1、魯教版五四制數(shù)學九年級第上冊 綜合與實踐內(nèi)容分析及教學設(shè)計 “綜合與實踐”是初中數(shù)學課程的重要組成部分，是積累數(shù)學活動經(jīng)驗、培養(yǎng)學生應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識的重要和有效的載體。 新數(shù)學課程標準將每個學段的學習內(nèi)容分成四個領(lǐng)域數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐。我們的新魯教版課本則明確的在章末安排了綜合與實踐的課題。 “綜合與實踐”活動，限于教學時間、教學任務(wù)、教學組織和場地器械等因素，無法大量的開展課外的“綜合與實踐”活動。 因此我們可以將這種教學形式運作到日常教學活動中，進行課內(nèi)的模擬“綜合與實踐”。我們教材中的課題就是開展這些活動的良好范例。九年級上冊 目錄第一章 反比例函數(shù)綜合與實踐

2、：能將矩形的周長和面積同時加倍嗎第二章 直角三角形的邊角關(guān)系綜合與實踐：設(shè)計遮陽篷第三章 二次函數(shù) 綜合與實踐：拱橋形狀設(shè)計第四章 投影與 視圖綜合與實踐： 能將矩形的周長和面積同時加倍嗎？ 內(nèi)容分析： 本課題的基本內(nèi)容是：是否存在一個矩形，其周長與面積分別是已知矩形的周長與面積的相同倍數(shù)。 教材從學生熟悉的簡單圖形出發(fā)，引導他們逐步思考一個個問題，不斷經(jīng)歷判斷、選擇、以及綜合應(yīng)用二次方程、方程組、不等式、函數(shù)等知識的過程。 通過“做一做”積累經(jīng)驗，通過“想一想”誘導發(fā)現(xiàn)，通過“議一議”中的問題拓展與提升，在“讀一讀”中引出不同思路。教學建議：活動1.探究正方形“倍增”問題活動2.探究矩形“倍

3、增”問題活動3.探究矩形“減半”問題 第一課時 第二課時 教學中注意引導學生分類研究，經(jīng)歷特殊到一般的過程，發(fā)現(xiàn)一般性結(jié)論，并尋求解決方法。 對于每個探究活動都可按照“猜想-驗證-發(fā)現(xiàn)規(guī)律-證明-拓廣”的方式展開探究活動，使學生體驗“數(shù)學化”的過程。教學過程：問題：任意給定一個正方形,是否存在另一個正方形,它的周長和面積分別是已知正方形周長和面積的2倍?探究活動1: 正方形的“倍增”問題學生獨立思考，小組交流，代表展示學生展示不同方法：1.（特殊值法）設(shè)已知正方形的邊長為1，其面積為1.若周長倍增，即邊長變?yōu)?，則面積應(yīng)為4.若面積變?yōu)?，則其邊長應(yīng)為2.不存在2.（畫圖法）對于給定正方形，固

4、定所求正方形周長為已知正方形的2倍，看看其面積能否變?yōu)橐阎叫蔚?倍。不存在探究活動1: 正方形的“倍增”問題2.（畫圖法）對于給定正方形，固定所求正方形周長為已知正方形的2倍，看看其面積能否變?yōu)橐阎叫蔚?倍。探究活動1: 正方形的“倍增”問題 從簡單圖形出發(fā)，自然經(jīng)歷將問題特殊化的過程與方法為后續(xù)研究矩形的問題做鋪墊。1.（特殊值法）設(shè)邊長為1的正方形，其面積為1.若周長倍增，即邊長變?yōu)?，則面積應(yīng)為4.若面積變?yōu)?，則其邊長應(yīng)為2.探究活動1: 正方形的“倍增”問題猜想：對一個正方形，不存在另一個正方形，它的周長和面積分別是已知正方形周長和面積的兩倍。這個猜想對任意正方形一定成立嗎？

5、設(shè)計說明: 讓學生意識到，通過幾個特例得來的猜想不一定適用于所有正方形，必須通過證明才能確認。解:設(shè)給定的正方形邊長為a,則其面積是a2.若周長倍增,即邊長變?yōu)?a,則面積應(yīng)為4a2; 若面積倍增,即面積變?yōu)?a2,則其邊長應(yīng)為 a.結(jié)論： 不存在這樣的正方形.aa22a4a22a2a探究活動1: 正方形的“倍增”問題探究問題證明：教師引導學生用字母表示邊長，得到一般性的結(jié)論。aa22a4a22a2a探究活動1: 正方形的“倍增”問題探究問題證明：思維深化： 由于所有正方形都是相似圖形，若周長變?yōu)?倍，則面積必然變?yōu)?倍。反之若面積邊為2倍，則周長必然變?yōu)?倍.結(jié)論： 不存在這樣的正方形.aa

