1、數(shù) 學(xué)人教八年級(jí)（下冊(cè)）18 平行四邊形18.2.2 菱形第二課時(shí) 菱形的判定課時(shí)目標(biāo)1.經(jīng)歷菱形判定定理的探究過程，掌握菱形的判定定理。2.會(huì)用這些菱形的判定方法進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算。情景導(dǎo)入一組鄰邊相等有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形平行四邊形菱形菱形的定義是什么？性質(zhì)有哪些？情景導(dǎo)入菱形的性質(zhì)兩組對(duì)邊平行四條邊相等兩組對(duì)角分別相等 鄰角互補(bǔ)兩條對(duì)角線互相垂直平分每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角邊角對(duì)角線探究新知根據(jù)菱形的定義,可得菱形的第一個(gè)判定的方法：數(shù)學(xué)語(yǔ)言：四邊形ABCD是平行四邊形，AB=AD，四邊形ABCD是菱形.有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.ABCD還有其他的判定方法嗎？探究

2、新知對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形前面我們用一長(zhǎng)一短兩根細(xì)木條,在它們的中點(diǎn)處固定一個(gè)小釘,做成一個(gè)可以轉(zhuǎn)動(dòng)的十字,四周圍上一根橡皮筋,做成一個(gè)平行四邊形.那么轉(zhuǎn)動(dòng)木條,這個(gè)平行四邊形什么時(shí)候變成菱形?對(duì)此你有什么猜想？猜想：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.探究新知已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O ，ACBD.求證：ABCD是菱形.證明：四邊形ABCD是平行四邊形. OA=OC. 又ACBD, BD是線段AC的垂直平分線. BA=BC. 四邊形ABCD是菱形（菱形的定義）.ABCOD探究新知幾何語(yǔ)言描述：在ABCD中，ACBD, ABCD是菱形.ABCD菱

3、形ABCDABCDABCD菱形的判定定理：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形歸納總結(jié)ACBD探究新知例1 如圖， ABCD的兩條對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AB=5，AO=4，BO=3.求證：四邊形ABCD是菱形.ABCDO又四邊形ABCD是平行四邊形，證明： OA=4,OB=3,AB=5，即ACBD， AB2=OA2+OB2，AOB是直角三角形，四邊形ABCD是菱形.探究新知例2 如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于點(diǎn)E、F,求證：四邊形AFCE是菱形 ABCDEFO12證明: 四邊形ABCD是矩形,AEFC，1=2.EF垂直平分AC，AO = OC . 又AOE

4、=COF，AOECOF，EO =FO.四邊形AFCE是平行四邊形.又EFAC 四邊形AFCE是菱形.鞏固練習(xí)在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD互相平分，若添加一個(gè)條件使得四邊形ABCD是菱形，則這個(gè)條件可以是（ ） AABC=90 BACBD CAB=CD DABCD B探究新知四條邊相等的四邊形是菱形已知線段AC,你能用尺規(guī)作圖的方法作一個(gè)菱形ABCD,使AC為菱形的一條對(duì)角線嗎？CABD分別以A、C為圓心,以大于 AC的長(zhǎng)為半徑作弧,兩條 弧分別相交于點(diǎn)B , D,依次連接A、B、C、D四點(diǎn).猜想：四條邊相等的四邊形是菱形.探究新知證明：AB=BC=CD=AD;AB=CD , BC=AD

5、.四邊形ABCD是平行四邊形.又AB=BC,四邊形ABCD是菱形.ABCD已知：如圖，四邊形ABCD中,AB=BC=CD=AD.求證：四邊形ABCD是菱形.探究新知幾何語(yǔ)言描述：在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=AD，四邊形 ABCD是菱形.ABCD菱形ABCD菱形的判定定理：四條邊都相等的四邊形是菱形四邊形ABCDABCDAB=BC=CD=AD歸納總結(jié)鞏固練習(xí)下列命題中正確的是（ ）A.一組鄰邊相等的四邊形是菱形B.三條邊相等的四邊形是菱形C.四條邊相等的四邊形是菱形D.四個(gè)角相等的四邊形是菱形CACBEDF探究新知證明： 1= 2,又AE=AC,AD=AD, ACD AED (SAS)

6、.同理ACFAEF(SAS) .CD=ED, CF=EF.又EF=ED,CD=ED=CF=EF,四邊形ABCD是菱形.例3 如圖,在ABC中, AD是角平分線,點(diǎn)E、F分別在AB、 AD上,且AE=AC,EF = ED.求證：四邊形CDEF是菱形. 21探究新知例4 如圖，在ABC中，B90，AB6cm，BC8cm.將ABC沿射線BC方向平移10cm，得到DEF，A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D，E，F(xiàn)，連接AD.求證：四邊形ACFD是菱形探究新知證明：由平移變換的性質(zhì)得CFAD10cm，DFAC.B90，AB6cm，BC8cm，ACDFADCF10cm，四邊形ACFD是菱形四邊形的條件中存在多個(gè)關(guān)

7、于邊的等量關(guān)系時(shí)，運(yùn)用四條邊都相等來(lái)判定一個(gè)四邊形是菱形比較方便探究新知例5 如圖，順次連接矩形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形EFGH，求證：四邊形EFGH是菱形.HGFEDCBA證明：連接AC、BD.四邊形ABCD是矩形，AC=BD.點(diǎn)E、F、G、H為各邊中點(diǎn)，EF=FG=GH=HE，四邊形EFGH是菱形.探究新知CABDEFGH【變式題】 如圖，順次連接對(duì)角線相等的四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形EFGH是什么四邊形？解：四邊形EFGH是菱形.又AC=BD,點(diǎn)E、F、G、H為各邊中點(diǎn)，EF=FG=GH=HE，四邊形EFGH是菱形.理由如下：連接AC、BD探究新知順次連接對(duì)角線相等的四邊形的

8、各邊中點(diǎn)，得到四邊形是菱形.探究新知ABCDEFGH拓展1 如圖，順次連接平行四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形EFGH是什么四邊形？解：連接AC、BD.點(diǎn)E、F、G、H為各邊中點(diǎn)，四邊形EFGH是平行四邊形.探究新知拓展2 如圖，若四邊形ABCD是菱形，順次連接菱形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形EFGH是什么四邊形？四邊形EFGH是矩形.ABCDEFGH探究新知思考 在學(xué)平行四邊形的時(shí)候我們知道把兩張等寬的紙條交叉重疊在一起得到的四邊形是平行四邊形，你能進(jìn)一步判斷重疊部分ABCD的形狀嗎？ACDB分析：易知四邊形ABCD是平行四邊形，只需證一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直即可.由題意可知BC邊上的

9、高和CD邊上的高相等，然后通過證ABEADF，即得AB=AD.EF探究新知菱形的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用例3 如圖，在ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，BE2DE，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使得EFBE，連接CF.(1)求證：四邊形BCFE是菱形；(1)證明：D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，DEBC且2DEBC.又BE2DE，EFBE，EFBC，EFBC，四邊形BCFE是平行四邊形又EFBE，四邊形BCFE是菱形；探究新知(2)解：BCF120，EBC60，EBC是等邊三角形，菱形的邊長(zhǎng)為4，高為 ，菱形的面積為 .(2)若CE4，BCF120，求菱形BCFE的面積探究新知判定一個(gè)四邊形是菱形時(shí)，要結(jié)合

10、條件靈活選擇方法如果可以證明四條邊相等，可直接證出菱形；如果只能證出一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直，可以先嘗試證出這個(gè)四邊形是平行四邊形探究新知如圖，在平行四邊形ABCD中，AC平分DAB，AB=2，求平行四邊形ABCD的周長(zhǎng).解：四邊形ABCD為平行四邊形，ADBC，ABCD，DAC=ACB，BAC=ACD，AC平分DAB，DAC=BAC，DAC=ACD，AD=DC，四邊形ABCD為菱形，四邊形ABCD的周長(zhǎng)=42=8鞏固練習(xí)1.判斷下列說法是否正確(1)對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形；(2)對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形；(3)對(duì)角線互相垂直，且有一組鄰邊相等的四邊形是菱形；(4)兩條鄰邊

11、相等，且一條對(duì)角線平分一組對(duì)角的四邊形是菱形鞏固練習(xí)2.一邊長(zhǎng)為5cm平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為 24cm和26cm，那么平行四邊形的面積是 . 312cm2鞏固練習(xí)3.如圖，將ABC沿BC方向平移得到DCE，連接AD，下列條件能夠判定四邊形ACED為菱形的是（ ） AAB=BC BAC=BC CB=60 DACB=60 B解析：將ABC沿BC方向平移得到DCE，ACDE，AC=DE，四邊形ABED為平行四邊形.當(dāng)AC=BC時(shí)，平行四邊形ACED是菱形故選B鞏固練習(xí)ABCDOE4.如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，DEAC,CE BD.求證：四邊形OCED是菱形.證明：DEAC，CE

12、BD，四邊形OCED是平行四邊形.四邊形ABCD是矩形，OC=OD，四邊形OCED是菱形 鞏固練習(xí)5.如圖，ABC中，AC的垂直平分線MN交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)O，CEAB交MN于點(diǎn)E，連接AE、CD.求證：四邊形ADCE是菱形.ADOEM鞏固練習(xí)證明：MN是AC的垂直平分線，AE=CE，AD=CD，OA=OC，AOD=EOC=90.CEAB，DAO=ECO，ADOCEO（ASA）AD=CE，OD=OE，OD=OE，OA=OC，四邊形ADCE是平行四邊形又AOD=90，四邊形ADCE是菱形 ADOEM鞏固練習(xí)6.如圖,在平行四邊形ABCD中，用直尺和圓規(guī)作BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，連接EF（1）求證：四邊形ABEF為菱形；（2）AE，BF相交于點(diǎn)O，若BF=6，AB=5，求AE的長(zhǎng)鞏固練習(xí)（1）證明：由尺規(guī)作BAF的平分線的過程可得AB=AF，BAE=FAE，四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，F(xiàn)AE=AE