1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 19 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 19 頁2022屆北京大學附屬中學高三三模數(shù)學試題一、單選題1已知集合，則（）ABCD【答案】B【分析】利用交集的定義即可求解.【詳解】依題意可知，解得，所以，故選：.2若復數(shù)滿足，則在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點的坐標是（）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)復數(shù)四則運算的規(guī)則，計算出z，再根據(jù)復數(shù)的幾何意義即可確定.【詳解】解：依題意，所以，根據(jù)復數(shù)的幾何意義，對應的是點（1，1）；故選：C.3已知，下列不等式中正確的是（）ABCD

2、【答案】C【分析】由，結(jié)合不等式的性質(zhì)及基本不等式即可判斷出結(jié)論.【詳解】解：對于選項A，因為，而的正負不確定，故A錯誤；對于選項B，因為，所以，故B錯誤；對于選項C，依題意，所以，所以，故C正確；對于選項D，因為與正負不確定，故大小不確定，故D錯誤；故選：C.4已知平面，直線和，則下列命題中正確的是（）A若，則B若，則C若，則D若，則【答案】A【分析】對于A選項，垂直于同一條直線的兩個平面互相平行；對于B選項，垂直于同一個平面的兩個平面有可能相交，也有可能互相平行；對于C選項，由線面垂直的性質(zhì)即可判斷；對于D選項，平行于同一個平面的兩條直線有可能相交、平行或異面.【詳解】選項A正確，因為垂直

3、于同一直線的兩個平面互相平行；選項B錯誤，平面和也可以相交；選項C錯誤，直線可能在平面內(nèi)；選項D錯誤，直線和還可能相交或者異面.故選：A.5有一副去掉了大小王的撲克牌（每副撲克牌有4種花色，每種花色13張牌），充分洗牌后，從中隨機抽取一張，則抽到的牌為“紅桃”或“”的概率為（）ABCD【答案】C【分析】直接根據(jù)古典概型概率計算公式即可得結(jié)果.【詳解】依題意，樣本空間包含樣本點為52，抽到的牌為“紅桃”或“A”包含的樣本點為16，所以抽到的牌為“紅桃”或“”的概率為，故選：C.6已知函數(shù)，則不等式的解集是（）ABCD【答案】D【分析】由可得，在同一坐標系中作出兩函數(shù)的圖象，即可得答案.【詳解】解

4、：依題意，等價于，在同一坐標系中作出，的圖象，如圖所示： 如圖可得的解集為：.故選：D.7已知，則“”是“是鈍角三角形”的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【答案】A【分析】在三角形中，由先利用輔助角公式結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求得角為鈍角成立，反之舉反例得出必要性不成立，從而得出結(jié)論.【詳解】解：中，所以是鈍角三角形，充分性成立；若是鈍角三角形，角不一定是鈍角，反例：,此時，必要性不成立；故選：A.8已知數(shù)列滿足，其中，則數(shù)列（）A有最大項，有最小項B有最大項，無最小項C無最大項，有最小項D無最大項，無最小項【答案】A【分析】求得數(shù)列的通項公式，再分析數(shù)列的

5、單調(diào)性即可【詳解】依題意，因為，其中，當時，當時，兩式相除有，易得隨著的增大而減小，故，且，故最小項為，最大項為故選：A9已知半徑為的圓經(jīng)過點，且與直線相切，則其圓心到直線距離的最小值為（）A1BC2D【答案】B【分析】先求出得圓心的軌跡方程，再利用點到直線的距離公式表示出距離，最后根據(jù)二次函數(shù)的最值求解方法可求得答案.【詳解】依題意，設圓的圓心，動點到點的距離等于到直線的距離，根據(jù)拋物線的定義可得圓心的軌跡方程為，設圓心到直線距離為，當時, 故選：B方法二：可以設與直線平行的拋物線的切線方程，聯(lián)立方程，利用判別式等于零，得到切線方程，再利用平行線的距離公式得解；方法三：在第一象限分析問題，轉(zhuǎn)

6、化為求函數(shù)的切線與直線平行，再利用平行線的距離公式得解.10如圖矩形，沿對折使得點與邊上的點重合，則的長度可以用含的式子表示，那么長度的最小值為（）A4B8CD【答案】D【分析】設，由三角比的定義可得，繼而求得，令和，求導可得的最大值為：，繼而求得長度的最小值.【詳解】設，則，則有和，代入，解得：，令和，導函數(shù)，即可得的最大值在時取得，此時，求得此時，故選：D.二、雙空題11已知雙曲線，則的右頂點的坐標為_；若雙曲線與雙曲線的漸近線相同，則雙曲線的離心率_.【答案】 【分析】由已知，根據(jù)題意給的雙曲線方程，即可直接求解右頂點坐標；共漸近線系的雙曲線，離心率相同，可根據(jù)雙曲線的離心率求解出雙曲線

