1、數(shù) 學(xué)人教八年級(jí)（下冊(cè)）16 二次根式16.1 二次根式第一課時(shí) 二次根式的概念課時(shí)目標(biāo)1.理解二次根式的概念。2.掌握二次根式有意義的條件。3.會(huì)利用二次根式的非負(fù)性解決相關(guān)問題。情景導(dǎo)入問題1 什么叫做平方根? 一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根.問題2 什么叫做算術(shù)平方根?問題3 什么數(shù)有算術(shù)平方根? 我們知道,負(fù)數(shù)沒有平方根.因此，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)開平方時(shí)，被開方數(shù)只能是正數(shù)或0. 如果 x2 = a（x0），那么 x 稱為 a 的算術(shù)平方根.用 表示.探究新知思考：用帶根號(hào)的式子填空，這些結(jié)果有什么特點(diǎn)？（1）如圖的海報(bào)為正方形，若面積為2m2,則邊長(zhǎng)為_m；若面積

2、為S m2，則邊長(zhǎng)為_m 探究新知（2）如圖的海報(bào)為長(zhǎng)方形，若長(zhǎng)是寬的2倍，面積為6m2，則它的寬為_m 探究新知（3）一個(gè)物體從高處自由落下，落到地面所用的時(shí)間 t（單位：s）與開始落下的高度h（單位：m）滿足關(guān)系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t為_探究新知問題1 這些式子分別表示什么意義？分別表示2，S，3， 的算術(shù)平方根。上面問題中，得到的結(jié)果分別是： ， ， ， 。 根指數(shù)都為2； 被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)。問題2 這些式子有什么共同特征？二次根式的概念及有意義的條件探究新知注意：a可以是數(shù)，也可以是式。一般地，我們把形如 的式子叫做二次根式?！?”稱為二次根號(hào)。兩個(gè)必備

3、特征 外貌特征：含有“ ” 內(nèi)在特征：被開方數(shù)a 0探究新知例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？是否含二次根號(hào)被開方數(shù)是不是非負(fù)數(shù)二次根式不是二次根式是是否否分析：探究新知解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1屬于“非負(fù)數(shù)+正數(shù)”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.探究新知例2 當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí), 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?解：由x-20，得 x2.當(dāng)x2時(shí)， 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.探究新知【變式題1】當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？解：由題意得x-10，x1.探究新知解：被開方數(shù)需大于或等于零，3+x0，x-3.分母不能等于零，x-10，x1.x-

4、3 且x1.探究新知要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，即需滿足被開方數(shù)0，列不等式求解即可.若二次根式為分母或二次根式為分式的分母時(shí)，應(yīng)同時(shí)考慮分母不為零.探究新知【變式題2】當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？解：(1)無(wú)論x為何實(shí)數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)， 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.探究新知解： (2)無(wú)論x為何實(shí)數(shù)，-x2-2x-3=-(x+1)2-20，無(wú)論x為何實(shí)數(shù)， 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都無(wú)意義.被開方數(shù)是多項(xiàng)式時(shí)，需要對(duì)組成多項(xiàng)式的項(xiàng)進(jìn)行恰當(dāng)分組湊成含完全平方的形式，再進(jìn)行分析討論.探究新知(1)單個(gè)二次根式如 有意義的條件：A0；(2)多個(gè)二次根式相加如 有意義的條件：歸納總結(jié)探究新知(3)

5、二次根式作為分式的分母如 有意義的條件：A0；(4)二次根式與分式的和如 有意義的條件：A0且B0.鞏固練習(xí)（ ）1.下列各式： .一定是二次根式的個(gè)數(shù)有 .A.3個(gè) B.4個(gè) C.5個(gè) D.6個(gè) B鞏固練習(xí)2.(1)若式子 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是_; (2)若式子 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是 .x 1 x 0且x2 探究新知問題1 當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)， 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？ 呢？前者x為全體實(shí)數(shù)；后者x為正數(shù)和0.二次根式的雙重非負(fù)性探究新知當(dāng)a0時(shí)， 表示a的算術(shù)平方根，因此 0；當(dāng)a=0時(shí)， 表示0的算術(shù)平方根，因此 =0.這就是說，當(dāng)a0時(shí)， 0.問題2 二次根

6、式 的被開方數(shù)a的取值范圍是什么？它本身的取值范圍又是什么？ 探究新知二次根式的實(shí)質(zhì)是表示一個(gè)非負(fù)數(shù)（或式）的算術(shù)平方根.對(duì)于任意一個(gè)二次根式 ，我們知道：（1）a為被開方數(shù)，為保證其有意義，可知a0；（2） 表示一個(gè)數(shù)或式的算術(shù)平方根，可知 0. 歸納總結(jié)探究新知二次根式的被開方數(shù)非負(fù)二次根式的值非負(fù)二次根式的雙重非負(fù)性探究新知解：由題意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0, 解得a=2,b=3,c=4. 所以a-b+c=2-3+4=3.例3 若 ，求a -b+c的值.多個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則可得每個(gè)非負(fù)數(shù)均為零.初中階段學(xué)過的非負(fù)數(shù)主要有絕對(duì)值、偶次冪及二次根式.探究新知例4 已知y= ,

7、求3x+2y的算術(shù)平方根.x=3，y=8，3x+2y=25.25的算術(shù)平方根為5，3x+2y的算術(shù)平方根為5解：由題意得 探究新知解：由題意得a=3，b=4.當(dāng)a為腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的周長(zhǎng)為3+3+4=10；當(dāng)b為腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的周長(zhǎng)為4+4+3=11【變式題】已知a，b為等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)，且a，b滿足 ，求此三角形的周長(zhǎng)探究新知若 ，則根據(jù)被開方數(shù)大于等于0，可得a=0.探究新知已知|3x-y-1|和 互為相反數(shù)，求x+4y的平方根解：由題意得3x-y-1=0且2x+y-4=0解得x=1，y=2x+4y=1+24=9，x+4y的平方根為3.鞏固練習(xí)2.式子 有意義的條件是（ ） A.x2 B.x2 C.x2 D.x23.當(dāng)x=_時(shí)，二次根式 取最小值，其最小值為_1. 下列式子中，不屬于二次根式的是（ ）CA-10鞏固練習(xí)4.當(dāng)a是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？鞏固練習(xí)5.(1)若二次根式 有意義，求m的取值范圍解：由題意得m-20且m2-m-20，解得m2且m-1，m2，m2鞏固練習(xí)(2)無(wú)論x取任何實(shí)數(shù)，代數(shù)式 都有意義，求m的取值范圍解：由題意得x2+6x+m0，即(x+3)2+m-90.(x+3)20，m-90，即m9.鞏固練習(xí)解：根據(jù)