1、高等數(shù)學(xué)（工）2測(cè)試卷（曲線積分）(附解答)一單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共10分）1 設(shè) SKIPIF 1 0 為橢圓 SKIPIF 1 0 ，其周長(zhǎng)記為 SKIPIF 1 0 ，則曲線積分 SKIPIF 1 0 （ B ）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 2設(shè) SKIPIF 1 0 為曲線段 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則曲線積分 SKIPIF 1 0 （ A ）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 3下列命題中不正確的是（ C ）A設(shè)函

2、數(shù) SKIPIF 1 0 有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則 SKIPIF 1 0 在全平面與路徑無(wú)關(guān)B曲線積分 SKIPIF 1 0 在全平面與路徑無(wú)關(guān)C設(shè)函數(shù) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在某平面區(qū)域 SKIPIF 1 0 內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且在 SKIPIF 1 0 內(nèi)恒有 SKIPIF 1 0 ，則曲線積分 SKIPIF 1 0 在區(qū)域 SKIPIF 1 0 內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)D設(shè) SKIPIF 1 0 是含原點(diǎn)的平面區(qū)域，則 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上與路徑無(wú)關(guān)4設(shè)曲線 SKIPIF 1 0 ： SKIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)

3、數(shù)），過第 = 2 * ROMAN II象限內(nèi)的點(diǎn) SKIPIF 1 0 和第 = 4 * ROMAN IV象限內(nèi)的點(diǎn) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 上從點(diǎn) SKIPIF 1 0 到點(diǎn) SKIPIF 1 0 的一段弧，則下列積分小于零的是（ B ）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 5 設(shè) SKIPIF 1 0 為某函數(shù)的全微分，則常數(shù) SKIPIF 1 0 （ D ）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 二.填空題（

4、每小題3分，共15分）6設(shè) SKIPIF 1 0 是圓周： SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 7設(shè) SKIPIF 1 0 是連接 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 的直線段，則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 8設(shè) SKIPIF 1 0 是點(diǎn) SKIPIF 1 0 到點(diǎn) SKIPIF 1 0 的直線段，則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 9設(shè) SKIPIF 1 0 是圓周 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 上對(duì)應(yīng) SKIPIF 1 0 從 SKIPIF 1 0 到 SKIPIF

5、1 0 的一段弧，則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 10設(shè) SKIPIF 1 0 ： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是關(guān)于區(qū)域 SKIPIF 1 0 的正向邊界，則曲線積分 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 三計(jì)算題（每小題7分，共63分）11計(jì)算曲線積分 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 是拋物線 SKIPIF 1 0 上的由原點(diǎn)到 SKIPIF 1 0 之間的一段弧解： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SK

6、IPIF 1 0 SKIPIF 1 0 12設(shè) SKIPIF 1 0 是由直線 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 所圍成的三角形區(qū)域的邊界，求 SKIPIF 1 0 解： SKIPIF 1 0 由三條線段組成： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （如圖所示） SKIPIF 1 0 ： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ： SKIPIF 1 0 ， SKIP

7、IF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 13計(jì)算 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 在第一象限自點(diǎn) SKIPIF 1 0 到點(diǎn) SKIPIF 1 0 的一段弧解：將 SKIPIF 1 0 寫成參數(shù)式 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1

8、0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 14計(jì)算 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 是橢圓 SKIPIF 1 0 從點(diǎn) SKIPIF 1 0 沿著上半周到點(diǎn) SKIPIF 1 0 的一段弧解： SKIPIF 1 0 的參數(shù)式方程為： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 1

9、5 已知曲線 SKIPIF 1 0 的方程為 SKIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0 ），起點(diǎn)是 SKIPIF 1 0 ，終點(diǎn)是 SKIPIF 1 0 ，計(jì)算曲線積分 SKIPIF 1 0 解： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 16計(jì)算 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 為曲線 SKIPIF 1 0 自 SKIPIF 1 0 到 SKIPIF 1 0 的有向弧段 SKIPIF 1 0

10、 解： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 17計(jì)算 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 為區(qū)域 SKIPIF 1 0 ： SKIPIF 1 0 的正向邊界解：應(yīng)用格林公式 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 18計(jì)算 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 是曲線 SKIPIF 1 0 從 SKIPIF 1 0 到 SKIPIF

11、 1 0 的一段 解：令 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 19計(jì)算積分 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 為（1）圓周 SKIPIF 1 0 的正向；（2）正方形邊界 SKIPIF 1 0 的正向解：由于 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 故在 SKIPIF 1 0 時(shí)有 SKIPIF

12、1 0 （1）當(dāng)為 SKIPIF 1 0 時(shí)，所圍區(qū)域 SKIPIF 1 0 中不含 SKIPIF 1 0 ，故可利用格林公式得： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 （2）當(dāng) SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 時(shí)，所圍區(qū)域 SKIPIF 1 0 包含原點(diǎn)，不可 直接用格林公式作一小圓 SKIPIF 1 0 ，中心在原點(diǎn)，半徑為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，例如可取 SKIPIF 1 0 ，則小圓在 SKIPIF 1 0 內(nèi)由 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 圍成區(qū)域 SKIPIF 1 0 就不含原點(diǎn)，可用格林公式得

13、到 SKIPIF 1 0 而小圓可表示 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，有 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 因而 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 四、綜合題（12分）20設(shè)可導(dǎo)函數(shù) SKIPIF 1 0 滿足 SKIPIF 1 0 ，在全平面上與路徑無(wú)關(guān)，求 SKIPIF 1 0 ，并計(jì)算 SKIPIF 1 0 解： SKIPIF 1 0 在全平面上與路徑無(wú)關(guān)， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 ，得到 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKI