1、第三部分 擴展的一方程分析.PAGE 6：.；第章第九章 對數(shù)極大似然估計. 對數(shù)極大似然估計的根本原理. 對數(shù)極大似然估計方法用對數(shù)極大似然估計來估計一個模型，主要的任務是建立極大似然函數(shù)方式，利用EViews可以方便地估計出未知參數(shù)。. 一元線性回歸模型的極大似然函數(shù)舉個簡單的例子，普通的線性回歸模型： (.)這里，是觀測序列，而是模型的參數(shù)。有T個觀測值的樣本的對數(shù)似然函數(shù)觀測值密度的對數(shù)可以寫成： (.)留意到，他們能將對數(shù)似然函數(shù)寫成每個觀測值t的對數(shù)似然奉獻的和的方式： (.)這里每個觀測值的奉獻由下面的式子給出： (.)例. 普通最小二乘方程的極大似然估計他們選擇凱恩斯消費函數(shù)

2、美斯蒂格利茨，經(jīng)濟學，p頁。作為例子，分析普通回歸方程的極大似然估計方法。消費函數(shù)的因變量選為城鎮(zhèn)消費cc，而城鎮(zhèn)人民收入ci作為自變量，樣本為從年到年的年度數(shù)據(jù)。首先利用最小二乘法，估計了一個普通的回歸方程，結果如下： . (.)=. 對數(shù)似然值 = -. AIC = . SC = . D.W.=.利用前面的公式(.)，他們可以寫出這個方程的極大似然函數(shù)，進展極大似然求解之后，他們得到了城鎮(zhèn)消費和城鎮(zhèn)收入之間的回歸方程，得到的結果是：. (.) 對數(shù)似然值 = -. AIC = . SC = . 察看兩個方程的系數(shù)值發(fā)現(xiàn)最小二乘方法和極大似然函數(shù)估計的結果幾乎沒有什么區(qū)別，但是由于初值選擇的

3、不同，所以產(chǎn)生了統(tǒng)計量的差別。. AR()模型的極大似然函數(shù)一階自回歸過程有如下方式，記作AR()： (.)其中是一個白噪聲過程，即。在此情形下，總體參數(shù)向量為。首先調查樣本中第一個察看值的概率分布。由于在時，存在一個滿足.的協(xié)方差平穩(wěn)過程，此時， ，所以，第一個察看值的密度函數(shù)形如 (.)接下來思索第二個察看值在察看到的條件下的分布。由. (.)可以將隨機變量視做確定性常數(shù)。在此情形下，.給出作為常數(shù)和隨機變量的和。因此，。 (.)普通地，只經(jīng)過對起作用，第t個察看值以前t -個察看值為條件的分布為： (.)完全樣本的似然函數(shù)為 (.)其對數(shù)似然函數(shù)記作log可由.取對數(shù)求得： (.)將.和

4、.代入.，得到樣本量為T的AR()過程的對數(shù)似然函數(shù)：(.)例. AR ( )模型的極大似然估計設Y的數(shù)據(jù)生成過程為：其中是一個白噪聲過程，即。AR()過程的樣本量為T的對數(shù)似然函數(shù)為(.)式，總體參數(shù)向量為。利用極大似然估計方法估計的AR ()模型，可以得到如下的結果： (-.) (.) 對數(shù)似然值 = -. AIC =. SC = . GARCHp, q的極大似然函數(shù)規(guī)范的GARCHp, q模型的方式為： (.)要想寫出GARCHp, q模型的極大似然函數(shù)，首先要分析擾動項的密度函數(shù)。為了方便起見，他們對方程 (.) 采用另外一種方法來表示，它對的序列相關施以更強的假定。假定； (.)這里

5、，是一個i. i.d. 序列，其均值為，方差為： 假設的變化服從 (.)那么 (.) 意味著， (.)因此，假設是由 (.) 和 (.) 產(chǎn)生的話，那么服從GARCHp, q過程，并且線性投影 (.) 是其條件期望。假設，的條件分布為正態(tài)分布，其均值為，方差為，那么其密度函數(shù)為: (.)式中Yt表示 t -時辰前的信息集合， (.)將欲估計的未知參數(shù)列成一個向量：那么樣本對數(shù)似然函數(shù)是 (.)但是，很多金融時間序列的無條件分布不同于正態(tài)分布，它們具有更寬的尾部，也就是說，即使 (.) 中的為正態(tài)分布，的無條件分布也是一個非正態(tài)分布。大量現(xiàn)實闡明，的條件分布也經(jīng)常是非正態(tài)的。對于非正態(tài)分布可以運用原來的根本方法。例如，博勒斯萊文以為 (.)中的可以取自一個自在度為k的t分布，k可視作由極大似然函數(shù)估計的參數(shù)。假設是一具有k個自在度的t分布，當時，其密度函數(shù)為 參見美詹姆斯 D. 漢密爾頓 著， 劉明志譯，中國社會科學，年月，p-p頁。式中代表 函數(shù)。 (.)該密度函數(shù)可用來取代.中的正態(tài)設定，未知參數(shù)向量變?yōu)椋哼@樣，樣本對數(shù)似然函數(shù)就變成： (.)這樣對數(shù)似然函數(shù) (.) 在的約束下關于數(shù)值最大化。例. GARCH (p, q ) 模型的極大似然估計根據(jù)方程.中描畫的GARCH (p, q )模型和 (.) 式的極大似然函數(shù)，利用