1、專題14數(shù)列求和綜合必刷100題任務(wù)一:善良模式（基礎(chǔ)）1-30題一、單選題.已知數(shù)列叫滿足=3,則?！?（）,1,1-1-1A.4+-B.4C.2+-D.2nnnn【答案】B【分析】由an+an=7利用累加法得出an-n+1【詳解】由題意可得4-“=而%=:一,11111所以出一4=1一不，/一。2=不一三，anan-=7一一，223nn上式累加可得4=（生一4）+3一生）+（凡一凡一1）又4=3,所以4=4-.n故選:B.2.已知數(shù)列g(shù)的前項和為S，且q=l,a+an=2+1（eN.）,則數(shù)列噎的前2020項的和為（）2020404040394041ABCD202120212020,202

2、2【答案】B【分析】首先根據(jù)已知條件求得.然后求得S”.利用裂項求和法求得正確答案.【詳解】數(shù)列七的前”項和為s“，且4=1,a“+|+a“=2+l,則=3-q=2.所以0+2+%=2w+3,兩式相減得：4+2-a“=2,且q=i,%=2,當“為奇數(shù)時，-1卜2=1+12=,當”為偶數(shù)時，a =a2 +x2 = 2 + -2 = ，所以數(shù)列,是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.所以S*誓，故=2(-),xSn(n+l)nn+1所以4則加0=2（1-布）=40402021故選：B.數(shù)列1,1+2,1+2+22,GN*),at=l,at=2,S”為數(shù)列a“的前項和,則52021=()A.3B.2C.1

3、D.0【答案】C【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式得出數(shù)列是周期為6的周期數(shù)列，利用周期性即可求解.【詳解】a,n.i=a,i-an-i,ai=l,6=2,03=1,o=-l,as=-2,a(,=-,aj=,a=2故數(shù)列“,)是周期為6的周期數(shù)列，且每連續(xù)6項的和為0,故$2021=336x0+42017+42018+。2021=41+。2+。3+。4+。5=1+2+1+(-1)+(-2)=1.故選：C.正項數(shù)列4滿足q=1,片-(4_1+2)。-i-3=0(l,eN),貝!j；+：+L+-:U3U5U2OI9U2()21()A幽B期C段D陋353460612021-5461t答案】B【分析】對a；-(%

4、+2)-3=0(1,eN)化簡可得%-“=3,從而可得數(shù)列叫是等差數(shù)列,首項為1,公差為3,求出通項。“，則可得二Th3七一焉),然后利用裂項求和法計算【詳解】端-(a_,+2)q-a-3=0(1,eN)，(?！?l)a(ai+3)=0,an0,aan-l=3,二數(shù)列aj是等差數(shù)列，首項為1，公差為3,=一(),ain-a2n(6-5)(6+1)66-56n+1. + + + 4030201920211(1_1)+(,1)+(_L_)=l(1_L)=12io6771360556061660616061,故選：B.7.化簡5=+(-1)、2+(-222+i+2義2-2+2-1的結(jié)果是()A. 2

5、B+,+n-2B.2“- + 2C. 2 ” 一 2D.2+,-n-2【答案】D【分析】用錯位相減法求和.【詳解】S“ = + (-1)x2 + (-2)x2，.+ 2x22 + 2T,(1)2S“=x2 + (-1)x22+(”-2)x2-+2x2-+2, (2)(2) - (I)得:S” =-n + 2 + 2?+2，2“ =-n+2(_2 ) =-n + 21-2 = 2Htl-n-2.1-2故選：D.8.已知數(shù)列q中，4=L”“=3a,i+4(eN*,22),求數(shù)列,的前項和$“為()A.。3”一2一3 =“2a _ 3n+1+2/7-32C.。3向-4-3 =2D. S,33【答案】

6、C【分析】根據(jù)題意化簡得到q+2=3(a,i+2),得到數(shù)列q+2構(gòu)成苜項為3,公比為3的等比數(shù)列,求得%=3-2,結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】山題意，數(shù)列%中，4=l,a“=3a“_1+4(eN,22),可得4+2=3%+6=3(41T+2),即-=3,an-+Z且+2=3,所以數(shù)列,+2構(gòu)成首項為3,公比為3的等比數(shù)列,所以%+2=3,即a,=3-2,則數(shù)歹式可的前項和S“=（3+32+3）（2+2+2）_30-3）_2“_3-3_2“_3向-4-3 TOC o 1-5 h z -1-3-一-2n2-故選：C.等比數(shù)列&中，=2,2,數(shù)列二（；（“_1），a的前項和

7、為小則幾的值為（）409420461022510A4095B#2047C，1023D*?H【答案】B【分析】,211先求出巧,從而可得:二已刁而刁.尸L尸口,然后利用裂項相消求和法可求出幾【詳解】由題意得4 =2,所以4 =2n_11（2n+l-l）（2n-l）-2n-l2n+l-l（所以T.o=31-i11r:=1r:-=-102-12an = 2n-, nwN*.又-122-1244+1-12,0-12-12-12047故選：B.已知數(shù)列4的前項和S“滿足s“=2,記數(shù)列一的前項和為r,，eN*.則使得（7?成立的”的最大值為（）A.17B.18C.19D.20【答案】C【分析】根據(jù)4=5

8、“-5“7求4通項公式，注意討論=1、22并判斷是否可合并，再應(yīng)用裂項法求，最后根據(jù)不等式求的最大值即可.【詳解】一（）2 2n-l 2 + 1當=1時,q=$=l；當”22時，an=Sn-S=n2-（n-1）2=2n-1；而q=2xl-l=l也Tn =-x(l一 + 一+ .+23 3 52/1-12n + l)-2X(，-2M + l)-2M + l即就嗡得2。且小，則的最大值為19.故選：C.第H卷(非選擇題)二、填空題.數(shù)列。,是首項和公差都為1的等差數(shù)列，其前項和為s.，若r.是數(shù)列的前項和，則工)9=99【答案】/0.99,【分析】11首先寫出等下數(shù)列前項和則有尸=不1不，再應(yīng)用裂

9、項相消法求4【詳解】+-1111由題意：4=，故，于是瓦=而加=/於故答案為：而.已知數(shù)列4的通項公式為=bg2臺|(wN*),設(shè)其前項和為S“，則使5.4-3成立的最小的自然為.【答案】14【分析】先利用其通項公式以及對數(shù)函數(shù)的運算公式求出S,=10g23.再利用對數(shù)的運算性質(zhì)解不等式L，-3即可求出對應(yīng)的自然數(shù).【詳解】M+1解：因為an=log,-(neN*),+2所以Sn=%+出+/+t2.3.4+1=log,+log,-+log,-+.+logr345+2oo-3=京27=14.、+2n+2故答案為：14.已知數(shù)列”“滿足4+,+2=(eN*),貝！)“的前20項和S20=1【答案】

10、95【分析】利用分組求和法以及等差數(shù)列的前“項和公式即可求出結(jié)果.【詳解】因為“+a,”？=(eN*),則a+l+。,+3=+1(eM),所以%+4+2+。+3=2+1N)所以$20=4+。2+一+。20=(4+%+4+/)*h(47+8+49+%)=2x1+1+2x5+1+2x9+1+2x13+1+2x17+1=2x0+5+9+13+17)+5(1+I7)x5=2x-+52=95,故答案為：95.已知正項數(shù)列滿足=1,a-+2)an-an_-3=0,(n2,neA+),則+=4“2”2。32000*2021【答案】20206061【分析】化簡數(shù)列的遞推關(guān)系式，得到“-4t=3,結(jié)合等差數(shù)列的

11、通項公式，求得4=3-2,可得一=(4；-白)，利用裂項法，即可求解.4M+i35n-23+1【詳解】由題意，正項數(shù)列%滿足4=1,Y-(4-+2)?！?4t-3=0,(22,eN*),可得(4+1)&-(的+3)=0,因為a“0,可得a“-a“T=3,所以數(shù)列,是首項為1,公差為3的等差數(shù)歹辦所以4=1+3(-1)=3-2,貝I=()(3-2)(3+1)33n-23+1H)6058 6061_L+_L+.+_L_=lx(1_l+l-l“23。，0,0。，0213447-x(l)= 3606120206061故答案為:20206061.設(shè)數(shù)列(滿足4+產(chǎn)4,+2(+1),6=2,則數(shù)列卜-1)

12、4的前50項和是【答案】1300【分析】利用累加法可求得數(shù)列為的通項公式q=5+1),再并項求和求解前50項和即可.【詳解】因為4+1=4+2(+1),且q=2,故22時，4-4=4,a3-a2=6,.-2%累力可得。=2+4+6+2=，(2上j)=5+1),n=l,4=2滿足上式，即4=(+1),故(-1)%的前50項和，即S=-lx2+2x3-3x4+4x549x50+50 x51=2x2+2x4+2x50=2x=13002故答案為：1300.用設(shè)小)=白，則募)+/(募)+/(施卜20192020g、2019【答案】y-【分析】根據(jù)題意求出/(x)+/(l-x)=l,然后結(jié)合倒序相加即可

13、求出結(jié)果.【詳解】因為即事，所以/*)+/(1) =-i4 + 2 4修 + 2F4、+ 24” + 2 4 + 2414* + 2 4 + 2424+44 + 24、設(shè)/2020220203202020192020則/20192020+ +/320202202012020(2),2019(1) + (2)得2019 = 2m,即=m,2故/120202202032020J 20191 202020192故答案為：誓17.數(shù)列an的前項和為S”，且S3 = 1,5=-1,且* = 2%!(),則5刈7 =【答案】-1【分析】由。4 = $4一邑求得4,又4 =2可得，根據(jù)%)i7 = 2Z ,

14、求出&)”，又因為邑皿=邑+ 2邑+ 2? $3 + 2, $3 + 2671 S3+ &“7,代入數(shù)據(jù)求解即可.【詳解】山4=4-53 =-1-1 = -2,又 4=2q,得 4=-12oi7 = 2a2OM = 22a20ll = 23a2n08 = = 2672a, = -2672S2oi7 = S3 + 2s3 + 2S3 + 2, Sy + + 2671 Sy +。2。17 =53(1-2672)1-2故答案為：1故答案為:2021202218.在數(shù)歹U4中，q=2,且“+凡t=-+2(2),貝!數(shù)歹IJ-的前202122).3T2Tq7)2=2,將以上各式累加，可得(“一1)-(q

15、-1)-=+(-1)1*2,將4=2代入，可得(4-1)2=1+2+=吟。,12-if(+1)+1)1二111124；-4。+22(“一1)n+12”；-4“+ 2，的前2021項和為1-t+2+=1，=這120212022202220220已知數(shù)列|七金上行.則該數(shù)列的前I。項和為【答案】2017【分析】由題意得出此數(shù)列的通項公式，將通項公式化簡，利用裂項相消的求和方法即可求出前項和，進一步就可以求前10項的和.【詳解】由題意可知此數(shù)列分母為以I為首項，以I為公差的等差數(shù)列的前項和,=2fl_由公式可得：al+2+.+nn(n+l)1n+)30a,最小整數(shù)解為.【答案】5【分析】先由題意可得

16、，=%,22,然后驗證當=1時也成立，從而求得與2%,再利用錯位相減法求得S,”代入不等式S,230a“中，求得滿足題意的即可.【詳解】由%+如+為+L+=%-1可得：4402+1+L+=%=4-142兩式相減得：-an=an+l-an,即以=%,22/i+ln又“1=1,可得：1=42-1，解得：2=2,/=1=：,=1+1n1.=，又Sn=1X2+2X22+3X2。+2”,25=1X22+2X23+-+(n-1)2+2向，兩式相減得：-S=2+22+2-,+-+2n-*2(1-2)_財”12整理得：S=(-1)2+1+2,由S,N30“可得：(n-1)2+i+2230”，即二一碑I215n