6、22a4a22a2a探究活動1: 正方形的“倍增”問題探究問題證明：說明：對于正方形的探究雖然簡單，但這里要讓學生完整經(jīng)歷從“猜想-驗證-證明”的過程。為后面對矩形的探究提供一定的示范。探究活動1: 正方形的“倍增”問題其它圖形是否也有這樣的性質(zhì)？拓展： 是否存在另一個正三角形，它的周長和面積分別是已知正三角形周長和面積的2倍。圓、等邊三角形、正多邊形。歸納特點： 周長或面積加倍的圖形都彼此相似探究活動2: 矩形的“倍增”問題任意給定一個矩形，是否存在另一個矩形，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的2倍？類比活動1的方法，思考探究的一般步驟？先通過特例得到猜想，然后通過字母表示證明一般性的

7、結(jié)論，最后進行拓廣.矩形的形狀太多了我們可以先研究一個具體的矩形,比如長和寬分別為2和1,怎么樣?探究活動2: 矩形的“倍增”問題解:如果矩形的長和寬分別為2和1,那么其周長和面積分別為6和2.212412所求矩形的周長和面積應(yīng)分別為12和4.分組合作探究，然后交流展示(1)從周長是12出發(fā),看面積是否是4;如果設(shè)所求矩形的長為x,那么它寬為6-x,其面積為x(6-x).根據(jù)題意,得 x(6-x)=4.即 x2-6x+4=0.如果這個方程有解,則說明這樣的矩形存在.解這個方程得:結(jié)論:存在這樣的矩形探究活動2: 矩形的“倍增”問題(2)從面積是4出發(fā),看周長是否是12.解:如果設(shè)所求矩形的長為

8、x,那么寬為4/x,其周長為x+4/x).根據(jù)題意,得 x+4/x=6.即 x2-6x+4=0.顯然這個方程有解,由此說明這樣的矩形存在.解這個方程得:探究活動2: 矩形的“倍增”問題結(jié)論:存在這樣的矩形探究活動2: 矩形的“倍增”問題（3）已知矩形的長為2，寬為1，則周長為6，面積為2，加倍后的矩形周長為12，面積為4.設(shè)加倍后的矩形長為x，寬為y，則： 結(jié)論:存在這樣的矩形探究活動2: 矩形的“倍增”問題Oxy246642圖1歸納： 最終都要轉(zhuǎn)化成一元二次方程求解 （4）對于長和寬分別為2和1的矩形，我們已經(jīng)得到了結(jié)論，但是否對所有矩形都成立呢？由特殊到一般探究活動2: 矩形的“倍增”問題

9、如果已知矩形的長和寬分別為3和1,是否還有相同的結(jié)論?如果已知矩形的長和寬分別為4和1,5和1,n和1呢?更一般地,當已知矩形的長和寬分別為m和n時,是否仍然有相同的結(jié)論?由特殊到一般如果已知矩形的長和寬分別為3和1,是否還有相同的結(jié)論?如果已知矩形的長和寬分別為4和1,5和1,n和1呢?更一般地,當已知矩形的長和寬分別為m和n時,是否仍然有相同的結(jié)論?探究活動2: 矩形的“倍增”問題說明：在探討一般化結(jié)論的時候，由于字母系數(shù)的方程求解對學生難度較大，可以師生共同完成，并進行課件演示。由特殊到一般分析:如果矩形的長和寬分別為m和n,那么其周長和面積分別為2(m+n)和mn,所求矩形的周長和面積

10、應(yīng)分別為4(m+n)和2mn. 從周長是4(m+n)出發(fā),看面積是否是2mn;解:如果設(shè)所求矩形的長為x,那么它寬為2(m+n)-x,其面積為x2(m+n)-x.根據(jù)題意,得 x2(m+n)-x=2mn. 即 x2-2(m+n)x+2mn=0.解這個方程得:探究活動2: 矩形的“倍增”問題結(jié)論:任意給定一個矩形,必然存在另一個矩形,它的周長和面積是已知矩形周長和面積的2倍.探究活動2: 矩形的“倍增”問題拓展延伸： 任意給定一個矩形，是否存在另一個矩形，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的3倍？課后作業(yè)，讓學生嘗試解決，并提交研究報告。任意給定一個矩形,是否一定存在另一個矩形,它的周長和面

