1、第四章平面一般力系第一節(jié)力的平移定理上面兩章已經(jīng)研究了平面匯交力系與平面力偶系的合成與平衡。為了將平面一般力系簡(jiǎn) 化為這兩種力系，首先必須解決力的作用線如何平行移動(dòng)的問(wèn)題。設(shè)剛體的A點(diǎn)作用著一個(gè)力H (圖4 3 (a),在此剛體上任取一點(diǎn)O。現(xiàn)在來(lái)討論怎 樣才能把力F平移到O點(diǎn)，而不改變其原來(lái)的作用效應(yīng)？為此，可在O點(diǎn)加上兩個(gè)大小相 等、方向相反，與F平行的力F和F”,且F =F =F (圖4 3 (b)根據(jù)加減平衡 力系公理，F(xiàn)、F和F與圖43 (a)的F對(duì)剛體的作用效應(yīng)相同。顯然F”和F組成 一個(gè)力偶，其力偶矩為m = Fd = MJ F)這三個(gè)力可轉(zhuǎn)換為作用在O點(diǎn)的一個(gè)力和一個(gè)力偶(圖4

2、 3 (c)。由此可得力的平移 定理：作用在剛體上的力F，可以平移到同一剛體上的任一點(diǎn)O,但必須附加一個(gè)力偶，其力 偶矩等于力F對(duì)新作用點(diǎn)O之矩。圖4-3順便指出，根據(jù)上述力的平移的逆過(guò)程，共面的一個(gè)力和一個(gè)力偶總可以合成為一個(gè)力，該力的大小和方向與原力相同，作用線間的垂直距離為:力的平移定理是一般力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化的理論依據(jù)，也是分析力對(duì)物體作用效應(yīng)的一個(gè)重要方法。例如，圖4 4a所示的廠房柱子受到吊車梁傳來(lái)的荷載F的作用，為分 析F的作用效應(yīng)，可將力F平移到柱的軸線上的O點(diǎn)上， 根據(jù)力的平移定理得一個(gè)力F，同時(shí)還必須附加一個(gè)力 偶(圖44(b)。力F經(jīng)平移后，它對(duì)柱子的變形效果 就可以很明顯的

3、看出，力F使柱子軸向受壓，力偶使柱 彎曲。第二節(jié)平面一般力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡(jiǎn)化一、簡(jiǎn)化方法和結(jié)果設(shè)在物體上作用有平面一般力系F1，F(xiàn)2,，F(xiàn)n，如圖45 (a)所示。為將這力系簡(jiǎn) 化，首先在該力系的作用面內(nèi)任選一點(diǎn)O作為簡(jiǎn)化中心，根據(jù)力的平移定理，將各力全部 平移到O點(diǎn)(圖45 (b)，得到一個(gè)平面匯交力系F，F(xiàn)2，F(xiàn)J和一個(gè)附加的 平面力偶系m1, m2, mn。其中平面匯父力系中各力的大小和方向分別與原力系中對(duì)應(yīng)的各力相同，即，頊1，%=%，虬，壬各附加的力偶矩分別等于原力系中各力對(duì)簡(jiǎn)化中心0點(diǎn)之矩，即mi = M 0(F 1)，m2 = M 0(F 2)，mn = M 0(Fn)，由平

4、面匯交力系合成的理論可知，F(xiàn)，F(xiàn)；，F(xiàn)可合成為一個(gè)作用于0點(diǎn)的力R ，并稱為原力系的主矢(圖45 (c)，即 nRf = F+F； +Fn = F1+F2+-+Fn=EF.(41)求主矢R的大小和方向，可應(yīng)用解析法。過(guò)O點(diǎn)取直角坐標(biāo)系Oxy，如圖45所示。主矢R在x軸和y軸上的投影為R = x, +x + +x =x +Xc+x = Xx 12n 12 nRy = +y2，+.+*，=y1+y2+yn=EY式中：x. 、y和x.、y.分別是力F 和F.在坐標(biāo)軸x和y軸上的投影。由于F.和F.大小相等、方向相同，所以它們?cè)谕惠S上的投影相等。主矢R 的大小和方向?yàn)镽 = R 2 + R y 2

