1、第PAGE58頁（共NUMPAGES58頁）取整函數(shù)一命題的真假判斷與應(yīng)用（共6小題）1（2014秋安徽月考）設(shè)表示大于的最小整數(shù)，如，下列結(jié)論：；的最小值是0；的最大值是0；存在實(shí)數(shù)，使成立其中正確的個數(shù)為A0B1C2D32（2020秋徐匯區(qū)校級期末）把定義域?yàn)?，且同時滿足以下兩個條件的函數(shù)稱為“函數(shù)”：（1）對任意的，總有；（2）若，則有成立；下列判斷錯誤的是A若為“函數(shù)”，則B若為“函數(shù)”，則在，上一定是增函數(shù)C函數(shù)在，上是“函數(shù)”D函數(shù)在，上是“函數(shù)” 表示不大于的最大整數(shù)）3（2020秋懷化期中）定義表示大于的最小整數(shù)，例如，則下列命題中正確的是A函數(shù)的值域是，B若數(shù)列是等差數(shù)列，則

2、數(shù)列也是等差數(shù)列C若數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列也是等比數(shù)列D若，則方程有2018個根4（2020秋沙河口區(qū)校級期中）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，已知函數(shù)，其中表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，關(guān)于有下述四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論是A的一個周期是B是非奇非偶函數(shù)C在單調(diào)遞減D的最大值大于5（2015秋津市市校級月考）已知表示大于的最小整數(shù)，例如，下列命題中真命題為 （寫出所有真命題的序號）函數(shù)的值域是，；若為等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列；函數(shù)是周期函數(shù)；

3、若，則方程有3個根6（2020春房山區(qū)期末）設(shè)表示不大于的最大整數(shù)，則對任意實(shí)數(shù)，給出以下四個命題：；則假命題是（填上所有假命題的序號）二函數(shù)的值域（共5小題）7（2016秋石家莊期末）設(shè)，若規(guī)定表示不小于的最小整數(shù)，則函數(shù)的值域是A，B，C，D，0，8（2016秋西城區(qū)期末）函數(shù)的值域?yàn)?（其中表示不大于的最大整數(shù)，例如，9（2009秋溫州期末）設(shè)表示數(shù)的整數(shù)部分（即小于等于的最大整數(shù)），例如，那么函數(shù)的值域?yàn)?0（2017東城區(qū)三模）已知，表示不大于的最小整數(shù)，例如：，令，那么 ；的值域?yàn)?11（2014秋沙坪壩區(qū)校級月考）已知定義在上的函數(shù)，其中表示不小于的最小整數(shù)，如，（1）求的值，其

4、中為圓周率；（2）若在區(qū)間，上存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求函數(shù)的值域三函數(shù)解析式的求解及常用方法（共2小題）12（2020秋黃浦區(qū)校級期末）定義D（x），及x表示不大于x的最大整數(shù)，存在函數(shù)f（x）滿足，對任意的xR都有（）Af（x）D（x）Bf（x）x2+xCf（x2+1）|x+1|Df（x2+4x）|x+2|13（2015浙江模擬）對于任意實(shí)數(shù)，記表示不超過的最大整數(shù)，表示不小于的最小整數(shù)，若，是區(qū)間，中滿足方程的一切實(shí)數(shù)，則的值是 四函數(shù)的最值及其幾何意義（共1小題）14（2020浦東新區(qū)三模）已知為實(shí)數(shù)，用表示不超過的最大整數(shù)，例如，對于函數(shù)，若存在，使得，則稱函數(shù)是“函

5、數(shù)”（1）判斷函數(shù)，是否是“函數(shù)”；（2）設(shè)函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，其最小正周期是，若不是“函數(shù)”，求的最小值；（3）若函數(shù)是“函數(shù)”，求的取值范圍五函數(shù)的周期性（共1小題）15（2015秋海淀區(qū)期中）已知為實(shí)數(shù)，用表示不超過的最大整數(shù)，例如，對于函數(shù)，若存在且，使得，則稱函數(shù)是函數(shù)（）判斷函數(shù)，是否是函數(shù)；（只需寫出結(jié)論）（）已知，請寫出的一個值，使得為函數(shù)，并給出證明；（）設(shè)函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，其最小周期為若不是函數(shù)，求的最小值六函數(shù)的值（共1小題）16（2020秋松江區(qū)期末）數(shù)學(xué)上常用表示不大于的最大整數(shù)，若存在實(shí)數(shù)使得，同時成立，則正整數(shù)的最大值是七有理數(shù)指數(shù)冪及根式（共1小題

6、）17（2016鏡湖區(qū)校級自主招生）設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，如，化簡：（結(jié)果用表示，其中是大于0的整數(shù)）八對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)（共1小題）18（2014湖南校級模擬）若表示不大于的最大整數(shù)，則使得成立的正整數(shù)的最小值是九函數(shù)零點(diǎn)的判定定理（共1小題）19（2016上海二模）已知表示不小于的最小整數(shù)，例如（1）當(dāng)，時，求的取值的集合；（2）如函數(shù)有且僅有2個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，在區(qū)間，上的值域?yàn)?，集合中的元素個數(shù)為，求證：一十函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系（共4小題）20（2015浦東新區(qū)三模）用符號表示不小于的最小整數(shù)，如，則方程在上實(shí)數(shù)解的個數(shù)為A0B1C2D321（2020河南模擬）已知

