1、定積分的應(yīng)用習(xí)題課 定積分應(yīng)用的常用公式(1) 平面圖形的面積直角坐標(biāo)情形如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積參數(shù)方程所表示的函數(shù)極坐標(biāo)情形(2) 體積xyo平行截面面積為已知的立體的體積(3) 平面曲線的弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)A曲線弧為弧長(zhǎng)B曲線弧為C曲線弧為弧長(zhǎng)(4) 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積xyo(5) 細(xì)棒的質(zhì)量(6) 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(7) 變力所作的功(8) 水壓力(9) 引力(10) 函數(shù)的平均值(11) 均方根二、典型例題例1解由對(duì)稱(chēng)性,有由對(duì)稱(chēng)性,有由對(duì)稱(chēng)性,有例2解如圖所示建立坐標(biāo)系.于是對(duì)半圓上任一點(diǎn),有故所求速度為故將滿池水全部提升到池沿高度所需功為例3在第一象限內(nèi)求曲線 上的一點(diǎn)，使該點(diǎn)處的切

2、線與所給曲線及兩坐標(biāo)軸所圍成的圖形面積為最小，并求此最小面積。解 設(shè)要求的點(diǎn)為（x1，y1）， y1= - x12+1 ,過(guò)（x1，y1）的切線方程為令x=0,y=0得切線的截距 :于是，所求面積為唯一駐點(diǎn):解 在點(diǎn)處的切線l方程為即所圍面積令得t=1。又故t=1時(shí)，S 取最小值。此時(shí)l的方程為 求曲線的一條切線l，使該曲線與切線 l及直線x=0， x=2所圍成的圖形面積最小。故此切線方程為又因該切線過(guò)點(diǎn)P（1，0），所以即從而，切線方程為因此，所求旋轉(zhuǎn)體的體積解 設(shè)所作切線與拋物線相切于點(diǎn) ，因 過(guò)點(diǎn)P(1,0)作拋物線的切線，該切線與上述拋物線及x軸圍成一平面圖形，求此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所

3、成的體積。1. 求曲線 所圍的面積.1)求交點(diǎn). 2)算面積. 2. 設(shè)平面區(qū)域D由x=0, x=1, y=a(oa 0 是常數(shù)。解 由對(duì)稱(chēng)性得 8. 半徑為R的球沉入水中,求得上部與水面相切,球的比重與水的相同, 問(wèn): 將球從水中取出需做多少功?解: 建立坐標(biāo)系如圖. 在小區(qū)間y, y+y上, oxy對(duì)應(yīng)球體的一小薄片, 要提高2R高度, 水上的行程: R+y, 則 dw=g (R+y)x2(y)dy 1補(bǔ)充 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，且在(a,b)內(nèi)有證明在(a,b)內(nèi)存在唯一的，使曲線 y=f(x)與兩直線 y=f()x=a所圍平面圖形面積S1是曲線y=f(x)與兩直線y=f()，x=b所圍平面圖形面積S2的3倍。證 (存在性)在a,b上任取一點(diǎn)t，令則F(t)在a,b上連續(xù), 又故f(x)在a，b上單調(diào)增加(a,b)內(nèi)取定點(diǎn)C，則有6.40由介質(zhì)定理知，在(a,b)內(nèi)存在，使F(