1、.word格式,專業(yè).專注第九章微積分證明題工基礎(chǔ)篇L證明方程 統(tǒng)4- 4才-31- 1 = 0有三個(gè)實(shí)根.九證明：每-個(gè)正數(shù)有平方根.隊(duì)證明方程一J 十一JH 口有一根介于I胃2之同，另有一根介于_r 1 工一 ,r 32與3之間.4.證明士若牛。號(hào)+lJj =0,則對(duì)于區(qū)間川內(nèi)的某個(gè)工，有的 “ 1網(wǎng)十I+小工”-Q.5求證工方程1 = s*+4r+/的根本超過(guò)三個(gè).6,沒(méi)”工）干有方或無(wú)窮的區(qū)劃內(nèi)的任一點(diǎn)有有限的導(dǎo)函數(shù)/工人旦 lim /Cj） = lim /（ j;）.證明:存在一，點(diǎn)專 Q，使得了門 = j-orW41#M7.陵八滿足N1）在閉區(qū)何野門 匕布定義Fit? 1）階連續(xù)的

2、導(dǎo)函數(shù) ,f* n（jr）f（2）在區(qū)同11此”,3內(nèi)有修階導(dǎo)函數(shù)/E/3）有卜面的等式成立:/（xD） = /（跖）=* = /（三）（xtt V 1 V 工k）.證明在區(qū)間E*i3內(nèi)至少存在一點(diǎn)已使 S）=必8,假設(shè)函數(shù),（及在工6 1卜迂續(xù).在（。，口內(nèi)二階可導(dǎo)，過(guò)點(diǎn)Ag,S）與 1,/!的直蛭與曲線工與工）相交于點(diǎn)tX小/ SA,其中。 I,回聘】在 8）內(nèi)至少存在一點(diǎn)卜使 h -山見(jiàn)設(shè)$3 在！*2幻上連續(xù)，且/（。）=八射，證明在S,上至少存在一點(diǎn) 事使 /e = /tf+ ）.1。*段/（工）和/公在二口，瓦上連續(xù)，且&g，*b孤b）.證明:存在 ee 使fw = rm11.設(shè)義

3、工）在口用上連續(xù).在&/）內(nèi)可導(dǎo),且/（fl） H fW =0.證明1對(duì)任 f實(shí)數(shù)人存在一點(diǎn)r E （明.怕fM = k/M.】Z設(shè)口 V k必 0,函數(shù)/g 在U/上述續(xù)在S.ZO內(nèi)可遨+旦/（/）= =口.證明t存在一、點(diǎn)W E4口,。*使和=廠L13.設(shè)不恒為常蟻的幅數(shù)/（公在閉區(qū)間L-力上連續(xù).在開(kāi)K間腦.入內(nèi)可導(dǎo). H/（）= *#）.證明在s必）內(nèi)至少存在一點(diǎn)小使得 小公 o,14,設(shè)打工八月（Q 的,口匕茂在二。，|內(nèi)導(dǎo).目/Q）叱求證：三卡W ，使/ 3能存在E 4一力，加使 r（c）-華.設(shè)_r） q（jr）,6上連綾，住內(nèi)可導(dǎo)，證明w存在一點(diǎn)1W （口 使/（ fib）以口

4、）網(wǎng)H.設(shè)了L nf0.試證在此看公之間至少存在一點(diǎn)F,使為/2 g/1（1 eQij 4）.18,設(shè)八工）在上上連續(xù).在腦內(nèi)口將,0w二1求證:生做iSfCr）在腦 內(nèi)可微，且導(dǎo)麗數(shù)/8 在內(nèi)有界，證明 g 在a.b）內(nèi)有界.26設(shè)/（j）在二口,瓦|上連接,除小 Q,A）外,（才）在Q）內(nèi)存在，且 =人求證；，）存在t且（工0）= A21.設(shè)f（具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù).證明:lim i + ? 一 ）-小工打=CH.a-o hh222.國(guó)證工奇函數(shù)在Ml = 0處的泰勒公式中不含有儲(chǔ)次黑頂，而斜函數(shù)則不含 有奇次翻項(xiàng).2孔設(shè)義1十 = yrn冬江工+砧vov n,又/（冷）連續(xù)/7a #o.

5、證明 lim - 4-AT? 4冽.設(shè)人工在h.O匕二階可修,且八 箝）+ f5）, r2私設(shè) 八上） 在（u 內(nèi)二次可做，旦/j）f（x /sea 見(jiàn).設(shè)門G 在0*1上二次可激.且 /（0） = /（I）, fW I.證明工 門4 W3于區(qū)制上成立.證明：aiTlan .r ln( 1 4- t ) ：- : In 2, j任 L ! *】1, 4Z.已知工0,證明g+t. 證明：sin j(0 。上 21。.3L 證明 s V -r Otln j t 1,32.證明：2arLTtdn J ) Jirctan u + arrtan f(a、b 7 U).3工證明：|疝n& sin 6 15

6、 I A u,ctg為任意實(shí)數(shù).34,設(shè) /(x0(x W ,可)求證J i)dLr 山/_1；、3,設(shè)“m.rU)及它們的F方在H上可枳，試證明向西一許瓦茲不等式|M ( I /(j-)d.r) (J3仇設(shè)卻公在明瓦|上可導(dǎo),且f(G = d證明max/ I /x) I dx- Xr 1.顯然/（x）在-8, + K上連續(xù),因 / 0*俄方程f（x）=。在8口內(nèi)至少有一實(shí)棍.乂因/0,故人幻=0在（一 1,6內(nèi)至少有一實(shí)根.又lim /（x） = 8,由極勰性質(zhì)知，3網(wǎng) 。,使/（八）.三兒使得f（b）a, 事宴上,當(dāng)片 1時(shí)”可取4 小當(dāng)以口mH 1 有/（0） /3,應(yīng)用連續(xù)函數(shù)的介值定

7、理可知, 習(xí)看E S 幻使八痂，=V即 =口.這表明對(duì)每一個(gè)正數(shù)u,都有一個(gè)敬心能 滿足扃=匕3/解】令/Q = J 4+ 一”于財(cái)戶用在集介（一3, U H2）U（2,3） U（3* +）上連續(xù).由于lim /（t） =+8. lien /（lim f（工）=co, lim /（xJ = -g, Ll+fli-*3-C根據(jù)極限性質(zhì)知.在區(qū)間（1,2）內(nèi)有兩點(diǎn)門,使人由）八夫）在區(qū)間（2.31 內(nèi)有陽(yáng)點(diǎn)4壬，使“山）人工/內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn),而且（乙的內(nèi)也至少有一個(gè)零點(diǎn).“解】令義工）=華工 +與/+-、/ -7.則3在0，口上連續(xù).在1 士J f 8內(nèi)可導(dǎo).且/（0） = /（U = 0.由羅

8、爾定理.3 jt 01使fS =。.即 u + 口才” =0.1解】令小# 一/一必犬 ” 一公則是連續(xù)旦任贖次可做的函數(shù).下 而用反證法證明.若方程/O） = 0布 4個(gè)根，設(shè)為不 J:d Jr4.分別在區(qū)間4,上萬(wàn)，小. 工二心2上對(duì)人力施用茅爾定理，則3三個(gè)點(diǎn)后牖后，不，V6 Vw* V&V q 小 工也凌J = /（?：）-門&=。,又在區(qū)間&心息，&上分別對(duì)函數(shù)八）應(yīng)用羅爾定理網(wǎng)一/ =/（箏=若（?力】為無(wú)窗區(qū)間不防&a =- 3 .卜=+00.則作代換文一 tan jt字）.可將同即化為有窮區(qū)可上的何甌這時(shí).對(duì)友合函數(shù)S=/IRH t）在有彎區(qū)間 右逐內(nèi)仿前討論可知.三部學(xué).會(huì)使

9、戈門口 一 八公 sec f（i = 口.其中 f = ian （Ct.由于tO / 0*故,，皿1履4.0而令工=埠 于是. 如一f對(duì)復(fù)合函數(shù)小門=/（ 一與在有窮區(qū)間也，）上仿前討論，可知工立魯丘（. 外一F幾便/5）= EK夕產(chǎn) & =0.其中亭=* 唯 6（“,+83由此得 一辦）-I仇,力）/=0.對(duì)日=86為有限數(shù)的情影可類似迸行討論.7解】在杷一個(gè)閉區(qū)間工立口.工* 壬+ 1 ,金門門$1 上* 函數(shù)八外 都滿足羅爾定理的條件,故存在嵬個(gè)點(diǎn) f fFrjr 1 .X .1.* *其中* W Chi ,h* ）a -,使 f （.1 ） 0（i 1.2 -fi）于是* 在每一個(gè)閉區(qū)