7、函數(shù)，其中表示不大于的最大整數(shù)（如，則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)是A1B2C3D422（2020梅河口市校級模擬）記其中表示不大于的最大整數(shù)，若方程在，上有7個不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍A，B，C，D，23（2015秋松江區(qū)校級期中）對于實(shí)數(shù)，設(shè)表示不小于的最小整數(shù)，則不等式的解集是一十一函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用（共4小題）24（2016秋徐匯區(qū)校級月考）已知，定義：表示不小于的最小整數(shù)如，等若，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是25（2017秋嘉定區(qū)期末）已知，定義：表示不小于的最小整數(shù)，例如：，（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，若對于任意的、，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍26（2018

8、秋浦東新區(qū)校級期末）設(shè)，其中是不等于零的常數(shù)（1）寫出的定義域：（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間：（3）已知函數(shù)，定義：，其中，表示函數(shù)在上的最小值，表示函數(shù)在上的最大值例如：，則，當(dāng)時，設(shè)，不等式恒成立，求，的取值范圍27（2009秋瑞安市校級期中）已知，討論在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明；若方程至少有一個正數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）令，對中的，求函數(shù)的最小值（其中表示不超過的最大整數(shù)，例如：，一十二分段函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）28定義：函數(shù)為“下取整函數(shù)”，其中表示不大于的最大整數(shù)；函數(shù)為“上取整函數(shù)”，其中表示不小于的最小整數(shù)；例如根據(jù)定義可得：，（1）函數(shù)，；求和；（2）判斷（1）中函數(shù)的奇偶性；（3

9、）試用分段函數(shù)的形式表示函數(shù)：，一十三根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型（共1小題）29（2019秋湖北月考）“雙十一”期間，某電商店鋪的活動為：全場商品每滿60元返5元的優(yōu)惠券（例如：買130元的商品，可用兩張優(yōu)惠券，只需付（元，其中表示不大于的最大整數(shù)，此外，在店鋪優(yōu)惠后，電商平臺全場還提供每滿400元減40元的優(yōu)惠（例如：店鋪原價880元的一單，最終價格是（元，店鋪優(yōu)惠后不滿400元則不能享受全場每滿400元減40元的優(yōu)惠活動（1）小明打算在店鋪買一款250元的耳機(jī)和一款650元的音箱，是下兩單（即耳機(jī)、音箱分兩次購買）劃算？還是下一單（即耳機(jī)、音箱一起購買）劃算？（2）小明打算趁“雙十一”囤積某

10、生活日用品若干，預(yù)算不超過700元，該生活日用品在店鋪的售價為30元件，試計(jì)算購買多少件該生活日用品平均價格最低？最低平均價格是多少？一十四利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值（共1小題）30（2015梅州二模）已知函數(shù)的圖象在，上連續(xù)不斷，定義：，其中，表示函數(shù)在上的最小值，表示函數(shù)在上的最大值若存在最小正整數(shù)，使得對任意的，成立，則稱函數(shù)為，上的“階收縮函數(shù)”（1）若，試寫出，的表達(dá)式；（2）已知函數(shù)，試判斷是否為，上的“階收縮函數(shù)”，如果是，求出對應(yīng)的；如果不是，請說明理由；（3）已知，函數(shù)是，上的2階收縮函數(shù)，求的取值范圍一十五不等式恒成立的問題（共2小題）31（2020秋徐匯區(qū)期末）設(shè)表示不小于的

11、最小整數(shù)，例如：，（1）解方程：；（2）設(shè)，試分別求出在區(qū)間，、，以及，上的值域，若在區(qū)間，上的值域?yàn)?，求集合中的元素的個數(shù)；（3）設(shè)實(shí)數(shù)，若對于任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍32（2018春徐匯區(qū)校級月考）已知函數(shù)，定義：，其中，表示函數(shù)在上的最小值，表示函數(shù)在上的最大值設(shè)，其中是不等于零的常數(shù)（1）求函數(shù)的解析式，并寫出定義域；（2）寫出的單調(diào)區(qū)間（不必證明）；（3）當(dāng)時，設(shè)，不等式恒成立，求，的取值范圍一十六一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系（共1小題）33（2011秋仙游縣校級月考）（附加題）（1）設(shè)為實(shí)數(shù)，定義為不小于的最小整數(shù)，例如，關(guān)于實(shí)數(shù)的方程的全部實(shí)根之和等于（2）若表示不大于

12、的最大整數(shù)，方程的所有解為一十七數(shù)列的函數(shù)特性（共1小題）34（2020青浦區(qū)二模）定義函數(shù)，其中表示不小于的最小整數(shù)，如，當(dāng)，時，函數(shù)的值域?yàn)?，記集合中元素的個數(shù)為，則一十八數(shù)列的應(yīng)用（共3小題）35（2020閔行區(qū)校級模擬）對于數(shù)列，若對任意的恒成立，則稱數(shù)列、具有性質(zhì)設(shè)；（1）證明：數(shù)列、具有性質(zhì)的一個充分條件為：；（2）若，、滿足（1）的充分條件，求；（3）若、的每一項(xiàng)均為有理數(shù)，但每一項(xiàng)均為無理數(shù)，試給出數(shù)列、具有性質(zhì)的充要條件若在此條件下令，試探究數(shù)列的一些性質(zhì)（如單調(diào)性，極限，的最大項(xiàng)等）36（2020通州區(qū)一模）用表示一個小于或等于的最大整數(shù)如：，已知實(shí)數(shù)列，對于所有非負(fù)整數(shù)滿

13、足，其中是任意一個非零實(shí)數(shù)（）若，寫出，；（）若，求數(shù)列的最小值；（）證明：存在非負(fù)整數(shù)，使得當(dāng)時，37設(shè)數(shù)列，定義“優(yōu)數(shù)列”： ，2，其中表示不超過的最大整數(shù)（1）求，的值；（2）探究數(shù)列的單調(diào)性；（3）探究優(yōu)數(shù)列：，中等于0的項(xiàng)的個數(shù)；（4）設(shè)為優(yōu)數(shù)列的前項(xiàng)和，試求的值一十九數(shù)列的求和（共3小題）38對于任意的，表示不超過的最大整數(shù)，如，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則滿足的最小整數(shù)為A314B315C316D31739（2019秋浦東新區(qū)校級期中）已知數(shù)列滿足：，其中表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，設(shè)為實(shí)數(shù)，且對任意的正整數(shù)，都有（其中符號為連加號，如，則的最小值是40（2018江西模擬）定義函數(shù)，其

14、中表示不小于的最小整數(shù)，如，當(dāng)，時，函數(shù)的值域?yàn)?，記集合中元素的個數(shù)為，則 二十?dāng)?shù)列遞推式（共4小題）41（2019秋臨川區(qū)校級月考）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，用表示不超過的最大整數(shù)，設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則使成立的最小正整數(shù)是A5B6C7D842（2020秋羅湖區(qū)校級月考）已知數(shù)列滿足：，用表示不超過的最大整數(shù)，則的值等于A1B2C3D443（2019寧波二模）若表示不超過的最大整數(shù)，如，已知，則等于A2B5C7D844（2013春臺州期末）已知數(shù)列滿足：，用表示不超過的最大整數(shù)，則的值等于二十一數(shù)列與函數(shù)的綜合（共3小題）45（2020閔行區(qū)校級模擬）已知，表示小于等于的最大整數(shù)，表示大于等

15、于的最小整數(shù)，令，則中元素之和為46（2020秋寶山區(qū)期末）若定義在上的函數(shù)、滿足：存在，使得成立，則稱與在上具有性質(zhì)，設(shè)函數(shù)與，其中，已知與在上不具有性質(zhì)，將的最小值記為，設(shè)有窮數(shù)列滿足，這里表示不超過的最大整數(shù)，若去掉中的一項(xiàng)后，剩下的所有項(xiàng)之和恰可表示為，則47（2015浙江模擬）對于任意實(shí)數(shù)，記表示不超過的最大整數(shù)，表示不小于的最小整數(shù)，若，是區(qū)間，中滿足方程的一切實(shí)數(shù)，則的值是 二十二二項(xiàng)式定理（共1小題）48（2020春錫山區(qū)校級期中）設(shè)，為的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)），則的最小值為二十三三角函數(shù)的最值（共1小題）49（2020安丘市模擬）已知函數(shù)，其中表示不

16、超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，關(guān)于有下述四個結(jié)論正確的是A的一個周期是B是非奇非偶函數(shù)C在單調(diào)遞減D的最大值大于二十四對分法（共1小題）50程序設(shè)計(jì)中有一種折半查找檢索算法，其原理與對分法類似，也有所不同，如查找范圍，內(nèi)某一值，且，都是正整數(shù)，先取（式子表示不超過的最大整數(shù)）為試驗(yàn)點(diǎn)，比較與的大小，如果相等，則查找成功；如果，則查找范圍為，；若，則查找范圍為，按此下去，直至為止每比較一次稱為查找一次，設(shè)找到的查找總次數(shù)記為（c）（1）若查找范圍是，求（4），（3），（7）的值（2）設(shè)，你能得出的最大值與最小值嗎？取整函數(shù)1參考答案與試題解析一命題的真假判斷與應(yīng)用（共6小題）1（2014秋安徽月考）設(shè)表示

17、大于的最小整數(shù)，如，下列結(jié)論：；的最小值是0；的最大值是0；存在實(shí)數(shù)，使成立其中正確的個數(shù)為A0B1C2D3【解答】解：表示大于的最小整數(shù)，故錯誤；若為整數(shù)，則，若不是整數(shù)，則，故的最小值是0錯誤，故錯誤；若，則，故錯誤；當(dāng)時，成立故正確，故正確的個數(shù)為1，故選：2（2020秋徐匯區(qū)校級期末）把定義域?yàn)?，且同時滿足以下兩個條件的函數(shù)稱為“函數(shù)”：（1）對任意的，總有；（2）若，則有成立；下列判斷錯誤的是A若為“函數(shù)”，則B若為“函數(shù)”，則在，上一定是增函數(shù)C函數(shù)在，上是“函數(shù)”D函數(shù)在，上是“函數(shù)” 表示不大于的最大整數(shù)）【解答】解：對于，由定義知，再令，則有，于是，則對；對于，對任意，且，則

18、有，于是；則對；對于，由于在，上不是增函數(shù)，所以不是，“函數(shù)“，則錯；對于，下面證明是“函數(shù)“：（1）對任意的，總有；（2）若，設(shè)，則有成立；所以在，上是“函數(shù)”，則對；故選：3（2020秋懷化期中）定義表示大于的最小整數(shù)，例如，則下列命題中正確的是A函數(shù)的值域是，B若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列C若數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列也是等比數(shù)列D若，則方程有2018個根【解答】解：對于，當(dāng)為整數(shù)時，即，當(dāng)不為整數(shù)時，所以函數(shù)的值域是，故正確；對于，當(dāng)數(shù)列是整數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列；當(dāng)不是整數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列，則數(shù)列不是等差數(shù)列例如：數(shù)列，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，1.0，