7、的離心率.【詳解】解：由已知雙曲線，所以右頂點坐標為；共漸近線系的雙曲線，離心率相同，雙曲線的離心率就是雙曲線的離心率，所以.故答案為：；.12已知正方形的邊長為是的中點，點滿足，則_；_.【答案】 【詳解】解：以A為原點，為軸正方向建立平面直角坐標系，所以，設，所以，因為，所以，所以，又，所以.故答案為：；10.三、填空題13在的展開式中，常數(shù)項為_.（用數(shù)字作答）【答案】15【分析】利用二項展開式的通項公式計算可得.【詳解】解：，令，解得，所以常數(shù)項為故答案為：15.14已知函數(shù)，其中，若函數(shù)恒成立，則常數(shù)的一個取值為_.【答案】1；答案不唯一；只要常數(shù)的取值不等于即可【分析】由三角函數(shù)的

8、值域可知，當且僅當和同時取到時，等號成立；再根據(jù)正弦函數(shù)在（）取得最大值，聯(lián)立即可得到.【詳解】若函數(shù)，即存在使得和同時取到1，所以，即，所以，解得當時，；因為，所以，其中，則當（）時，.故答案為：1；答案不唯一；只要常數(shù)的取值不等于即可.15對于函數(shù)和，給出下列四個結(jié)論：設的定義域為，的定義域為，則是的真子集.函數(shù)的圖像在處的切線斜率為0.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，.函數(shù)的圖像關于點對稱.其中所有正確結(jié)論的序號是_.【答案】【分析】對于，分別求出函數(shù)和的定義域，即可判斷；對于，對函數(shù)求導得到，在處的切線斜率；對于，先對分離常數(shù)判斷其單調(diào)性，再利用復合函數(shù)的單調(diào)性可判斷函數(shù)的單調(diào)性；對于，驗證時，.

9、【詳解】對于，由題意得，函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域.所以是的真子集，則正確.對于，則在處的切線斜率，則錯誤.對于，的定義域是，而函數(shù)在區(qū)間，上都是單調(diào)遞減且值為正，又因為函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞增，因此復合后得到的在這兩個區(qū)間上也是單調(diào)遞減，則正確.只需驗證：當時，則正確.故答案為：.四、解答題16如圖，在平面四邊形中，的面積(1)求的長；(2)從條件條件條件這三個條件中任選兩個作為已知，判斷是否可能成立，并說明理由.條件：；條件：；條件：.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）由面積公式先求出的長，進而根據(jù)余弦定理求出的長.（2）由題設，可以隨意選擇兩個條件，去判斷與是否可能相等.但是優(yōu)

10、先選擇哪兩個條件思維邏輯最清晰解題過程最簡潔是同學們應該思考的.由第一問可知，是唯一確定的三角形，都是可求的，而要判斷與是否可能相等，可轉(zhuǎn)化為判斷它們的某一個三角函數(shù)值是否相等，因此首選條件和條件，此時中的三條邊長都知道，容易計算余弦值.如果看到條件，正好滿足，能夠想到四點共圓，那么圓周角相等則對應的弦長相等，因此選條件和條件也非常簡單.最麻煩的是選擇條件和條件，因為此時中知道的條件是邊邊角，不一定唯一確定，需要討論.【詳解】(1)因為，所以在中，由，得.由余弦定理，得，所以.(2)選擇條件：和條件：，在中由余弦定理可得，在中由余弦定理可得，因為，所以；選擇條件：和條件：，在中，由正弦定理可得

11、，在中，由正弦定理可得，所以，若，則，與矛盾，所以；選擇條件：和條件：，在中由余弦定理可得.在中，由余弦定理，可得，所以或.當時，在中，由余弦定理可得，因為，且，所以.當時，在中，由余弦定理可得，因為，所以.所以選擇條件和條件時，當時，成立；當時，.17如圖，在三棱柱中，為等邊三角形，四邊形是邊長為2的正方形，為中點，且.(1)求證：平面；(2)若點在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)勾股定理可得，再根據(jù)線面垂直的判定可得平面，進而根據(jù)正三角形與線面垂直的性質(zhì)與判定可得平面；（2）取中點為中點為，可得兩兩垂直，再建立空間直角

12、坐標系根據(jù)線面角與點面距離的方法求解即可【詳解】(1)證明：由題知，因為，所以，又，所以，又，所以平面，又平面，所以，在正三角形中，為中點，于是，又，所以平面(2)取中點為中點為，則，由（1）知平面，且平面，所以，又，所以，所以平面，于是兩兩垂直如圖，以為坐標原點，的方向為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系則所以設平面的法向量為，則，即令，則于是設，則由于直線與平面所成角的正弦值為于是，即，整理得，由于，所以于是設點到平面的距離為則所以點到平面的距離為18北京市某區(qū)針對高三年級的一次測試做調(diào)研分析，隨機抽取同時選考物理化學的學生330名，下表是物理化學成績等級和人數(shù)的數(shù)據(jù)分布情況：物理成績