10、間匚/葉門一i2+.” 1）匕函散滿足羅爾定理的條件.因此 m工。e a3H3工1】） 0（i 1,2,，廿一1 .繼續(xù)上述步驟，經(jīng)51）次后，得到一個(gè)區(qū)間口:1，H 口 U f4-G”滿足廠” 5 1）=0（k - 1,2）.于是在此區(qū)間上函數(shù)/一 KM礴足羅爾定理的條件， 故至少存在一點(diǎn)口丁士廠）,使/-“） = 0.&【解】證法1設(shè)法找尋南數(shù)/行）的兩個(gè)等值點(diǎn).因 g）在0,門上滿足拉格即H中值過(guò)理的條件.故3 e ,上.使廣（好）=色匕轡由于4點(diǎn)在弦 廣一口AH匕故有八匚轡陰一陰,， r - 01 ,- 0從而有 /年=/ 3/f0）.同理.三基E 八1人使/（梟）=口口一口）十始得/

11、飛門=/晚一.對(duì)函數(shù)/在區(qū)間上應(yīng)用羅爾定理(&點(diǎn))U e,13使/(? = 0.9解】作輔助函數(shù)=/5k。)/.則在一同 上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo).且 F(a) = F(H =。,由羅爾定理知.存在 r E S.Q使 F(u) = 0 EJI /0,故在內(nèi)不含原點(diǎn)，從而網(wǎng)工)在 C4i,63上連續(xù),在儲(chǔ)內(nèi)可導(dǎo)且F(a) = EM = 8由羅爾定理知工5), 便 d =即八二戶飛 = th因Wf*故得半2 =，(缸5E13解】因3 2 旦fU)不蚯為指數(shù).故至少存在一點(diǎn)E儲(chǔ)油3使 / f(a).因f(r)在二人日上滿足拉格朗H中值 定理的條件.故存在&E S.CU露.冷，使八串二-J/(t)/(d) 0

12、.C U對(duì)于門/)的情形可類似證明.14J1M將要證的等式-=不幻一屋目【/門，八)晨幻一了(口)屋工)一/(=)晨制 e - o.注 F(jt ) /(x)g(jr) fQ)g(i) f(.jc)gW SM F(j)在 u J門匕連續(xù)，在S,6) 內(nèi)可導(dǎo)HFGO = F = fD*5r由羅爾定理*QQ) .使F4)3 0,從而* )式成立.15解】在區(qū)間乩切上對(duì)/GH應(yīng)用拉格朗Hfll定理.存在55)，使 /S) /(4=f(c?)rA( ,)1.因八上)是奇函數(shù).故一 “一的=/，從而推得=上盧15.【解】作輔助函數(shù)/(a) /(j)1= 一值心J +爪也)目O由題設(shè)可知小丁)在1,刈上連

13、續(xù).在“用)內(nèi)可導(dǎo).據(jù)擔(dān)格即日中值定理R Q，使甲1.&)=，1目匕a),/(/) /W因此結(jié)愴成i.RSpa）rf（）41：17 J解】先將要證的等式變形一=。一中以理進(jìn)一步變形 心一工1eriJS 力由此可想到對(duì)函數(shù)八力- J在區(qū)間也，心上應(yīng)用柯西中值定理：3 f G 3.4fF fG = /f)g(Tj) g(Tl )7r用此即所要證.A【解】引函數(shù)Fz) =-在a,打上應(yīng)用何西中的定理即嘰JCX19.【解】任取-點(diǎn)再取出仆使d di ci 也在山.可上對(duì)，#)應(yīng)用拉格朗日中值定理，府每一個(gè) (加心3有=/Q 十氏彳一u)QC,06V 1.依圈設(shè)/ 內(nèi)方界設(shè)I/工)| M,又5 上瓦.所