5、=忑 X )2 + ( Y )2(4 2)(4 3)_網(wǎng)_楊Y| tan a = =R|*|xa為R與x軸所夾的銳角，R的指向由EX和EY的正負(fù)號(hào)確定。由力偶系合成的理論知，m1，m2,，mn可合成為一個(gè)力偶(如圖45 (c)，并稱為 原力系對(duì)簡(jiǎn)化中心0的主矩，即M 0 = m1 + . + mn = MO(F 1) + MO(Fn) = Z MO(F.)(44)綜上所述，得到如下結(jié)論：平面一般力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡(jiǎn)化的結(jié)果，是一個(gè)力和一 個(gè)力偶。這個(gè)力作用在簡(jiǎn)化中心，它的矢量稱為原力系的主矢，并等于原力系中各力的矢量 和；這個(gè)力偶的力偶矩稱為原力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩，并等于原力系各力對(duì)簡(jiǎn)化中心

6、的力矩 的代數(shù)和。應(yīng)當(dāng)注意，作用于簡(jiǎn)化中心的力R 一般并不是原力系的合力，力偶矩為 MJ也不是原力系的合力偶，只有R與MJ兩者相結(jié)合才與原力系等效。由于主矢等于原力系各力的矢量和，因此主矢R的大小和方向與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)。而主矩等于原力系各力對(duì)簡(jiǎn)化中心的力矩的代數(shù)和，取不同的點(diǎn)作為簡(jiǎn)化中心，各力的力臂 都要發(fā)生變化，則各力對(duì)簡(jiǎn)化中心的力矩也會(huì)改變，因而，主矩一般隨著簡(jiǎn)化中心的位置不 同而改變。二、平面一般力系簡(jiǎn)化結(jié)果的討論平面力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化，一般可得到一力和一個(gè)力偶，但這并不是最后簡(jiǎn)化結(jié)果。根據(jù)主 矢與主矩是否存在，可能出現(xiàn)下列幾種情況：若R =0, MON0,說(shuō)明原力系與一個(gè)力偶等效，而這

7、個(gè)力偶的力偶矩就是主 矩。由于力偶對(duì)平面內(nèi)任意一點(diǎn)之矩都相同，因此當(dāng)力系簡(jiǎn)化為一力偶時(shí)，主矩和簡(jiǎn)化中心 的位置無(wú)關(guān)，無(wú)論向哪一點(diǎn)簡(jiǎn)化，所得的主矩相同。若RN0，MO =0，則作用于簡(jiǎn)化中心的力R就是原力系的合力，作用線通 過(guò)簡(jiǎn)化中心。若RN0，MON0，這時(shí)根據(jù)力的平移定理的逆過(guò)程，可以進(jìn)一步合成為合力 R，如圖46所示。將力偶矩為M。的力偶用兩個(gè)反向平行力R、R表示，并使R和R等值、共線， 使它們構(gòu)成一平衡力圖46 (b)，為保持MJ不變，只要取力臂d為MJd = = o-R R圖4-5將R和R這一平衡力系去掉，這樣就只剩下R力與原力系等效(圖46 (c)。合 力R在O點(diǎn)的哪一側(cè)，由R對(duì)O點(diǎn)

8、的矩的轉(zhuǎn)向應(yīng)與主矩M。的轉(zhuǎn)向相一致來(lái)確定。R =0，MJ =0，此時(shí)力系處于平衡狀態(tài)。三、平面一般力系的合力矩定理由上面分析可知，當(dāng)RN0，MON0時(shí)，還可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為一合力R，見(jiàn)圖46， 合力對(duì)O點(diǎn)的矩是M o(R ) = R - d而R - d = M OM O =Z M o(F )所以M (R) = S M (F )OO由于簡(jiǎn)化中心O是任意選取的，故上式有普遍的意義。于是可得到平面力系的合力矩 定理。平面一般力系的合力對(duì)作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩等于力系中各力對(duì)同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。例41如圖47 (a)所示，梁AB的A端是固定端支座，試用力系向某點(diǎn)簡(jiǎn)化的方 法說(shuō)明固定端支座的反力情況。解：梁的A