13、等級化學成績等級人數(shù)（名）11053255701531210(1)從該區(qū)高三年級同時選考物理化學的學生中隨機抽取1人，已知該生的物理成績等級為，估計該生的化學成績等級為的概率；(2)從該區(qū)高三年級同時選考物理化學的學生中隨機抽取2人，以表示這2人中物理化學成績等級均為的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望（以上表中物理化學成績等級均為的頻率作為每名學生物理化學成績等級均為的概率）；(3)記抽取的330名學生在這次考試中數(shù)學成績（滿分150分）的方差為，排名前的成績方差為，排名后的成績方差為，則不可能同時大于和，這種判斷是否正確.（直接寫出結(jié)論）.【答案】(1)(2)分布列答案見解析，數(shù)學期望為(3)不正

14、確【分析】（1）由表可知，樣本中物理成績等級為的人數(shù)為，在該群體中化學成績等級為的人數(shù)為110，即可估計該生的化學成績等級為的概率；（2）從該區(qū)高三年級同時選考物理化學的學生隨機選取一名，物理化學成績等級均為的概率估計為，可知隨機變量的取值范圍，分別求出相應概率即可得到分布列及其數(shù)學期望；（3）假設排名前的成績均為分，排名后的成績均為分，即可判斷.【詳解】(1)設事件為“該生物理成績等級為的情況下，化學成績等級為”，樣本中物理成績等級為的人數(shù)為，在該群體中化學成績等級為的人數(shù)為110，所以頻率為，由樣本估計總體可得，故該生物理成績等級為，估計該生化學成績等級為的概率為.(2)從該區(qū)高三年級同時

15、選考物理化學的學生隨機選取一名，物理化學成績等級均為的概率估計為.由題意隨機變量的取值范圍是則的分布列：012(3)不正確；舉例：，排名前的成績均為分，方差為，排名后的成績均為分，方差為，顯然，所以，故同時大于和.【點睛】（1）概率統(tǒng)計問題關鍵在于審題，建議大家在考試過程中審題不少于兩遍，同時把重要信息標注出來，這樣不容易丟掉關鍵信息；（2）分布列問題類型判斷是關鍵，建議結(jié)合做過的典型問題放在一起對比感悟；（3）第三問這種問題是北京命題特色，圍繞一些概念深入考查，具有較高的區(qū)分度，建議把一些典型的第三問加以整理并思考命題的邏輯.19已知橢圓經(jīng)過點.(1)求橢圓的方程及其離心率；(2)若為橢圓上

16、第一象限的點，直線交軸于點，直線交軸于點，且有，求點的坐標.【答案】(1)，離心率為；(2)【分析】（1）由題意可得，繼而求出，即可得方程和離心率；（2）設，則，又由可得，繼而得到，聯(lián)立即可解得，的值.【詳解】(1)依題知：，所以.所以橢圓方程為，離心率.(2)如圖：設，第一象限有，；由得：，又，因此，聯(lián)立解得，故.20已知函數(shù).(1)當時，若曲線與直線相切于點，求點的坐標；(2)當時，證明：；(3)若對任意，不等式恒成立，請直接寫出的取值范圍.【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）求導后設，再根據(jù)切點的性質(zhì)列式求解即可；（2）求導分析函數(shù)的單調(diào)性與最小值即可；（3）方法一：數(shù)形結(jié)

17、合判斷，根據(jù)，分析函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象上方和與函數(shù)圖象恰好有一個公共點的臨界情況求解即可；方法二：將原不等式轉(zhuǎn)換為恒成立，再構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性得到，再求解的最小值即可【詳解】(1)當時，.設，則切線斜率.由切點性質(zhì)，得，解得.所以點的坐標.(2)當時，其中，則，令，其中，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，當變化時，變化情況如下表：10單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由上表可知，.所以.(3)實數(shù)的取值范圍.理由如下：方法一：（數(shù)形結(jié)合）在上恒成立，即.因而函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象上方.考慮函數(shù)圖象在函數(shù)圖象恰好有一個公共點的臨界情形（如圖所示），此時它們在交點處有一條公切線，設交點的橫坐標為. 又，由切點性

18、質(zhì)知，所以即，由得，所以即記，則，所以在上是增函數(shù).又因為，所以方程的解是.因此，當兩函數(shù)恰好有一個交點時，交點坐標是，此處公切線方程是.所以當函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象上方時，實數(shù)的取值范圍.方法二：（同構(gòu)變形）顯然，在上恒成立，即恒成立即恒成立，所以恒成立，構(gòu)造函數(shù)，易知在上是增函數(shù)，所以恒成立，即，令，當時，所以在上單調(diào)遞減，當時，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍.【點睛】本題主要考查了導數(shù)幾何意義的應用、根據(jù)導數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性與最值，進而證明不等式等，同時也考查了根據(jù)導數(shù)解決恒成立的問題.需要根據(jù)題意數(shù)形結(jié)合分析臨界條件，或構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，參變分離求得函數(shù)的最值即可.屬