19、1.1，那么數(shù)列，1，1，1，1，1，2，2顯然不是等差數(shù)列，故錯誤；對于，可取等比數(shù)列，2，4，8，16，則數(shù)列，3，5，9，17顯然不是等比數(shù)列，故錯誤；對，因?yàn)?，方程，所以可?.9，1.9，2.9，3.9，2017.9，總共有2018個根，故正確故選：4（2020秋沙河口區(qū)校級期中）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，已知函數(shù)，其中表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，關(guān)于有下述四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論是A的一個周期是B是非奇非偶函數(shù)C在單調(diào)遞減

20、D的最大值大于【解答】解：，的一個周期是，故正確；，是非奇非偶函數(shù)，故正確；當(dāng)時，故錯誤；，故正確故選：5（2015秋津市市校級月考）已知表示大于的最小整數(shù)，例如，下列命題中真命題為（寫出所有真命題的序號）函數(shù)的值域是，；若為等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列；函數(shù)是周期函數(shù)；若，則方程有3個根【解答】解：函數(shù)，因此的值域是，是真命題；若為等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列，是假命題，例如，則為1，1，2，2，2，3，不是等差數(shù)列；，因此函數(shù)是周期為1的周期函數(shù)，是真命題；若，則方程有3個根，如圖所示，是真命題綜上可得：真命題為故答案為：6（2020春房山區(qū)期末）設(shè)表示不大于的最大整數(shù)，則對任意實(shí)數(shù)，給出以下四個

21、命題：；則假命題是（填上所有假命題的序號）【解答】解：令，則，故為假命題；令，則，故為假命題；令，則，故為假命題；設(shè)的整數(shù)部分為，當(dāng)小數(shù)部分在，時，有，滿足；當(dāng)小數(shù)部分在，時，有，滿足，故答案為：二函數(shù)的值域（共5小題）7（2016秋石家莊期末）設(shè)，若規(guī)定表示不小于的最小整數(shù)，則函數(shù)的值域是A，B，C，D，0，【解答】解：，規(guī)定表示不小于的最小整數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)?，故選：8（2016秋西城區(qū)期末）函數(shù)的值域?yàn)?，（其中表示不大于的最大整?shù)，例如，【解答】解：設(shè)表示整數(shù)當(dāng)時，此時恒有當(dāng)時，此時恒有當(dāng)時， ，此時恒有當(dāng)時， 此時，此時恒有綜上可知，故答案為，9（2009秋溫州期末）設(shè)表示數(shù)的整數(shù)部分（

22、即小于等于的最大整數(shù)），例如，那么函數(shù)的值域?yàn)?，【解答】解：設(shè)表示整數(shù)當(dāng)時，此時恒有當(dāng)時，此時恒有當(dāng)時，此時恒有當(dāng)時，此時，此時恒有綜上可知，故答案為，10（2017東城區(qū)三模）已知，表示不大于的最小整數(shù)，例如：，令，那么0.5；的值域?yàn)?【解答】解：由，那么符號表示不超過的最大整數(shù)，如：，定義函數(shù)，即，當(dāng)為整數(shù)時，當(dāng)不為整數(shù)時，故答案為：0.5；，11（2014秋沙坪壩區(qū)校級月考）已知定義在上的函數(shù)，其中表示不小于的最小整數(shù)，如，（1）求的值，其中為圓周率；（2）若在區(qū)間，上存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求函數(shù)的值域【解答】解：（1），（2），則求導(dǎo)得，當(dāng)時，顯然有，則在區(qū)間，上遞

23、增，即可得在區(qū)間，上的值域?yàn)椋趨^(qū)間，上存在，使得成立，則（3）恒成立，且，不妨設(shè)易知，下面討論的情況當(dāng)，時，則，當(dāng)，時，設(shè)，所以在，上是增函數(shù)，故當(dāng)時，因此的值域?yàn)橛?，?dāng)時，即當(dāng)時，即而，所以故的值域?yàn)槿瘮?shù)解析式的求解及常用方法（共2小題）12（2020秋黃浦區(qū)校級期末）定義D（x），及x表示不大于x的最大整數(shù)，存在函數(shù)f（x）滿足，對任意的xR都有（）Af（x）D（x）Bf（x）x2+xCf（x2+1）|x+1|Df（x2+4x）|x+2|【解答】解：A當(dāng)x1時，f（1）f（1）D（1）1，當(dāng)x時，f（）f（1）D（）0，則與f（1）1矛盾，故A錯誤；B當(dāng)x1時，f（1）f（1）1+12

24、，當(dāng)x時，f（）f（1）（）2+2+，則與f（1）2矛盾，故B錯誤；C當(dāng)x1時，f（2）2，當(dāng)x1時，f（2）0，則與f（2）2，矛盾，故C錯誤；D設(shè)t|x+2|，則由f（x2+4x）|x+2|得f（x+2）24|x+2|，即f（t24）t，f（x），故D正確故選：D13（2015浙江模擬）對于任意實(shí)數(shù)，記表示不超過的最大整數(shù)，表示不小于的最小整數(shù)，若，是區(qū)間，中滿足方程的一切實(shí)數(shù)，則的值是【解答】解：顯然，不可能是整數(shù)，否則由于，方程，不可能成立設(shè)，則，代入得，解得考慮到，且，所以，2，3，4，5，故符合條件的解有5個，即，則，故答案為：四函數(shù)的最值及其幾何意義（共1小題）14（2020浦東