9、端嵌入墻內(nèi)成為固定端，固定端約束的特點(diǎn)是使梁的端部既不能移動(dòng)也不 能轉(zhuǎn)動(dòng)。在主動(dòng)力作用下，梁插入部分與墻接觸的各點(diǎn)都受到大小和方向都不同的約束反力作用（圖47（b），這些約束反力就構(gòu)成一個(gè)平面一般力系，將該力系向梁上A點(diǎn)簡(jiǎn)化就 得到一個(gè)力Ra和一個(gè)力偶矩為MA的力偶（圖47（c），為了便于計(jì)算，一般可將約束反 力RA，用它的水平分力XA和垂直分力七來(lái)代替。因此，在平面力系情況下，固定端支座 的約束反力包括三個(gè)；即阻止梁端向任何方向移動(dòng)的水平反力XA和豎向反力匕，以及阻止 物體轉(zhuǎn)動(dòng)的反力偶MA。它們的指向都是假定的（圖47 （d）。圖7例42已知素混凝土水壩自重G1 = 600kN，G2 = 3

10、00kN，水壓力在最低點(diǎn)的荷載集 度q = 80kN/m，各力的方向及作用線位置如圖48 （a）所示。試將這三個(gè)力向底面A點(diǎn)簡(jiǎn) 化，并求簡(jiǎn)化的最后結(jié)果。解：以底面A為簡(jiǎn)化中心，取坐標(biāo)系如圖4 8 （a）所示，由式（42）和式（4 3） 可求得主矢R的大小和方向。由于 1 一E X = X q X 8 = X 80 X 8 = 320kN2E Y = g + G 2 = 600 + 300 = 900kN所以R，= 忑 X )2 + (E Y )2 = ：(320)2 + (900) tan a=E2 = 955.2kNIE X| 以=70.43。詈=2.813因?yàn)閄為正值，工y為正值，故R指向

11、第一象限與x軸夾角為a，再由式（44） 可求得主矩為M A =E M A(F )= -x q x 8 xx 8 - G x 1.5 - G x 4 2312=-1 x 80 x 8 x 1 x 8 - 600 x 1.5 - 300 x 423=-2953.3kN - m3 tii計(jì)算結(jié)果為負(fù)值表示MA是順時(shí)針轉(zhuǎn)向。因?yàn)橹魇窻N0,主矩MaN0,如圖48 （b）所示，所以還可進(jìn)一步合成為一個(gè) 合力R。R的大小、方向與R相同，它的作用線與A點(diǎn)的距離為/ M 2953.3d = O = 3.10mR 955.2因MA為負(fù)，故Ma （R）也應(yīng)為負(fù)，即合力R應(yīng)在A點(diǎn)右側(cè)，如圖4 8 （c）所示。第三節(jié)

12、平面一般力系平衡條件及其應(yīng)用一、平面一般力系的平衡條件平面一般力系向任一點(diǎn)簡(jiǎn)化時(shí)，當(dāng)主矢、主矩同時(shí)等于零，則該力系為平衡力系。因此， 平面一般力系處在平衡狀態(tài)的必要與充分條件是力系的主矢與力系對(duì)于任一點(diǎn)的主矩都等 于零，即：R =0 MJ =0根據(jù)式（42）及式（44），可得到平面一般力系的平衡條件為 x=0ZY = 0 （45） MO= 0 VO 式（45）說(shuō)明，力系中所有各力在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和均等于零，所有各力 對(duì)任一點(diǎn)之矩的代數(shù)和等于零。式（45）中包含兩個(gè)投影方程和一個(gè)力矩方程，是平面一般力系平衡方程的基本形 式。這三個(gè)方程是彼此獨(dú)立的（即其中的一個(gè)不能由另外兩個(gè)得出），因此

13、可求解三個(gè)未知 量。00 4-9例4-3梁AB 一端為固定端支座，另一端無(wú)約束，這樣的梁稱為懸臂梁。它承受均布 荷載q和一集中力P的作用，如圖49(a)所示。已知P=10kN, q=2kN/m, l=4m, a = 45。， 梁的自重不計(jì)，求支座A的反力。解：取梁AB為研究對(duì)象，其受力圖如圖49 (b)所示。支座反力的指向是假定的， 梁上所受的荷載和支座反力組成平面一般力系。在計(jì)算中可將線荷載q用作用其中心的集中 力q=q來(lái)代替。選取坐標(biāo)系，列平衡方程。 X = 0Xa-Pcosa = 0XA = Pcosa = 10 x 0.707 = 7.07kN(r) Y = 0YA - q - P s