14、以有 /(x) W I 工) + M3 - a).砌 V x 瓦.由“I的任意性知./(x) I&I/)| + 北(小一.)V H V 兒即工)在Q內(nèi)有界.20“解】由拉格朗口中值定理，3 (現(xiàn)，丸+ Am) /(xo)-從 而f 5. lim +* = lim/tf) . lim= A.Air-fl/Ar-+Q21J解】人上)在點(diǎn)上處的一階套勒公式為f(.r h) = F(hJ + f x)h 十 C.其中W介于1與J + ft之間,從而tfAL飪 上注意到當(dāng)&r。時(shí),r4由的連續(xù)性即得lim.，一黑一/一尸16 A L.=lim1/*尊=*/工).22.【解】設(shè)，門為奇函數(shù)”即有八一工）一

15、一八才3則 八幻 在4=0處泰勒 公式為/（x） = A0） +，。工 +=/+ +（尸+凡Q）.在等式/（ H）= 兩邊對(duì)工求勢(shì)次導(dǎo)數(shù)行（）=/工）（一】）*/*（H）（一 1 嚴(yán)嚴(yán) M）=產(chǎn) C- 產(chǎn)廣級(jí)（一口 =一/ （我）（），. 髭然有r（s =。.產(chǎn)Y。）=-。（4=1,、l因此奇南數(shù)/（J）在.r,：=。姓 的泰勒公式中不含有福次蠢項(xiàng).類似可證明隅函數(shù)存4=0的泰勒公式中不含方奇次耗期.Z&【解J應(yīng)用帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式f5-rh） = /（工）+ /（工）力 +”U十 OSD.再利用題給附等式.當(dāng)A充分接近。時(shí).有人/1工+捌 =3）h T ）/71而十以幻叱 La由此得門I

16、八+ 口.tfiZ令人+0取極限,即將lim/? =4冽.【解】記八=3一上八4）在幾處的一階泰勒公式分別為 JW乃）/JTn ）+/（）Ti 打）+；/& ）口】一50）：,J（T；） = /（JTO 4- /（jfl ）j;曰）十,/氣&）（工1;上。,UI其中白介于4與.rff之間;介于4與網(wǎng)之網(wǎng)將匕述二式相加，得/5） +/M） - 2/5） = J廣后孫尸十】八顯心-r由于 /J）&0,所以有 /UJ + /（.r;）-2/（Jo）。，即 /（l_jx） 人工. I51 222L【解】從要證的不等式看出應(yīng)在詼出展開(kāi)義工）* I.其中9介于工與4之間.2伉【解】VlW?？?，由一階泰勒公

17、式.電/0) = /(j7)-r/(x)(0 G -=/*乂0 與)二/ -1 - x) +H1 - x)s1* 具中u $ 工，工冬 l兩式相減得/=yZ(?i 一 ，伍 XI -工兒因?yàn)?r(x) I y l / 十;i /(6,) I (1 -J-)2 T *又由 H E OJ知X-y l/()-4 In 2,則結(jié)論成立.Z8J解】令/ 0.I +x X所以X a時(shí)有f(T)。.即ln(l I x) x 同理可證ln(11工)U工 i29.【解】令f J)= sin jt 21Tt則由/(工)=cos x = 0得駐點(diǎn)心= n兀arcg&2.當(dāng)。仇代公里制上升小rV#V年時(shí) JCr)0,

18、工)單調(diào)卜降.而0) = ,；) - 0,所以當(dāng)。工0時(shí)，有八小即x 2群右.【解】令/(與 =也了一十】.則/(幻=i./j)工0.故f(x)為JCJC上凸函數(shù).易見(jiàn)/ )的最大值為/(1)= o* a f(G的圖形位于工軸的f方.從而 存八工0). t 解】令(h) = aixEan 工 G0) , 則/M)=(工)一八1十r( E十r尸 ”故八川上凸，從而對(duì)任意的“心有 /(一 ?。? fa)卜,此即所要證.3工【解】對(duì)函數(shù)/)=01在區(qū)間5瓦(或九口)上應(yīng)用拉格朗日申值定 理存在介于與5之間，使得I sin b 一 sinzz - cos f b a I | b a ：,34J解】由r5 0 HI嚴(yán)格避堵，并由排格劇U中值定理推得乂?_= /(f /Cjr)(d 5j-k x - a于是有/(#/(+( G/(4(i 明司，由定積