25、新區(qū)三模）已知為實(shí)數(shù)，用表示不超過的最大整數(shù)，例如，對于函數(shù)，若存在，使得，則稱函數(shù)是“函數(shù)”（1）判斷函數(shù)，是否是“函數(shù)”；（2）設(shè)函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，其最小正周期是，若不是“函數(shù)”，求的最小值；（3）若函數(shù)是“函數(shù)”，求的取值范圍【解答】解：（1）由，解得：或，令，則，是函數(shù)，對于而言，故不是函數(shù)；（4分）（2）的最小值為1（11分）因?yàn)槭且詾樽钚≌芷诘闹芷诤瘮?shù)，所以假設(shè)，則，所以，矛盾（6）所以必有，而函數(shù)的周期為1，且顯然不是函數(shù)，綜上，的最小值為1（9分）（3）當(dāng)函數(shù)是函數(shù)時，若，則顯然不是函數(shù)，矛盾（10分）若，則，所以在，上單調(diào)遞增，此時不存在，使得，同理不存在，使得，又

26、注意到，即不會出現(xiàn)的情形，所以此時不是函數(shù)（11分）當(dāng)時，設(shè)，所以，所以有，其中，當(dāng)時，因?yàn)?，所以，所以，?2分）當(dāng)時，因?yàn)?，所以，所以，?3分）記，綜上，我們可以得到“且，且（14分）五函數(shù)的周期性（共1小題）15（2015秋海淀區(qū)期中）已知為實(shí)數(shù)，用表示不超過的最大整數(shù)，例如，對于函數(shù)，若存在且，使得，則稱函數(shù)是函數(shù)（）判斷函數(shù)，是否是函數(shù)；（只需寫出結(jié)論）（）已知，請寫出的一個值，使得為函數(shù)，并給出證明；（）設(shè)函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，其最小周期為若不是函數(shù)，求的最小值【解答】解：（）是函數(shù)，不是函數(shù)；（4分）（）法一：取，（5分）則令，（7分）此時（1）所以是函數(shù)（9分）法二：取，

27、（5分）則令，（7分）此時，所以是函數(shù)（9分）（說明：這里實(shí)際上有兩種方案：方案一：設(shè)，取，令，則一定有，且，所以是函數(shù)方案二：設(shè)，取，令，則一定有，且，所以是函數(shù)（）的最小值為1（11分）因?yàn)槭且詾樽钚≌芷诘闹芷诤瘮?shù)，所以假設(shè)，則，所以，矛盾（13分）所以必有，而函數(shù)的周期為1，且顯然不是函數(shù)，綜上，的最小值為1（14分）六函數(shù)的值（共1小題）16（2020秋松江區(qū)期末）數(shù)學(xué)上常用表示不大于的最大整數(shù)，若存在實(shí)數(shù)使得，同時成立，則正整數(shù)的最大值是4【解答】解：若，則，若，則，（因?yàn)轭}目需要同時成立，則負(fù)區(qū)間舍去），若，則，若，則，若，則，其中，綜上，當(dāng)時，可以找到，使其在區(qū)間，上，但當(dāng)時，

28、無法找到，使其在區(qū)間，上，正整數(shù)的最大值為4故答案為：4七有理數(shù)指數(shù)冪及根式（共1小題）17（2016鏡湖區(qū)校級自主招生）設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，如，化簡：（結(jié)果用表示，其中是大于0的整數(shù)）【解答】解：由題意，表示不超過的最大整數(shù)，設(shè)為正整數(shù)，則，于是，原式八對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)（共1小題）18（2014湖南校級模擬）若表示不大于的最大整數(shù)，則使得成立的正整數(shù)的最小值是314【解答】解：，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，由正整數(shù)的最小值是314故答案為314九函數(shù)零點(diǎn)的判定定理（共1小題）19（2016上海二模）已知表示不小于的最小整數(shù)，例如（1）當(dāng)，時，求的取值的集合；（2）如函數(shù)有且僅有2個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值

29、范圍；（3）設(shè)，在區(qū)間，上的值域?yàn)?，集合中的元素個數(shù)為，求證：【解答】解：（1）當(dāng)，時，的取值的集合為，1，2，（2）當(dāng)，時，；當(dāng)，時，；當(dāng)，時，；，當(dāng)，時，；函數(shù)有且僅有2個零點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍是（3）證明：當(dāng)，時，的取值范圍是，進(jìn)而在，上的函數(shù)值的個數(shù)為個由于區(qū)間，與，沒有共同的元素，中元素的個數(shù)為，可得，一十函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系（共4小題）20（2015浦東新區(qū)三模）用符號表示不小于的最小整數(shù)，如，則方程在上實(shí)數(shù)解的個數(shù)為A0B1C2D3【解答】解：若，則，由得，即，若，則，由得，即，若，則，由得，即，故方程在上實(shí)數(shù)解的個數(shù)為3個，故選：21（2020河南模擬）已知函數(shù)，其中表示不大