14、in a = 0YA =告 + Psina = 2|1 +10 x 0.707 = 11.07kN(f) M = 0 m. 一 q - + - Psina -1 = 0 a A 2 L 2 4)3q123 x 2 x 42mA = -q- + Psina -1 =-+10 x0.707x4 = 40.28kN-m()力系既然平衡，則力系中各力在任一軸上的投影代數(shù)和必然等于零，力系中各力對(duì)任一 點(diǎn)之矩的代數(shù)和也必然為零。因此，我們可以列出其它的平衡方程，用來(lái)校核計(jì)算有無(wú)錯(cuò)誤。ql 12 x 4 4校核 MB = q x - - YA -1 + mA = x - -11.07 x 4 + 40.2

15、8 = 0可見(jiàn)，YA和mA計(jì)算無(wú)誤。例4-4圖4 10 (a)所示一伸臂梁。受到荷載P = 2kN，三角形分布荷載q = 1kN/m 作用。如果不計(jì)梁重，求支座A和B的反力。圖 4-10解：取CD梁為研究對(duì)象，受力圖如圖4 10 (b)所示，列平衡方程。Z X = 0X A = 0Z M = 0 P X1 - 2 X q X 3 X1 + 2Y = 01 (3,YB = 2 煩 x q - 2 x 1J =-0.25kN()Z Y = 0 Y + Y - P - 2 X q X 3 = 03YA = P + 2 q - Y = 2 + 2 x 1 - (-0.25) = 3.75kN(f)得數(shù)

16、為正值，說(shuō)明實(shí)際的反力方向與假設(shè)的方向一致，得數(shù)為負(fù)值，說(shuō)明實(shí)際的反力 方向與假設(shè)的方向相反。例4-5 一水平托架承受重G = 20kN的重物，如圖4-11 (a)所示，A、B、C各處均 為鉸鏈連接。各桿的自重不計(jì)，試求托架A、B兩處的約束反力。圖 4-11解：取托架水平桿AD作為研究對(duì)象，其受力圖如圖4-11 (b)所示。由于桿BC為二 力桿，它對(duì)托架水平桿的約束反力Sb沿桿BC軸線作用，A處為固定鉸支座，其約束反力 可用相互垂直的一對(duì)反力XA和YA來(lái)代替。取坐標(biāo)系如圖，列出三個(gè)平衡方程。Z M A = 0S Bsin45ox 2 - 3G = 0v3G3、2g /S = 2 . 450 =

17、 2 = 42.43kNZ X = 0- X + S cos 450 = 0X A = S B cos 45 = 42.43 x 0.707 = 30kNZY = 0- Y + S sin 450 - G = 0YA = SB sin 450 - G = 42.43 x 0.707 - 20 = 10kN校核ZM = Y x 3 - S sin45Ox 1 D = 10 x 3 - 42.43 x 0.707 x 1=0說(shuō)明計(jì)算無(wú)誤例4-6鋼筋混凝土剛架，所受荷載及支承情況如圖4 12 ( a)所示。已知q = 4kN/m, P = 10kN, m = 2kN - m, Q = 20kN，試求

18、支座處的反力。解：取剛架為研究對(duì)象，畫(huà)其受力圖如圖4-12 (b)所示，圖中各支座反力指向都是 假設(shè)的。本題有一個(gè)力偶荷載，由于力偶在任一軸上投影為零，故寫(xiě)投影方程時(shí)不必考慮力偶， 由于力偶對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩都等于力偶矩，故寫(xiě)力矩方程時(shí)，可直接將力偶矩刀列入。設(shè)坐標(biāo)系如圖4-12 (b)所示，列三個(gè)平衡方程 X = 0 X + P + 6q = 0X =-P - 6q = -10 - 6 x 4 = 34kN()AY x 6 P x 4 Q x 3 m 6q x 3 = 0=29kN(f)v B 4P + 3Q + m + 18q 4 x 10 + 3 x 20 + 2 +18 x 4Y B

