1、八常微分方程初值問題的數(shù)值解2解析Runge-Kutta法的根本思想2Runge-Kutta法的根本思想3二、二階龍格庫塔方法三、三階龍格庫塔方法四、四階龍格庫塔方法解：例2：用經典的Runge-Kutta方法求解下列初值問題 。經典的四階Runge-Kutta公式： 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1.0954 1.1832 1.2649 1.3416 1.4142 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.4832 1.5492 1.6125 1.6733 1.7321同保存5位的準確值完全一致： 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1.0954 1.1832 1.2649

2、1.3416 1.4142 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.4832 1.5492 1.6125 1.6733 1.7321二、高階和隱式Runge-Kutta方法注：對于顯式N級R-K方法，最多只能得到N級方法； N 1,2,3,4 5,6,7 8,910,11, N N-1 N-2已經證明N級R-K方法的階 具有下列關系：假設要得到N階以上方法，那么使用N級隱式R-K方法N級隱式R-K方法的一般形式：N級隱式R-K法可以達到2N階(1)一級二階的隱式中點方法：(2)二級四階的隱式R-K方法：三、變步長方法根本思想：根據(jù)精度自動地選擇步長對于經典Runge-Kutta方法：Ste

3、p1:設從 出發(fā)，以 為步長，經過一步計算得到Step2:取 為步長，再從 出發(fā)，經過兩步計算得到記如果 ，則將步長折半進行計算，直到 為止此時取 為最終結果；如果 ，則將步長加倍進行計算，直到 為止此時將步長折半一次計算，得到的為最終結果。一、收斂性 /*Convergence*/3 單步法的收斂性、相容性和絕對穩(wěn)定性對于初值問題 的一種單步法 產生的近似解，如果 對于任一固定的 ，均有 ，則稱該單步法是收斂的。類似地可以定義隱式單步法、多步法4的收斂性設初值問題（*）對應的下列單步法是 階的，且函數(shù) 滿足對 的Lipschitz條件，即存在常數(shù)則該單步法是收斂的，且證明：記由截斷誤差的定義

4、因為單步法是 階的：滿足其中二、絕對穩(wěn)定性 /*Absolute Stibility*/計算過程中產生的舍入誤差對計算結果的影響首先以Euler公式為例，來討論一下舍入誤差的傳播:設實際計算得到的點 的近似函數(shù)值為 ，其中 為精確值， 為誤差如果 ，則誤差是不增的，故可認為是穩(wěn)定的例如：對于初值問題精確解為而實際求解的初值問題為精確解為在 處的誤差為可見誤差隨著 的增加呈指數(shù)函數(shù)增長如果初值問題為精確解為實際求解的初值問題為精確解為在 處的誤差為可見誤差隨著 的增加呈指數(shù)函數(shù)遞減當 時，微分方程是不穩(wěn)定的；而 時，微分方程是穩(wěn)定的。上面討論的穩(wěn)定性，與數(shù)值方法和方程中 有關實驗方程：對單步法 應用實驗方程，如果 ，當 時，則稱該單步法是絕對穩(wěn)定的，在復平面上復變量 滿足的區(qū)域，稱為該單步法的絕對穩(wěn)定域，它與實軸的交集稱為絕對穩(wěn)定區(qū)間。若單步法是 階的，則由實驗方程可得：例3：分別求Euler法和經典的R-K法的絕對穩(wěn)定區(qū)間。解： Euler公式：將其應用于實驗方程絕對穩(wěn)定域：當 時，絕對穩(wěn)定區(qū)間：經典的R-K公式：當 時，