17、.,當=1,2,3,4時，(“T)財+115,.滿足不等式230%最小整數(shù)解為5,故答案為：5.三、解答題21.數(shù)列4的前項和為S“，若q=3,點(5,3向)在直線片誓工+1(Y)上.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若數(shù)列滿足4=.2號，求數(shù)列也的前項和7,.【答案】(1)證明見解析(2)7；=(n-l)2+,+2【分析】(1)將點代入整理可得4-3=1，由等差數(shù)列的定義即可得出答案.(2)根據(jù)S“與%的關(guān)系求出%=2+1,進而得出a=.2竽=.2，再由錯位相減.可求解.:點(S,，S用)在直線產(chǎn)四、+1(2)上，n，5.=5“+1同除以+1,則有：辿_&=1數(shù)列是以3為首項，1為公差的等差

18、數(shù)列.由(1)可知，S“=1+2(N),當=1時，=3,當N2時，4=S“-S“t=2+1經(jīng)檢驗，當=1時也成立，,=2/?+1(N).,bH=n22=2”，;4=4+&+.+%+Tn=-2+2-22+(-121+n-227；,=1+2+(-1卜2+小2向-T=-2+22+2y+-+2-n-2+n-2,+=(n-l)2,+l+222.已知數(shù)列叫為等差數(shù)列，公差H0,q=5,且q,4,初依次成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列%的通項公式;1q(2)設(shè)=，數(shù)列也的前項和為S“，若求的值.44+135【答案】an=2n+3=15【分析】(1)設(shè)公差為，根據(jù)等比中項的性質(zhì)得到方程，求出”，即可求出通項公式：(2

19、)山(I)可得,=丁二-不二,利用裂項相消法求出5“，再解方程即可;212+32+5)解：設(shè)公差為d(d#0),由q，%，%依次成等比數(shù)列，可得a；=q%，即(5+54)2=5(5+20),解得d=2,則an=5+2(-1)=2+3.解：由(1)可得=4A川_1(11)即有前項和為S =g115-7+7-9+盛一人)+3)(2/+5)一口2/+3-2/+5Jn5(2h+5)335解得=15.23.在等差數(shù)列氏中，/+%=14,(1)求數(shù)列4的通項公式;2(2)令)=-求數(shù)列也也“2的前項和a-l【答案】(1)=2/1+142n+22+4【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列的通項公式即得；

20、（2）由題可得-y,再利用裂項相消法即得.2n,7+27（1）法1：因為生+4=14,所以生=7,因為4+%+4+7=36,所以+6=18,所以=11,所以公差=與二號=2,所以41=%+(-3)4=7+26=2+1.53(,除+。4=14,(2a.+4d=14,a,=3,法2：設(shè)等差數(shù)列應(yīng)的公差為d,聯(lián)立廣4球得力山”解得；+。3+。5+%=36,4+12d=36.d=2.所以q=q+(-1)1=3+2(-1)=2+1.(2)由知q=2+1,所以“含T納+2中;一力所以=她+她+她+所也+,+她+2III-I一22n+n+2)42n+22+424.已知數(shù)列叫滿足/=，?+L琮丁.（1）求證：

21、數(shù)列J是等差數(shù)列，并求數(shù)列,的通項公式；（2）若,求數(shù)列的前項和在（么=4,5=;包+佶丫三個條件中選擇一個補充在第問中,a43J并對其求解，如果多寫按第一個計分）【答案】（1）證明見解析，（2）答案不唯一，見解析【分析】(I)對遞推公式兩邊同時取倒數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列的定義進行運算證明即可；(2)選：運用裂項相消法進行求解即可；選：運用分類討論方法進行求解即可；選：運用分組求和法，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列前項和公式進行求解即可.a12a+11顯然由i，兩邊同時取倒數(shù)得：=1+2,即-一=2,所以數(shù)列工是公差為2的等差數(shù)列.故=+(-3)x2=2，即4+1anJanIan=丁2n選：b=。得田,由已

22、知得，b=(-l)-2n，故數(shù)列他的前“項和7；=-2+4-6+8+(-1)2,當為偶數(shù)時，Tn=2-=n,當為奇數(shù)時，方=一2+(-2*1=_1,故n,n=2k,keZ,n-n-,n=2k-,keZ由已知得，仇=2 + (g) =2 + )故數(shù)列的前項和25.已知正項數(shù)列。“的前項和為S“，且45.=7的+1,4=1.數(shù)列滿足=1,她+i=4(1)求數(shù)列,的通項公式(2)證明：J+j+J2l.ab2仇b”【答案】(1)an=2m-1,/zgZ-(2)證明見解析【分析】(I)根據(jù)S”與4的關(guān)系以及等差數(shù)列的通項公式即可求解.2(2)由7=。+I-仇一,利用疊加，裂項相消法即可證明.bn.,4S

23、n=a-a+l+l,q=l,4$=R+1,a2=3,當此2時,有4S“t=m”t+1,4s“-4S+=。,4+|-an-an，,=cin卜*-“_)/0,。用_(_=4數(shù)列4的奇數(shù)項是以l為首項，4為公差的等差數(shù)列，2n.i=l+4(W-l)=2(2-l)-l,偶數(shù)項是以3為首項，4為公差的等差數(shù)列，4%=3+4(1)=221,an=2-1,Z”. TOC o 1-5 h z ,一2,%也=2-1,所以勾也_=2-3得以(如-%)=2,=。+1-如從而2(二+丁+不)=&+/-4+%1-%=川+-b2D2%Dnc/1111.2九1.12(77+,+)=i+b“=+b22J2”-1,4b2b3靡

24、b111、r：;從而可得77+丁+丁+丁2V2-l瓦瓦4bn26.已知%是等比數(shù)列，0,且”2=1，6一%=2。4.(1)求數(shù)列%的通項公式；(2)設(shè)2=%+,求數(shù)列出的前項和S,.【答案】(2)1(2-1)+-32【分析】(I)求得公比4,由此求得數(shù)列4的通項公式.(2)利用分組求和法求得5“.a6-a5=2a4,a4q2-a4q=2a4,0,q?-q-2=G,oig=2,a.=a2q-2=j2=.2-.4=a“+=；,2T+，5“=4+0+0+b”32。+*+*2+.+32,1)+(1+2+3+.+)十1-2= g(2f +27.已知公差不為。的等差數(shù)列q滿足%=5,且4,生嗎成等比數(shù)列.

25、(1)求數(shù)列%的通項公式;(2)設(shè)=；，數(shù)列也,的前項和為證明anan+l2【答案】a“=2-l,(eN*)(2)證明見解析【分析】(1)根據(jù)等比中項的性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列通項公式，可得d=2q,根據(jù)%=5,即可求得4d的值，代入公式，即可得答案.(2)由(I)可得。“=2-1,代入可得二一不二,利用裂項相消求和法，即22n-2/1+17可得。的表達式，即可得證.因為的,%成等比數(shù)列，所以生2=的5，則(q+d)2=q(q+4),又d*0,所以d=2q,乂=4+2d=5q=5,所以a=l,d=2,所以=4+5l)d=2-1,(eN*).由(1)可得勺=2-l,11If111所以=-,(4川(2n-

26、l)(2n+l)22n-2n+lJ所以數(shù)列間的前項和為7H(6+黑+止rJ?)=斗，=1一_1212+1J22(2+1)228.已知數(shù)列4滿足4=1,%=3“+2,4.數(shù)列出滿足4=1,5川-=S“+2+”+1，其中S”為數(shù)列他是前n項和.(1)求數(shù)列%,2的通項公式;(2)令%=十求數(shù)列%的前”項和T.,并證明：27；,43”t43“3”0,所以億遞增，所以15 2x1 + 54 4-3m=2,又當時，出10,所以因此，27；.4,34429.已知數(shù)列4的前項和為S“，4=lq“=S+l(”eN*),數(shù)列滿足4=1,(1)求數(shù)列S”、伯的通項公式;(2)若數(shù)列滿足求證：C,+C2+-+Cn2

27、),即%+=2an(n2)又由q=l,得4=2,滿足4川=2見，所以勺=2”，而2+1=2=2,所以b”-b=2“+2”2+.+21,所以2=2nl+2n2+21+x,J)=2”-1；2“tii證明：因為，-(2_)(2+i-1)-2(2-12-1)1,1I1111、1八1、1Jyi以Cl+C,+c=(z1zz1-1)(17：).221-122-122-123-1212n+,-122n+,-1230.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,中，=2,-,川,巴,a,成等差數(shù)列.等差數(shù)列滿足4=4+1,24-3%=%-3,(1)求數(shù)列,a的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前“項和為7，證明：。)，等差數(shù)列4的公差為d

28、.因為一。“+“+2成等差數(shù)列，所以2?！?,*2-4+1n2aq=。-。聞”，因為q0,40,所以2=-q=q=2,q=-l(舍去)，因此a=qg=2x2=2,b=a,+1=22+1=5,由2/一34=4-3n2(5+4d)-3(5+d)=23-3nd=2,所以=4+(-1)=5+2(-1)=2+3：(2)因為么=2+3,所以。上八一=3(工7一口)+(2+1)(2+3)22+12+3十日“1,I1111111.111、J.小有Tn+T-T-7)=T(T-T7)，235577112n4-l2+3232+3因為wN*，所以(一)=；.232+3236任務(wù)二:中立模式(中檔)1-40題一、單選題

29、1.已知數(shù)列,滿足0=2,%=3且，2-a“=l+(T),eN*,則該數(shù)列的前9項之和為()A.32B.43C.34D.35【答案】C【分析】討論”為奇數(shù)、偶數(shù)的情況數(shù)列4的性質(zhì)，并寫出對應(yīng)通項公式，進而應(yīng)用分組求和的方法求數(shù)列的前9項之和.【詳解】：an2-a=l+(-),neN,當”為奇數(shù)時，a2_,=0，則數(shù)列%T是常數(shù)列，=4=2；當為偶數(shù)時，。2”*2-勺“=2,則數(shù)列4”是以生=3為首項，公差為2的等差數(shù)列，4x3.*.+cig=(q+4+,+%)+q+/)=2x5+(3x44x2)=34.故選：CA12.數(shù)列q滿足q=，。,用一1=。；a,(”eN*),數(shù)列一的前項和為S“，則(

30、)B. 2 S2021V 3D. 4S2O21 5A.1S2021V2C.3Vs2M2,從而估計出$2021的氾圍.【詳解】4因為4+|-1=端-?！埃?=1,所以-0,即。“+I4,?！笆沁f增數(shù)列，所以。2022“2021%2，071,23-3.0202212022-1故選：B.3.設(shè)S“為數(shù)列叫的前項和，2%一4M=321(22),且3q=2%.記7,為數(shù)列的前項和，若對任意eN,T0),由a洶=a%=16,解得q=0,4=2,則為=%則111bg-bg-J1鳴2鼠g嗎一+a”a“+i=4”,可得4/=4,1產(chǎn)T=&-21=十4=2p-M（2n-l）（2n+l）2n+）,則前項和4=2(】