19、Y = 0 Y + Y - Q = 0Y = Q - Y = 20 - 29 = -9kN(J)校核 M = 6X - 6Y + 2P + 3Q - m + 6q x 3=6 x (-34) 一 6 x (-9) + 2 x 10 + 3 x 20 一 2 + 6 x 4 x 3=0說(shuō)明計(jì)算無(wú)誤。從上述幾個(gè)例題可以看出，平面一般力系平衡問(wèn)題的解題步驟為：選取研究對(duì)象，作出研究對(duì)象的受力圖。對(duì)所選取的研究對(duì)象，列出平衡方程。由平衡方程解出未知量。將計(jì)算結(jié)果代入不獨(dú)立的平衡方程，以校核解題過(guò)程有無(wú)錯(cuò)誤。二、平面一般力系平衡方程的其他形式前面我們通過(guò)平面一般力系的平衡條件導(dǎo)出了平面一般力系平衡方程的

20、基本形式，除 了這種形式外，還可將平衡方程表示為二力矩形式及三力矩形式。二力矩形式的平衡方程在力系作用面內(nèi)任取兩點(diǎn)A、B及X軸，如圖4-13所示，可以證明平面一般力系的 平衡方程可改寫(xiě)成兩個(gè)力矩方程和一個(gè)投影方程的形式，即： M = 0 ,（4 一 6） m A = 0.式中X軸不與A、B兩點(diǎn)的連線垂直。證明：首先將平面一般力系向A點(diǎn)簡(jiǎn)化，一般可得到過(guò)A點(diǎn)的一個(gè)力和一個(gè)力偶。若MA = 0成立，則力系只能簡(jiǎn)化為通過(guò)A點(diǎn)的合力R或成平衡狀態(tài)。如果MB = 0又成立，說(shuō)明R必通過(guò)B?？梢?jiàn)合力R的作用線必為AB連線。又因 X = 0成立，則七= X = 0，即合力R在X軸上的投影為零，因AB連線不垂

21、直X軸，合力R亦不垂直于X軸，由% = 0 可推得R = 0?？梢?jiàn)滿足方程（46）的平面一般力系，若將其向A點(diǎn)簡(jiǎn)化，其主矩和主矢 都等于零，從而力系必為平衡力系。圖 4-13三力矩形式的平衡方程在力系作用面內(nèi)任意取三個(gè)不在一直線上的點(diǎn)A、B、C，如圖4 14所示，則力系的 平衡方程可寫(xiě)為三個(gè)力矩方程形式，即 M A = 0 M = 0（47） M C = 0.式中，A、B、C三點(diǎn)不在同一直線上。同上面討論一樣，若MA = 0和MB = 0成立，則力系合成結(jié)果只能是通過(guò)A、B兩 點(diǎn)的一個(gè)力（圖414）或者平衡。如果MC = 0也成立，則合力必然通過(guò)C點(diǎn)，而一個(gè) 力不可能同時(shí)通過(guò)不在一直線上的三點(diǎn)

22、，除非合力為零，MC =0才能成立。因此，力系 必然是平衡力系。綜上所述，平面一般力系共有三種不同形式的平衡方程，即式45）、式（46）、式 （47），在解題時(shí)可以根據(jù)具體情況選取某一種形式。無(wú)論采用哪種形式，都只能寫(xiě)出三 個(gè)獨(dú)立的平衡方程，求解三個(gè)未知數(shù)。任何第四個(gè)方程都不是獨(dú)立的，但可以利用這個(gè)方程 來(lái)校核計(jì)算的結(jié)果。例4-7某屋架如圖415 （a）所示，設(shè)左屋架及蓋瓦共重P = 3kN，右屋架受到風(fēng) 力及荷載作用，其合力= 7kN，P2與BC夾角為80。，試求A、B支座的反力。圖4 15解：取整個(gè)屋架為研究對(duì)象，畫(huà)其受力圖，并選取坐標(biāo)軸X軸和Y軸，如圖4-15 (b) 所示，列出三個(gè)平衡

23、方程ZX =0 X -P cos70 = 0 A 2X =P cos70 = 7x0.342 = 2.39kN A 2EAf = 0 Y xl6-4xP-P sin70 x 12 + P cos70 x4xtan30 = 0AB1224尸+12F sin 70 - 4尸 cos 70 x tan 30I =132B16_ 4x3 + 12x7x0.94-4x7x0.342x0.57716=5.34kN-16y + 12P + P sin70 x4 + P cos70 x4xtan30 = 0A122v 12P + 4P sm70 + 4P cos 70 x tan 3016i =1A=4.24

24、kN校核Zr = y +Y -P -P sin70A B 12= 4.24 + 5.34-3-7x0.94=0說(shuō)明計(jì)算無(wú)誤。例4-8梁AC用三根支座鏈桿連接，受一力P = 50kN作用，如圖4-16 (a)所示。 不計(jì)梁及鏈桿的自重，試求每根支座鏈桿的反力。圖4T6解：取AC梁為研究對(duì)象，畫(huà)其受力圖，如圖4-16 (b)所示。列平衡方程時(shí)，為避 免解聯(lián)立方程組，最好所列的方程中只有一個(gè)未知力，因此，取R人和%的交點(diǎn)。1為矩心 列平衡方程EM = 0 R x6-Pcos60 x2-Psin60 x4 = 02 P cos 60。+ 4 P sin 60。 2 x 50 x 0.5 + 4 x 5

25、0 x 0.866R =C66=37.2kN取RB與RC的交點(diǎn)O2為矩心列平衡方程EM = 0- R x + Pcos60 x 4 - Psin60o x 2 = 0(4 P cos 60o + 2 P sin 60。) (4 x 50 x 0.5 + 2 x 50 x 0.866) x 0.707R =66=21.99kN取 E X = 0 R cos 45o - R cos 45。- P cos 60。= 0R = 土 cos 45。- P cos 60。= 21.99 x 0.707 - 50 x 0.5 =-1337kNB = f cos 45。=0.707=-.校核EY = R si

26、n45o + R sin45 + R -Psin60。=21.99； 0.707 -13.37 x 0.707 + 7.2 - 50 x 0.866=0說(shuō)明計(jì)算無(wú)誤。平面力系的特殊情況平面一般力系是平面力系的一般情況。除前面講的平面匯交力系，平面力偶系外，還有 平面平行力系都可以看為平面一般力系的特殊情況，它們的平衡方程都可以從平面一般力系 的平衡方程得到，現(xiàn)討論如下。平面匯交力系對(duì)于平面匯交力系，可取力系的匯交點(diǎn)作為坐標(biāo)的原點(diǎn)，圖4-17(a)所示，因各力的作用線均通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,各力對(duì)O點(diǎn)的矩必為零，即恒有IMO = 0。因此，只剩下兩個(gè)投影方程：IX = 0 IY = 0即為平面匯交力系

27、的平衡方程。（2）平面力偶系平面力偶系如圖4 17（b）所示，因構(gòu)成力偶的兩個(gè)力在任何軸上的投影必為零，則恒有 IX = 0和IY = 0，只剩下第三個(gè)力矩方程，但因?yàn)榱ε紝?duì)某點(diǎn)的矩等于力偶矩，則力矩 方程可改寫(xiě)為即平面力偶系的平衡方程。圖 4一17（3）平面平行力系平面平行力系是指其各力作用線在同一平面上并相互平行的力系，如圖4 17 （C ）所 示，選OY軸與力系中的各力平行，則各力在X軸上的投影恒為零，則平衡方程只剩下兩 個(gè)獨(dú)立的方程(4 8)IY = 0一 IM = 0,若采用二力矩式（46），可得(49)式中A、B兩點(diǎn)的連線不與各力作用線平行。平面平行力系只有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，只能

28、求解兩個(gè)未知量。例4-9圖418所示為塔式起重機(jī)。已知軌距b = 4m，機(jī)身重G = 260kN，其作用線到右軌的距離e = 1.5m，起重機(jī)平衡重Q = 80kN，其作用線到左軌的距離a = 6m，荷載P的作用線到右軌的距離l = 12m，（1）試證明空載時(shí)（P = 0時(shí)）起重機(jī)時(shí)否會(huì)向左傾 倒？（2）求出起重機(jī)不向右傾倒的最大荷載P。S 4-18解：以起重機(jī)為研究對(duì)象，作用于起重機(jī)上的力有主動(dòng)力G、P、Q及約束力NA和Nb , 它們組成一個(gè)平行力系(圖4 18)。使起重機(jī)不向左倒的條件是NB- 0,當(dāng)空載時(shí)，取P = 0,列平衡方程Z MA = 0Q - a + NB - b - G(e

29、+ b) = 0Nb = 1 lG(e + b) - Q - a=4(260(1.5 + 4) - 80 x 6】=237.5kN 0所以起重機(jī)不會(huì)向左傾倒使起重機(jī)不向右傾倒的條件是NA 0，列平衡方程Z Mb = 0Q(a + b) - NA - b - G - e - P -1 = 0N =1 Q(a + b) - G - e - P -1】 A b欲使N 0，則需AQ (a + b) - G - e - P -1 0P 1 Q(a + b) - G - e】1=1180(6 + 4) - 260 x 1.5】12=34.17kN當(dāng)荷載P 34.17kN時(shí)，起重機(jī)是穩(wěn)定的。三、物體系統(tǒng)的平

30、衡前面研究了平面力系單個(gè)物體的平衡問(wèn)題。但是在工程結(jié)構(gòu)中往往是由若干個(gè)物體通 過(guò)一定的約束來(lái)組成一個(gè)系統(tǒng)。這種系統(tǒng)稱為物體系統(tǒng)。例如，圖示419 (a)所示的組 合梁，就是由梁AC和梁CD通過(guò)鉸C連接，并支承在A、B、D支座而組成的一個(gè)物體系 統(tǒng)。：TpTTTE_ s IDYa i F史IS 4-1S在一個(gè)物體系統(tǒng)中，一個(gè)物體的受力與其他物體是緊密相關(guān)的；整體受力又與局部緊 密相關(guān)的。物體系統(tǒng)的平衡是指組成系統(tǒng)的每一個(gè)物體及系統(tǒng)的整體都處于平衡狀態(tài)。在研究物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題時(shí)，不僅要知道外界物體對(duì)這個(gè)系統(tǒng)的作用力，同時(shí)還應(yīng) 分析系統(tǒng)內(nèi)部物體之間的相互作用力。通常將系統(tǒng)以外的物體對(duì)這個(gè)系統(tǒng)的作用

31、力稱為外 力，系統(tǒng)內(nèi)各物體之間的相互作用力稱為內(nèi)力。例如圖4-19 (b)的組合梁的受力圖，荷 載及A、B、D支座的反力就是外力，而在鉸C處左右兩段梁之間的互相作用的力就是內(nèi)力。應(yīng)當(dāng)注意，外力和內(nèi)力是相對(duì)的概念，是對(duì)一定的考察對(duì)象而言的，例如圖4-19組 合梁在鉸C處兩段梁的相互作用力，對(duì)組合梁的整體來(lái)說(shuō)，就是內(nèi)力，而對(duì)左段梁或右段 梁來(lái)說(shuō)，就成為外力了。當(dāng)物體系統(tǒng)平衡時(shí)，組成該系統(tǒng)的每個(gè)物體都處于平衡狀態(tài)，因而，對(duì)于每一個(gè)物體 一般可寫(xiě)出三個(gè)獨(dú)立的平衡方程。如果該物體系統(tǒng)有n個(gè)物體，而每個(gè)物體又都在平面一般 力系作用下，則就有3n個(gè)獨(dú)立的平衡方程，可以求出3n個(gè)未知量。但是，如果系統(tǒng)中的物