30、于的最大整數(shù)（如，則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)是A1B2C3D4【解答】解：設(shè)，易知其為偶函數(shù)，如圖：當(dāng)時，兩函數(shù)有一個交點(diǎn)，即1個零點(diǎn)；當(dāng)時，作出圖象（圖略），兩函數(shù)有一個交點(diǎn)，即一個零點(diǎn)；當(dāng)時，兩函數(shù)有一個交點(diǎn)，即一個零點(diǎn)；當(dāng)時，此時兩函數(shù)有一個交點(diǎn)，即一個零點(diǎn)，當(dāng)時，此時兩函數(shù)已無交點(diǎn)，且當(dāng)時，圖象始終在圖象上方，故此時無交點(diǎn)；綜上共4個零點(diǎn)故選：22（2020梅河口市校級模擬）記其中表示不大于的最大整數(shù)，若方程在，上有7個不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍A，B，C，D，【解答】解：作出函數(shù)，的圖象如圖所示，由圖可知方程在，上有3個不同的實(shí)數(shù)根，則在，上有4個不同的實(shí)數(shù)根，當(dāng)直線經(jīng)過時，；當(dāng)直線經(jīng)過時

31、，可知當(dāng)時，直線與的圖象在，上有4個焦點(diǎn)，即方程，在，上有4個不同的實(shí)數(shù)根，故選：23（2015秋松江區(qū)校級期中）對于實(shí)數(shù)，設(shè)表示不小于的最小整數(shù)，則不等式的解集是，【解答】解：，即為，表示不小于的最小整數(shù)，故不等式的解集是，故答案為：，一十一函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用（共4小題）24（2016秋徐匯區(qū)校級月考）已知，定義：表示不小于的最小整數(shù)如，等若，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是，【解答】解：，當(dāng)時，不符合題意；當(dāng)時，不符合題意；當(dāng)時，解得故答案為：，25（2017秋嘉定區(qū)期末）已知，定義：表示不小于的最小整數(shù)，例如：，（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，若對于任意的、，

32、都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解答】解：（1）表示不小于的最小整數(shù)，可得的的范圍是，；（2）若，可得，又，則，即有，即，時，；時，顯然不成立；由，可得，則，解得；（3）在遞增，在，遞減，可得的最小值為（4）；最大值為，則，由題意可得在，恒成立，即有在，恒成立，當(dāng)，時，恒成立，可得的最大值為，即有；當(dāng)，時，恒成立，可得的最大值為，即有，綜上可得，的范圍是26（2018秋浦東新區(qū)校級期末）設(shè)，其中是不等于零的常數(shù)（1）寫出的定義域：（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間：（3）已知函數(shù)，定義：，其中，表示函數(shù)在上的最小值，表示函數(shù)在上的最大值例如：，則，當(dāng)時，設(shè)，不等式恒成立，求，的取值范圍【解答】解：（1），所以的定

33、義域?yàn)?；?）時，在遞增；時，在遞增；時，在遞增；時，在遞減，無單調(diào)增區(qū)間（3）的定義域?yàn)?，時，；時，所以當(dāng)，時，在，單調(diào)遞減，所以，令，則在區(qū)間，上的最小值為，最大值為0當(dāng)，時，在，單調(diào)遞增，并且（1）當(dāng)，時，所以當(dāng)，時，所以，在，上單調(diào)遞減所以的最大值為（1），最小值為綜上的最大值為0，最小值為，27（2009秋瑞安市校級期中）已知，討論在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明；若方程至少有一個正數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）令，對中的，求函數(shù)的最小值（其中表示不超過的最大整數(shù)，例如：，【解答】解：（）因?yàn)?，所以，?dāng)時，在區(qū)間上為增函數(shù)，當(dāng)時，在區(qū)間上為減函數(shù)（1分）任取，且，則，因?yàn)?，且，所以，且，?dāng)時，

34、有，在區(qū)間上為增函數(shù)；當(dāng)時，有，在區(qū)間上為減函數(shù)（4分）（），整理得：，（5分），令當(dāng)時，符合題設(shè)；當(dāng)時，必有，且，所以也符合題設(shè)；當(dāng)時，因?yàn)?，所以，方程的兩根必須都是正根，有：，解得：，綜上所述，且（7分）（）因?yàn)?，所以，?若，則，；若，則，取等號當(dāng)且僅當(dāng)這是不可能的，所以，所以當(dāng)時，取最小值1一十二分段函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）28定義：函數(shù)為“下取整函數(shù)”，其中表示不大于的最大整數(shù)；函數(shù)為“上取整函數(shù)”，其中表示不小于的最小整數(shù)；例如根據(jù)定義可得：，（1）函數(shù)，；求和；（2）判斷（1）中函數(shù)的奇偶性；（3）試用分段函數(shù)的形式表示函數(shù)：，【解答】解：（1）函數(shù)，；，則，則，則，則；（2）且，

35、則（1）中函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；（3）當(dāng)時，此時，當(dāng)時，此時，當(dāng)時，此時，當(dāng)時，此時，當(dāng)時，此時，則一十三根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型（共1小題）29（2019秋湖北月考）“雙十一”期間，某電商店鋪的活動為：全場商品每滿60元返5元的優(yōu)惠券（例如：買130元的商品，可用兩張優(yōu)惠券，只需付（元，其中表示不大于的最大整數(shù)，此外，在店鋪優(yōu)惠后，電商平臺全場還提供每滿400元減40元的優(yōu)惠（例如：店鋪原價880元的一單，最終價格是（元，店鋪優(yōu)惠后不滿400元則不能享受全場每滿400元減40元的優(yōu)惠活動（1）小明打算在店鋪買一款250元的耳機(jī)和一款650元的音箱，是下兩單（即耳機(jī)、音箱分兩次購買）劃算？還是下