31、-;+(-；+1_12-12/?+12+142+1故選：A.6.數(shù)列4滿足4=1,且，向111=4+4,+(neN*)則1+丁+一=()2017A.10094032B.2017【答案】A【分析】根據(jù)4m=4+“+，利用累加法求得。“二40282015相消法求解.【詳解】a“+i-a“=+l，?(l+n)n口門+,an+l-at=-+”，卬%+1=2-+1，4=1符合上式,12017201811qa2=2x1I2018V-T-20171(X)9故選：A.7.設(shè)數(shù)列a滿足4=3,%+|=3%-4，若2=而+8+5,且數(shù)列2的前項和為S,anan+則S,廣()A。高4 2nI3 6+ 91 + 6

32、+ 9(1 +六I 6+ 9【答案】D【分析】先根據(jù)的遞推關(guān)系求出4,的通項公式，代入的表達式中，求出的通項，ll|JuJ求解。的前項和s.【詳解】由-=3%-4可得為+-2(+1)+1=3a“-(2n+1),*/ctj=3,，4(2x1+1)=0,則可得數(shù)列a,(2+D為常數(shù)列0,即4-(2+1)=0,.a“=2+l,4/+8+5(2+1)(2+3)+2,2,11一(2+1)(2+3)一(2+1)(2+3)-(2+1)(2+3)-2+12+3cJill11.11,I2、“35572+12+332+36+9故選：D8.已知函數(shù)/(幻=-4，數(shù)列滿足%=/(薪)，則數(shù)列4的前2019項和為(4+

33、2izuzu，【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)結(jié)構(gòu)特征，得到/Xx）+/（1-句=1,再將該式子用于求和.【詳解】因為/。）=彳二，所以八1一工）=分工，4+24+24、4一4（4x+2）+4i（4，+2）勺/（X）+/（1-X）=4*+2+41T+2-（4+2）（4+2）一上記數(shù)列,的前項和S“，又q=/（薪），所以/V/乙JS，019 4| + + 20192 20202019202012020= 1x20193202022020/ 2019( 202020182020201920202020=2019.所以S如92019故選：A.9.已知數(shù)列%的前項和為S“，前項積為。，且42+, - 2.若

34、 b“=TogE，則數(shù)唱的前項和&為（2nA- QnB.- + 22D.2Hl【答案】A【分析】利用a“與S”關(guān)系可求得見,并推導得到聯(lián)=；,由此可確定,為等比數(shù)列，由等比數(shù)4+12列通項公式可求得a”=g，利用。“可得，進而得到5,利用裂項相消法可求得結(jié)果.【詳解】Si- 2-10+1 _ s+i - S”S 2+l-25,2+|-2.即邑=（2e一2）1，= log,4=2 一+.+“(223J 1 12 22 2“t 22n n + l也 Tog (4% 4,) = log 1),2A 1.色2的. + 2C. 2TD.2-Sn+l=(2+2-2)an+2,=S,“|-S”=(*2)%-

35、(2“-2”,整理得:I，又數(shù)列4是首項為:，公比為;的等比數(shù)列，4=/2,-r2故選:A.數(shù)列間滿足%=與+擊，若=；,則他的前項和為（）【答案】C【分析】由23=與+擊，得2也m=27“+1,所以可得數(shù)列2*,是等差數(shù)列，得數(shù)列的通項公式，再利用錯位相減法求和.【詳解】因為加=?+擊，所以2向%=2匕+1,所以數(shù)列2*是公差為=1,首項為2xg=l的等差數(shù)列，所以=1+5-1)=，所以與，設(shè)也的前項和為%所以12n1.12n1111ns”=5+尹+3，5sL齊+聲，得,尹=1+尹+就+.-西得Si一噗故選：C.已知等差數(shù)列4的公差為2,前項和為S”，且加，邑，S,成等比數(shù)列.令/“=一an

36、an+2數(shù)列2的前項和為T，若對于veN*,不等式(-5C. 2-5D. A0【答案】A【分析】根據(jù)5，邑，果成等比數(shù)列，所以SJ=SS*,根據(jù)d=2,即可求得4的值，即可求得,進而可得=I、”A VO 1勺”(2/z 1)(2+ 3)4 2-1 2n 4- 3),利用裂項相消法即可求得。的表達式，分析即可得答案.【詳解】因為邑,邑成等比數(shù)列,所以sj = ss4所以(a, + -=4 e；，)，整理可得(2q + 2 =2(2a, + 6)解得4 =1,所以a“ =l+2(-l) = 2-l,eN*,所以2=的“+2=一()(2/2-1)(2,:+ 3) 4 21 2 + 3 1八11111

37、所以工=-(1一一 + +“ 453759+)=2-3 2/? +1 2-1 2 + 3-(1 + -43 2 + 1 2n + 31111因為對于VeN*，不等式北0.即所以故選：A TOC o 1-5 h z .已知數(shù)列滿足4+i=：一4,+1（%）設(shè)S=L+J_+_+J_,且$9=幺aa2an。10則數(shù)列包的首項4的值為（） HYPERLINK l bookmark52 o Current Document 3A.-B.1C.-D.22【答案】C【分析】由=。：-%+1，可得%-1=4（4-1）,即7=；7所以從而可得24n 33，得出答案4。-1【詳解】若存在?！?1,由q-a”+1,

38、則可得%=1或4-=。,。111。2a.-3由S“=-+可得4*0,山59=-可得4wl所以4中恒有4wl由an+i=a；-+1，可得%l=a”(a-1) TOC o 1-5 h z i3所以一=2,則4-1=；,所以4=9a,-122故選：C13.設(shè)S“為數(shù)列4的前項和，S,=(T)a-g，eN*,則吊+S?+S3=()【答案】A【分析】由遞推式求出數(shù)列的首項，當22時分為偶數(shù)和奇數(shù)求出，代入5=(-1)%-,wN*后分組，然后利用等比數(shù)列的前項和公式求解.【詳解】由S,=(T)Z-g,eN,當=1時，E=-q-；,得“=一；當22時，a“=S“-S,-=(一1)”一嚴%+擊,即4=+g-當