32、體受平面匯交力系或平面平行力系的作用，則獨(dú)立的平衡方程將相應(yīng)減少，而所能求的未知 量數(shù)目也相應(yīng)減少。當(dāng)整個(gè)系統(tǒng)中未知量的數(shù)目不超過(guò)獨(dú)立的平衡方程數(shù)目，則未知量可由 平衡方程全部求出，這樣的問(wèn)題稱為靜定問(wèn)題。當(dāng)未知量的數(shù)目超過(guò)了獨(dú)立平衡方程數(shù)目， 則未知量由平衡方程就不能全部求出，這樣的問(wèn)題，則稱為超靜定問(wèn)題，在靜力學(xué)中，我們 不考慮超靜定問(wèn)題。在解答物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題時(shí)，可以選取整個(gè)物體系統(tǒng)作為研究對(duì)象，也可以選取物 體系統(tǒng)中某部分物體(一個(gè)物體或幾個(gè)物體組合)作為研究對(duì)象，以建立平衡方程。由于物 體系統(tǒng)的未知量較多，應(yīng)盡量避免從總體的聯(lián)立方程組中解出，通常可選取整個(gè)系統(tǒng)為研究 對(duì)象，看能否從

33、中解出一或兩個(gè)未知量，然后再分析每個(gè)物體的受力情況，判斷選取哪個(gè)物 體為研究對(duì)象，使之建立的平衡方程中包含的未知量少，以簡(jiǎn)化計(jì)算。下面舉例說(shuō)明求解物體系統(tǒng)平衡問(wèn)題的方法。例4-10組合梁受荷載如圖4-20(a)所示。已知P = 16kN, P = 20kN，m = 8kN - m，梁自重不計(jì)，求支座A、C的反力。解：組合梁由兩段梁AB和BC組成，作用于每 一個(gè)物體的力系都是平面一般力系，共有6個(gè)獨(dú)立的 平衡方程；而約束力的未知數(shù)也是6 (A處有三個(gè)，B 處有兩個(gè)，C處有1個(gè))。首先取整個(gè)梁為研究對(duì)象， 受力圖如圖4-20 (b)所示。 X = 0 X - P cos 60。= 0圖 1-20X

34、 = P cos 60o = 10kN其余三個(gè)未知數(shù)匕、mA和AC，無(wú)論怎樣選取投影軸和矩心，都無(wú)法求出其中任何一 個(gè)，因此，必須將AB梁和BC梁分開(kāi)考慮，現(xiàn)取BC梁為研究對(duì)象，受力圖如圖420(c) 所示。X - P cos 60。= 0X = P cos 60o = 10kN2R - P sin 60o x 1 = 0C 2P sin 60。-2 2=8.66kNR + Y - P sin 60o = 0Y =-R + P sin60o = 8.66kN再回到受圖420 (b)ZM = 05R -4P sin60。-P x 2-m + m = 0m =4P sin60o + 2P - 5R

35、 + m = 65.98kNZY = 0 Y + R - P - P sin60o = 0 A C 12Y = P + P sin 60o - R = 24.66kN校核：對(duì)整個(gè)組合梁，列出Z M = m -3Y + P x 1 -1 x P sin 60 + 2R - m=65.98 - 3 x 24.66 +16 x 1 -1 x 20 x 0.866 + 2 x 8.66 - 8=0可見(jiàn)計(jì)算無(wú)誤。例4-11鋼筋混凝土三鉸剛架受荷載如圖42(a)所示，已知q = 16kN/m，P = 24kN， 求支座A、B和鉸C的約束反力。解：三鉸剛架由左右兩半剛架組成，受到平面一般力系的作用，可以列出

36、六個(gè)獨(dú)立的 平衡方程。分析整個(gè)三鉸剛架和左、右兩半剛架的受力，畫(huà)出受力圖，如圖b)、(c)、(d)所示，可見(jiàn)，系統(tǒng)的未知量總計(jì)為六個(gè)，可用六個(gè)平衡方程求解出六個(gè)未知量。(1)取整個(gè)三鉸剛架為研究對(duì)象，受力圖如圖4-21 (b)所示 M = 0-q x 8 x 4 - P x 10 + Y x 16 = 0Y = (q x 8 x 4 + P x 10)= 47kNB 16 M b = 0q x 8 x 12 + P x 6 - Y. x 16 = 0Y = (q x 8 x 12 + P x 6)= 105kN a 16 X = 0 X - X = 0X = X(a)(2)取左半剛架為研究對(duì)象，受力圖如圖4-21 (c)所示 M = 0 X x 8 + q x 8