36、一單（即耳機(jī)、音箱一起購買）劃算？（2）小明打算趁“雙十一”囤積某生活日用品若干，預(yù)算不超過700元，該生活日用品在店鋪的售價為30元件，試計(jì)算購買多少件該生活日用品平均價格最低？最低平均價格是多少？【解答】解：（1）若下兩單，耳機(jī)優(yōu)惠后實(shí)際付款為（元，音響優(yōu)惠后實(shí)際付款為（元，耳機(jī)和音響優(yōu)惠后一共實(shí)際付款（元；若下一單，耳機(jī)和音響優(yōu)惠后一共實(shí)際付款（元下一單劃算（2）假設(shè)購買件，平均價格為元件，由于不能超過700元預(yù)算，最多只能購買26件，且當(dāng)時不能享受滿400元減40元的優(yōu)惠，當(dāng)時能享受一次每滿400元減40元的優(yōu)惠，當(dāng)時不能享受每滿400元減40元的優(yōu)惠，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)時購買偶數(shù)件

37、該生活日用品的平均價格最低，最低平均價格為27.5元件，當(dāng)時能享受一次每滿400元減40元的優(yōu)惠，則，當(dāng)時，當(dāng)，時，；當(dāng)時，當(dāng)，時，綜上，購買15件或16件該生活日用品的平均價格最低，最低平均價格為25元件一十四利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值（共1小題）30（2015梅州二模）已知函數(shù)的圖象在，上連續(xù)不斷，定義：，其中，表示函數(shù)在上的最小值，表示函數(shù)在上的最大值若存在最小正整數(shù)，使得對任意的，成立，則稱函數(shù)為，上的“階收縮函數(shù)”（1）若，試寫出，的表達(dá)式；（2）已知函數(shù)，試判斷是否為，上的“階收縮函數(shù)”，如果是，求出對應(yīng)的；如果不是，請說明理由；（3）已知，函數(shù)是，上的2階收縮函數(shù)，求的取值范圍【解答

38、】解：（）由題意可得：，（），當(dāng)，時，；當(dāng)時，；當(dāng)，時，綜上所述，即存在，使得是，上的4階收縮函數(shù)（），令得或函數(shù)的變化情況如下：令，解得或3（）時，在，上單調(diào)遞增，因此，因?yàn)槭?，上?階收縮函數(shù)，所以，對，恒成立；存在，使得成立即：對，恒成立，由，解得：或，要使對，恒成立，需且只需即：存在，使得成立由得：或，所以，需且只需綜合可得：（）當(dāng)時，顯然有，由于在，上單調(diào)遞增，根據(jù)定義可得：，可得，此時，不成立綜合可得：注：在中只要取區(qū)間內(nèi)的一個數(shù)來構(gòu)造反例均可，這里用只是因?yàn)楹唵味岩皇宀坏仁胶愠闪⒌膯栴}（共2小題）31（2020秋徐匯區(qū)期末）設(shè)表示不小于的最小整數(shù)，例如：，（1）解方程：；（2

39、）設(shè)，試分別求出在區(qū)間，、，以及，上的值域，若在區(qū)間，上的值域?yàn)?，求集合中的元素的個數(shù)；（3）設(shè)實(shí)數(shù)，若對于任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解答】解：（1）由題意可得，解得，（2）當(dāng)，時，值域?yàn)?，?dāng)，時，當(dāng)，時，；當(dāng)，時，；值域?yàn)?，；?dāng)，時，當(dāng)，時，；當(dāng)，時，；當(dāng)，時，；值域?yàn)椋?，；可知當(dāng)，時，這一區(qū)間上，值域中共有元素個所以在區(qū)間，上的值域的元素有個（3）依題意可知當(dāng)，時，有，令，時，且，所以所以在，時恒成立，因?yàn)?，所以在，時恒成立，令，當(dāng)，時，二次函數(shù)對稱軸為，所以（3）；當(dāng)，時，二次函數(shù)對稱軸為，所以函數(shù)此時在，上單調(diào)遞減，所以（3），所以（3），所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是32（2018春

40、徐匯區(qū)校級月考）已知函數(shù)，定義：，其中，表示函數(shù)在上的最小值，表示函數(shù)在上的最大值設(shè)，其中是不等于零的常數(shù)（1）求函數(shù)的解析式，并寫出定義域；（2）寫出的單調(diào)區(qū)間（不必證明）；（3）當(dāng)時，設(shè)，不等式恒成立，求，的取值范圍【解答】解：（1），；（2）時，在單調(diào)遞增；時，在單調(diào)遞增；時，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（3）時，；時，；時，；時，；，；則；，的取值范圍是，一十六一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系（共1小題）33（2011秋仙游縣校級月考）（附加題）（1）設(shè)為實(shí)數(shù)，定義為不小于的最小整數(shù)，例如，關(guān)于實(shí)數(shù)的方程的全部實(shí)根之和等于（2）若表示不大于的最大整數(shù)，方程的所有解為【解答】解：（1

41、）設(shè)，則，于是原方程等價于，即，從而，即或相應(yīng)的為于是所有實(shí)根之和為（2），；，與矛盾；，與矛盾；，與矛盾；，；，；，綜上知，方程的所有解為，故答案為：（1）；（2），一十七數(shù)列的函數(shù)特性（共1小題）34（2020青浦區(qū)二模）定義函數(shù)，其中表示不小于的最小整數(shù)，如，當(dāng)，時，函數(shù)的值域?yàn)椋浖现性氐膫€數(shù)為，則【解答】解：由題意得：當(dāng)，時，所以所在的區(qū)間為，區(qū)間長度為，取到的整數(shù)為，共個，所以，當(dāng)，時，有1個；當(dāng)，時，有2個；當(dāng)，時，有3個；，當(dāng)，時，有個所以，時，共有個數(shù)故故答案為：一十八數(shù)列的應(yīng)用（共3小題）35（2020閔行區(qū)校級模擬）對于數(shù)列，若對任意的恒成立，則稱數(shù)列、具有性質(zhì)設(shè)；（