11、積分別是已知矩形周長和面積的一半?小明認為,這個結(jié)論是正確的,理由是:既然任意給定一個矩形,必然存在另一個矩形,它的周長和面積是已知矩形周長和面積的2倍.也就是任何一個矩形 的周長和面積可以同時“加倍”,那么,原矩形自然滿足新矩形的“減半”要求,即原矩形的周長和面積分別是新矩形周長和面積的一半.探究活動3: 矩形的“減半”問題如果矩形的長和寬分別仍為2和1,那么是否存在一個矩形,它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積的一半?如果已知矩形的長和寬分別為3和1,是否還有相同的結(jié)論?如果已知矩形的長和寬分別為4和1,5和1,n和1呢?由特殊到一般探究活動3: 矩形的“減半”問題解:如果矩形的長和寬

12、分別為2和1,那么其周長和面積分別為6和2,所求矩形的周長和面積應(yīng)分別為3和1.設(shè)所求矩形的長為x,那么它寬為1.5-x,其面積為x(1.5-x).根據(jù)題意,得 x(1.5-x)=1.即 2x2-3x+2=0.如果這個方程有解,則說明這樣的矩形存在.由b2-4ac=32-422=-70,知道這個方程沒有實數(shù)根.由特殊到一般結(jié)論:如果矩形的長和寬分別為2和1,那么不存在另一個矩形,它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半.探究活動3: 矩形的“減半”問題探究活動3: 矩形的“減半”問題xO212133圖2由特殊到一般解:如果矩形的長和寬分別為m和n,那么其周長和面積分別為2(m+n)和mn,

13、所求矩形的周長和面積應(yīng)分別為m+n和mn/2.設(shè)所求矩形的長為x,那么它寬為(m+n)/2-x,其面積為x(m+n)/2-x.根據(jù)題意,得 x(m+n)/2-x=mn/2.即 2x2-(m+n)x+mn=0.由=b2-4ac=(m+n)2-42mn=m2+n2-6mn.知道只有當m2+n26mn時,這個方程才有實數(shù)根:結(jié)論:如果矩形的長和寬滿足m2+n26mn時.才存在另一個矩形,它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半.探究活動3: 矩形的“減半”問題綜合與實踐： 設(shè)計遮陽篷內(nèi)容分析： 本課題設(shè)計遮陽棚讓學生綜合運用所學習知識解決實際問題，使學生經(jīng)歷將實際問題數(shù)學化的數(shù)學建模過程。 教學

14、建議： 本課題可分成2課時完成。第1課時探究簡單的平行于地面的遮陽棚；第2課時探究向下傾斜的遮陽棚。 教學建議： 活動中更關(guān)注建模過程，引導學生將遮陽棚的問題用圖形方式來解決。將復雜問題簡單化、理想化，舍棄次要因素，作出合理假設(shè)。并在此基礎(chǔ)上用恰當?shù)臄?shù)學形式表示，通過計算和推理，得到問題的結(jié)果。 欣賞遮陽篷假設(shè)日常生活中,某居民樓地處北半球某地,窗戶朝南,窗戶的高度為hm,此地一年中的正午時刻,太陽光與地平面的最小夾角為,最大夾角為.請你為該窗戶設(shè)計一個遮陽篷,要求它既能最大限度地遮擋夏天炎熱的陽光,又能最大限度地使冬天溫暖的陽光射入室內(nèi).hh你能按要求設(shè)計一個遮陽篷嗎？把圖1畫成圖2，其中A

15、B表示窗戶(AB=hcm)，BCD表示直角形遮陽篷。BCAD圖1將問題圖形化簡單化直角遮陽篷BCD中，哪個量會影響太陽光的入射情況呢？BCAD圖2主要是遮陽篷的安裝高度(BC),寬(CD)影響太陽光的射入！想一想你能按要求表示出BC和CD的長度嗎？BCAD將問題圖形化簡單化既能最大限度地遮擋夏天炎熱的陽光, 又能最大限度地使冬天溫暖的陽光射入室內(nèi).DC當太陽光與地面的夾角為時，要想使太陽光剛好能全部射入室內(nèi)，遮陽篷BCD應(yīng)如何設(shè)計？畫出示意圖。BA圖3BCAD圖2顯然，BC和CD都不惟一分組探究，展示交流當太陽光與地面的夾角為 時，要想使太陽光剛好不射入室內(nèi)，遮陽篷BCD應(yīng)如何設(shè)計？畫出示意圖

16、。BA圖3BCAD圖2CD顯然，BC和CD都不惟一分組探究，展示交流如果要同時滿足(1)(2)兩個條件，那么遮陽篷BCD應(yīng)如何設(shè)計？畫出示意圖。BA圖3BCAD圖2DC顯然，BC和CD惟一確定h分組探究，展示交流BADCh你能用含h、 的關(guān)系式分別表示BC和CD嗎？探究活動的重點應(yīng)在將實際問題模型化、簡單化和數(shù)學化的過程。議一議： 北半球冬至正午，太陽光與地面的夾角最小；夏至正午，太陽光與地面夾角最大。上面探究中的和角如何確定。想一想 如何利用你所學的知識，測量本地正午時刻太陽光與地平面的夾角？想一想做一做說明：設(shè)計遮陽篷聯(lián)系生活實際，學生興趣高，又可以動手進行測量和操作，學習氛圍好。是開展數(shù)

17、學活動的良好載體。做一做環(huán)節(jié)可以完全放給學生，自主合作完成。以研究報告的形式提交成果。 查閱有關(guān)資料或?qū)嶋H測量獲得本地相應(yīng)數(shù)據(jù)，為學校某個窗戶設(shè)計遮陽篷綜合與實踐： 拱橋形狀設(shè)計內(nèi)容分析： 本課題旨在讓學生經(jīng)歷研究性學習的過程，體會數(shù)學在建筑上的應(yīng)用，并把所學二次函數(shù)的知識運用到拱橋設(shè)計上。教學建議： 本課題是三個綜合實踐中較為貼近學生能力水平的課題。建議在教師給定的流程下，讓學生自主完成探究過程。第1課時通過交流學生課前收集的橋梁資料豐富對拱橋的認識；把拱橋問題抽象成函數(shù)問題建立二次函數(shù)模型；根據(jù)具體情境進行拱橋設(shè)計，并展示交流設(shè)計方案。第2課時 修改完善設(shè)計方案情境展示 1【活動1】學生展

18、示橋梁圖片 拱橋按形狀可分為：圓弧拱橋、拋物線拱橋、懸鏈線拱橋。 本次研究的是拋物線拱橋。同時拋物線型拱橋又可分為上承式、中承式、下承式三種。情境展示 1上承式拋物線拱橋 中承式拋物線拱橋 下承式拋物線拱橋 問題： 這些拋物線橋拱的形狀由什么因素來決定？建立模型 2跨度跨度跨度拱高拱高拱高AB建立模型 2實物模型問題： 1、我們知道二次函數(shù)的圖象是拋物線，那么拋物線橋拱的 形狀與我們所學的二次函數(shù)圖像之間有什么關(guān)系？ 2、在已知跨度和拱高的情況下，可否求出橋拱對應(yīng)的函數(shù) 表達式？xyAB建立模型 2【說明】 形象感受數(shù)形結(jié)合的思想，從而建立數(shù)學模型， 實現(xiàn)了難點的突破。問題3： 根據(jù)跨度和拱高可求出橋拱對應(yīng)的函數(shù)表達式 ，反之函數(shù)表達式y(tǒng)axbxc的系數(shù)是如何影響橋拱的跨度、拱高，從而影響橋拱形狀的？實物模型函數(shù)圖像函數(shù)表達式 建立模型 2某河穿城而過，急需在河上架設(shè)一座公路橋，橋下是一條寬46m的河流，河面距所要架設(shè)的公路橋橋面的高度是12m。專家分析，架拋物線型拱橋是最佳選擇。請按專家的建議，小組合作，設(shè)計一座公路橋。要求畫出拱橋設(shè)計圖、說明設(shè)計思路，并求出橋拱拋物線的表達式。 拱橋設(shè)計3學生小組合作，自主完成設(shè)計小組派代表利用