39、。為偶數(shù)時，a_,=-(n2),所以,=-焉(為正奇數(shù))，當n為奇數(shù)時，*=-2凡+：(-2),擊)+=/,所以%=(為止偶數(shù))，所以_q曲=齊，所以_q+/=2x尹=,_/=彳,4=3，所以一生+4=2xm=w一/9=而，400=酒，所以一%9+40=2乂湎=產(chǎn).因為51+S2+83+S0G=(-4+出)+(-4+%)+(%+4)1(一陶+400)一故選：A14.正項數(shù)列&的前項和為S.，且2S“=d+a,(wN*),設(shè)%=(-1)磬則數(shù)列。的前2020項的和為()2019202020202021A.B.,C.D.2020201920212020【答案】C【分析】先根據(jù)和項與通項關(guān)系得4)，

40、再根據(jù)等卷數(shù)列定義與通項公式、求和公式得為，5“，代入化簡%，最后利用分組求和法求結(jié)果.【詳解】因為2S.0,所以當=1時，2at=af+a,解得叼=1,當X2時，2a”=2(S“-S“t)=*+4-(%+%)，所以(4+的)(q-。_1-1)=。，因為40,所以%所以數(shù)列q是等差數(shù)列，公差為1，首項為1，所以a“=+(_i)=,S“=,llI/12。+1/丹2/z+1/1(I,1)所以%=T-=(T77=(-l-+7.2snn(n+1)nn-Fly則數(shù)列c.的前2020項的和故選：C第II卷(非選擇題)二、填空題15.已知正項數(shù)列4的前“項和為S.,且2S,=d+4L若d=(-D篝L則數(shù)列論

41、的前2021項和為.【答案】-20232022【分析】f5n=1先根據(jù)4=；、c，求出%的通項公式，再結(jié)合2的通項公式進行裂項相消法求和【詳解】當w=l時，2%=0：+/,因為數(shù)列4各項為正，所以。=1.當22時，2sM=，所以2-S,i)=4一,+0,所以%-%t=1，所以數(shù)列/是首項為1，公差為1的等差數(shù)列.口/On(n+1)易知a“=n,S.=/所以數(shù)列也,的前2021項和為h.+h-y+a+仇me+bgr,=-111FH1223342020202120212022112023=2022=2022,故答案為:202320226 Xi)-六+i)，216.已知數(shù)列q的各項均為正數(shù)，q=3,

42、3a”數(shù)列2的前項和為s“，若兀s.對任意正整數(shù)都成立，則義-的取值范圍是-：0.S=：/.s3w+,+l43w+,+l420n4-3111-00,*/ASfl/z/,A，所以%+產(chǎn)2。“，即，叱=2，所以數(shù)列。4是以4=2為首項，公比為2的等比數(shù)列，所以a“=2x2T=2,所以b,=2(+2卜亍，2s則也的前7項的和等于3+4-22+5+9-亍x7,令q=2(”+2),c“前7項的和為寫,則7；=3-2+4-22+5-23+-.+9-27,27；=3-22+4-23+5-24+-,+9-2s,兩式相減可得；-7；=3-2+23+23+-+27-9-284(1-26)=6+-/-9x28=6+

43、4x63-9x256=-2046-1-2所以1=2046,25所以他前7項的和為不-予7=2046-25=2021,故答案為：2021.19.已知“=2+1,記數(shù)列一的前“項和為7”，且對于任意的?；與,t則實數(shù)t的最大值是.【答案】162【分析】招數(shù)列通項化為一1一=:(占一不二)，裂項求和求得又對于任意的分類參數(shù),得到關(guān)于的表達式，借助基本不等式求得最值.【詳解】由題知,64+1 (2+ 1)(2+ 3) 2 2? + 1 2/7 + 3),= 1x(1-2 32 + 3)3(2+ 3)111111+ +2 3 5 5 7)2n + 1 2 + 3又對于任意的n ,2/1 + 1 + 11

44、貝 UAJ 3(2n+ 3) t(2n + 12)-3(2n + 3) , IjJ * i no =12 + 90 + , ntll2n + 90 + 90 + 2./12nx= 162,當 =3時等號成立,則實數(shù)1的最大值是162.故答案為：16220.數(shù)列%且凡= 2)10n-l24/7 + 12【分析】21=(+1丫得出:當22時，+?+.-+詈！=”2,兩邊作差得352-324=2h+1(ti2)an=41-1(22).an=4(n=l),1-4=一，即4n-l(n2)422/r-l2/2+1/.c1Oh_1/.(n2)S=(h2)v724+12、f【詳解】含=(+jzi2時，ci|+

45、1,+-=n2,2-3得=(+1)2-2=2+l(N2),則4=(2-1)(2+1)=42-1(22).當=1時,由得4=4,不滿足上式%=44(=1),4,72-l(n2)b、=(n2),111+一Snb,+A+a+,+/?4-1242135572/1-12/24-1(n2),又S=24+121714也滿足上式,故答案為:4(=1),10-14n2-l(n2)；24”+12+2+ .+區(qū)=/、S23.已知數(shù)列alt的前項和為S”,且滿足。+S=1,則廣【答案】502【分析】由q,+S“=l,推得區(qū)=:(22),得到數(shù)列4表示首項為:，公比為I的等比數(shù)列，求得?！焙蚐“，進而得到&=再結(jié)合等比

46、數(shù)列求和公式，即可求解.【詳解】由數(shù)列的前項和S，且滿足a+S=1,當心2時，J+S“_=1,兩式相減，可得a,*+(S“一S,i)=24-41T=0,即+=；(22),an-乙令=1,可得q+S=2q=1,解得q=g,所以數(shù)列4表示首項為3，公比為g的等比數(shù)列，所以4所以8+&+邑+L+&=(2+2?+L+2S)-(1+1+L+1)n.a,a.4故答案為：502.已知數(shù)列a.的前項和為S“，點上在直線y=gx上.若=(1)a，數(shù)列,的前項和為。，則滿足因420的的最大值為.【答案】13【分析】由題設(shè)易得/、=g，即可求M，進而得口，討論為奇數(shù)、偶數(shù)求，結(jié)合己知不等關(guān)系求的最大值即可.【詳解】

47、由題意知：T=g，則S,=2*，3+12”2當=1時,4=S=2；當22時，anSnSw_|=3h1而=3x11=2,bn=(一1)(3-1),.7；=-2+5-8+11-+(-1)”(3-1),當為奇數(shù)時，0,所以.=1(”22)i=2時，S1+S=a；nq+a,+a=a/n,=2所以%-4=1符號a向-4=1,故數(shù)列,是首項為1,公差為1的等差數(shù)列所以,=，貝1+133當為奇數(shù)時，Tn=-1-1,則42-:-1=一：且（-1H+122綜上所述：Tne故答案為：,26.已知數(shù)列。滿足：q=l,%=1，&+%+，l=l+6（N2且wN+）,等比3q。2anan-為奇數(shù)數(shù)列出公比夕=2,令%=為

48、,則數(shù)列的前項和S2”=.也,為偶數(shù)-4川-4【答案】2+3【分析】依據(jù)題意可得自，然后依據(jù)公式可得4,然后根據(jù)遞推關(guān)系可得數(shù)列為等差數(shù)列，進一步得出4,最后分組求和可得結(jié)果.【詳解】bbbb解：因為4=1,a,=-,+-iL=-2i+6（22且“eNj,34a24,%b,b,b-,可得=2時，一+=+6,即4+32=伉+6,q4%由等比數(shù)列的也的公比為g=2.即4+64=4伉+6,解得伉=2,所以=2,b、b、b、瓦，-，83.,當=3時，H-+=+6,gp2+3x4d=3x16+6,6Z|a、%a、%解得生=：，又冬+2+%=也-+6（23且NJ,aa2an-lan-2bbb-可得，-=-

49、441Tan-2BP=-,+=,44T%11,2又1=o=,所以數(shù)列上為等差數(shù)列，且公差=-=2,Jai%yii=f2(-1)=21,、凡4./2九-1,為奇數(shù)所又為偶數(shù)所以S?”=1+2?+5+24+(4-3)+22=(l+54-+4n-3)+(22+24+-+22w)_n(l+4n3)4(1-4) TOC o 1-5 h z 21-4故答案為：2/?2n+.3.已知數(shù)列4與低前項和分別為S，Tn,且40,25=a：N,2”+1”=（2+G（2+%）貝仆-【答案】哉【分析】由遞推關(guān)系求得數(shù)列4的通項公式，代入.根據(jù)裂項求和的辦法求得【詳解】因為2S=a；+a“，所以當幾.2/wN*時，2s衿

50、產(chǎn)。-，兩式相減得：=；+“一；_1一/_1整理得,（4-%-1）（4+的）=0,由。0知，4,+?！癬尸0,從而”一即當幾.2,N”時,。一%=1當=1時,2q=a；+4，解得4=1或0（舍）,則q首項為1，公差為1的等差數(shù)列,則。=1+5-1）x1=.一2+1_11所以=（2+n）（2nt,+n+l）=2+-2+l+n+l則 7；川+4+ -.+2+ 2向+ +廠4432+6+1-135,44故答案為：三、解答題.數(shù)列。“中，5“為4的前項和，%=4,2S“=(a“+l)(wN)(1)求數(shù)列4的通項公式；(2)若%=(T)”吐L求數(shù)列匕的前2項和anan+【答案】(1)?！?3”-2【分析

51、】(1)由3與4的關(guān)系可得,為等差數(shù)列，再山等差數(shù)列的通項公式即可求解;(2)由裂項相消法求解即可當=1,則2q=q+l,所以4=1,當22時，(-2)2s=(h+1),2S=n(a+l)(neAT)(D,-得:(n-2)a=(n-l)an.1-1,(/j2),(n-3)a_,=(n-2)a.2-l,(n3),整理得2a,i=+a_2(n3),所以,為等是數(shù)列，d=tz-6f|=3,an=l+3(n-l)=3n-2；/61/tn+1(11|=(i+斗”+(雪斗+(2I4)(47j17ioj(6-56n-2)(6-26/2+1J6+129.已知各項均為正數(shù)的無窮數(shù)列?！暗那绊椇蜑镾“，且4=1,

52、吟=(+l)S+”+l”eN)(1)證明數(shù)列q是等差數(shù)列，并求出為的通項公式；(2)若數(shù)列也滿足26用=6,+”(eN)設(shè)數(shù)列%滿足c“=,證明：2a1Cl+C2+C“【答案】(1)證明見解析，a.=(eN,)(2)證明見解析【分析】(1)由遞推關(guān)系構(gòu)造等差數(shù)列手卜求出通項后得S“，山S”求a“即可；(2)由遞推關(guān)系構(gòu)造等比數(shù)列求出，對c“裂項后，利用相加相消求和即可得證.(1)因為5,川=(+l)S“+qq1所以石=2+;,+】n2S,所以數(shù)列。卜是以1為首項，5為公差的等差數(shù)列，51因此-=1+(-1)=-nH,n222當22時，a=Sn-S_t=n,又4=1符合上式,故a“=(eN*),