42、1）證明：數(shù)列、具有性質(zhì)的一個充分條件為：；（2）若，、滿足（1）的充分條件，求；（3）若、的每一項(xiàng)均為有理數(shù)，但每一項(xiàng)均為無理數(shù)，試給出數(shù)列、具有性質(zhì)的充要條件若在此條件下令，試探究數(shù)列的一些性質(zhì)（如單調(diào)性，極限，的最大項(xiàng)等）【解答】證明：（1），所以，因此，數(shù)列、具有性質(zhì) 的一個充分條件為：解：（2），且，可得，所以，所以：，因此：（3），、為有理數(shù)列，為無理數(shù)列，所以，當(dāng) 時，則，則，令，由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù) 在區(qū)間， 上單調(diào)遞增，所以，數(shù)列 單調(diào)遞減，數(shù)列的最大項(xiàng)為36（2020通州區(qū)一模）用表示一個小于或等于的最大整數(shù)如：，已知實(shí)數(shù)列，對于所有非負(fù)整數(shù)滿足，其中是任意一個非零

43、實(shí)數(shù)（）若，寫出，；（）若，求數(shù)列的最小值；（）證明：存在非負(fù)整數(shù)，使得當(dāng)時，【解答】解：（），同理可得：、（3分）（）因，則，所以，設(shè)，則，所以，又因，則，則，（4分）假設(shè)，都有成立，則，則，即，（5分）則，則當(dāng)時，這與假設(shè)矛盾，所以，不成立，（6分）即存在，從而的最小值為0（7分）（）證明：當(dāng)時，由（2）知，存在，所以，所以，所以，成立（8分）當(dāng)時，若存在，則，得證；（9分）若，則，則，則，所以數(shù)列單調(diào)不減由于是負(fù)整數(shù)，所以存在整數(shù)和負(fù)整數(shù)，使得當(dāng)時，所以，當(dāng)時，則，令，即，當(dāng)時，則，則，得證（11分）當(dāng)時，因當(dāng)時，則，則有界，所以，所以負(fù)整數(shù)（12分），則（13分）令，滿足當(dāng)時，綜上，存

44、在非負(fù)整數(shù)，使得當(dāng)時，（14分）37設(shè)數(shù)列，定義“優(yōu)數(shù)列”： ，2，其中表示不超過的最大整數(shù)（1）求，的值；（2）探究數(shù)列的單調(diào)性；（3）探究優(yōu)數(shù)列：，中等于0的項(xiàng)的個數(shù)；（4）設(shè)為優(yōu)數(shù)列的前項(xiàng)和，試求的值【解答】解：（1），；（2），數(shù)列單調(diào)遞增；（3），令，得，、8、12、等4的倍數(shù)，余3，中等于0的項(xiàng)的個數(shù)是503項(xiàng)；（4）由，可得出現(xiàn)0當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，一十九數(shù)列的求和（共3小題）38對于任意的，表示不超過的最大整數(shù)，如，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則滿足的最小整數(shù)為A314B315C316D317【解答】解：由題意，當(dāng)、2時，可得項(xiàng)）當(dāng)時，即項(xiàng)）當(dāng)時，即項(xiàng)）當(dāng)時，即項(xiàng)）當(dāng)時，即項(xiàng)）當(dāng)時

45、，即，項(xiàng)）前項(xiàng)和為由可得：化簡可得由，即，解得，由，對應(yīng)的項(xiàng)為第項(xiàng)，即滿足的最小整數(shù)為315故選：39（2019秋浦東新區(qū)校級期中）已知數(shù)列滿足：，其中表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，設(shè)為實(shí)數(shù)，且對任意的正整數(shù)，都有（其中符號為連加號，如，則的最小值是【解答】解：由題意知：，且，則有，即，則有，的最小值為故答案為：40（2018江西模擬）定義函數(shù)，其中表示不小于的最小整數(shù)，如，當(dāng)，時，函數(shù)的值域?yàn)椋浖现性氐膫€數(shù)為，則【解答】解：由題意知：當(dāng)時，由于，所以：，所以則：，當(dāng)時，由于，所以：，所以：，則：，3，當(dāng)時，由于，所以：，所以：，3，4，7，8，當(dāng)時，由于，所以：，所以：，3，4，7，8，9，13，14，15，16，以此類推：，利用疊加法，得到：所以：，則：故答案為：二十?dāng)?shù)列遞推式（共4小題）41（2019秋臨川區(qū)校級月考）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，用表示不超過的最大整數(shù)，設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則使成立的最小正整數(shù)是A5B6C7D8【解答】解：由題意，當(dāng)時，即聯(lián)立，解得當(dāng)時，兩式相減，可得，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，又根據(jù)數(shù)列的特點(diǎn)，很明顯則有又是一個整數(shù)，也是一個整數(shù)，要使，即時求的最小值整理上式，可得，當(dāng)時，當(dāng)時，使成立的最小正整數(shù)是6故選：42（2020秋羅湖區(qū)校級月考）已知數(shù)列滿足：，用表示不超過的最大整數(shù)，則的值等于A1B2C3D4【解答】解：