yàn)小區(qū)。對于每個(gè)小 區(qū)，觀