53、所以a“+i-a”=1，即4是等普數(shù)列.(2)由2。+|=+%=,+&=(1+1)=四，得細=4，annnnn+12n所以數(shù)列3是苜項為g，公比為g的等比數(shù)列，4勺即。等n+2：.c=-=Sn(2+).2十一裂項得C”=正一(+1)2向111C,+Cf+3=葛？若存在，求k的最小值；若不存在，說明理由.(注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.)【答案】4=(；)1(2)答案見解析【分析】(1)根據(jù)給定條件求出等比數(shù)列的公比即可得解.(2)根據(jù)選擇的條件計算出等差數(shù)列,的公差及前“項和為S，再用裂項相消法求出乙即可列式計算作答.8設(shè)等比數(shù)列的公比為4(40)，由仇=8得：4=7,伉=的

54、，又伉一3%=4,81o11因此有一一24口=4,即6/+g-2=。，解得q=Q,q=-(舍去)，則(萬廣?=勺),所以數(shù)列的通項公式=g)T.若選：設(shè)等差數(shù)列4公差為d,則6=仇=2,$4=44+64=20,解得d=2,由1-7工獸，解得及15,而/為正整數(shù)，則上的最小值為16,所以存在正整數(shù)&滿足要求，女的最小值為16.若選：設(shè)等差數(shù)列,公差為4則=2,3q+3d=2(4+2d),解得d=q=2,于是得s“=4+嗎心=1+”，-=-r=-一一三,2Sn(+1)n+1由1-不二二解得攵15,而k為正整數(shù)，則的最小值為16,所以存在正整數(shù)后滿足要求，攵的最小值為16.若選：設(shè)等差數(shù)列“公差為乩

55、則q=%=2,3(q+2d)-(q+3d)=8,解得d(一1)224于是得：S,=叫+-d=9+-n令口容得占十擊T顯然數(shù)列島+)心N*)是遞減的,當女=7時,即由丁二+丁二得2之7,則%的最小值為7A+1左+24所以存在正整數(shù)滿足要求，女的最小值為7.31.在53=9,S5=20;公差為2,且5,邑，邑成等比數(shù)列；S.=3/+8；三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并給出解答.問題：已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前項和為5，.(1)求數(shù)列叫的通項公式；(2)令,=1臉,其中國表示不超過x的最大整數(shù)，求q+q+。2。的值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)答案

56、見解析(2)答案見解析【分析】選(1)由等差數(shù)列的前項和公式列方程組解得q和4后可得通項公式：(2)根據(jù)定義求出c,(lW420),然后求和.選(1)山等差數(shù)列的前項和公式結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)求得坊后可得通項公式；(2)根據(jù)定義求出C(14420),然后求和.選(1)利用q=S,-22)和q=S,求得通項公式；(2)根據(jù)定義求出c.(14420),然后求和.選：設(shè)4的公差為d,則S“=q+心二Dd(3a,+3rf=9由已知可得s,”，解得q=2,d=4-lOa=20故叫的通項公式為a”=+l2x14x3選：因為S=4，S2=21+x2=2Z+2,S4=2a+x2=4+12,由題意得(2i+2)2=

57、4(4q+12),解得q=1,所以q的通項公式為a“=2-l選：當22時，a“=S-S“T=6+5當=1時，4=S=11,符合?！?6+5所以可的通項公式為4=6+5選2,3n73,7n154,15/?20所以C1+C2+。20=1x2+2x4+3x8+4x6=58選0,n=l1,=2由 c“=bg2 4,知 % =2,37753,5n94,9n165,167720所以q+，2+C20=0+1x1+2x2+3x4+4x8+5x4=69選3,=1由 c“=logM知 c“=，4,2n55,577106,10/I20所以G+C2+C20=3+4x3+5x5+6x11=1632.在a,=2-1,3仇

58、=27；+3;2S“=1+?！耙?./“這兩組條件中任選一組，補充在下面橫線處，并解答下列問題.已知數(shù)列的q前項和是s“數(shù)列也)的前項和是r.，.(1)求數(shù)列4，血的通項公式；(2)設(shè)。二廣,證明：+0+q+c”vL【答案】(1)答案不唯-具體見解析(2)證明見解析【分析】(1)選條件：由3。=27；,+3,3川=2人+3,可得=3bll,根據(jù)等比數(shù)列通項公式即可求解4；選條件：由2S“=2+a“，2sz=(+1)2+%,可得n+l-(+!)=-(-),利用迭代法可求4,借助已知條件可得4；(2)選條件：利用錯位相減求和法求和后即可證明；選條件：利用裂項相消求和法求和后即可證明.解：選條件：由

59、地=27；+3,可得3g=2心+3,兩式相減可得3向-3b,=2%,所以hn+x=3b.,在3d=2北+3中,令=1,可得的=24+3,所以=3,所以色卜是以3為首項，公比為3的等比數(shù)列，=3x3T=3”,故數(shù)列,的通項公式為?！?2-1,數(shù)列色的通項公式為=3；選條件:由2S=2+4,可得2s向=(+1)2+。刈兩式相減可得2q+1=(+1)2-2+an+t-an,即a“+i+a”=2+1,所以%+1-(“+1)=_(。_)，在2S“=2+a“中，令=1,可得24=l+q,所以4=1，所以山4-=一%_1-(-1)，a_1-(-l)=-a_2-(n-2),la2-2=-(at-1)=0,所以

60、a“-”=1尸(Oj-1)=0,從而有4=n(neN,),所以S“=(1),bn=a2nS=nn+V),故數(shù)列?！暗耐椆綖?,=，數(shù)列2的通項公式為,=2(+1).(2)證明：選條件：由(I)知9=今二=(2-1)設(shè) =q +C2+C3+ %,21兩式相減口/得,M = + 2n4-1/；4-1所以M“=1,即。+g+qH1-=11：選條件：由知舟y33.在S“=2a“-2；$=14；邑，S?+2,耳成等差數(shù)列這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答.+c2 +3+- + = 11 1 t 1 4= 10）.選當22時，S,i=2a_,-2,；.an=S-Sn,=2a-2aM,；.