1、力學量算符的引入第三章 力學量和算符 3.1 力學量算符的引入 算符的運算規(guī)那么 3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù) 3.4 連續(xù)譜本征函數(shù) 3.5 量子力學中力學量的測量 3.6 不確定關系 3.7 守恒與對稱 3.1 力學量算符的引入 在量子力學中。微觀粒子的運動狀態(tài)用波函數(shù)描述。一旦給出了波函數(shù)，就確定了微觀粒子的運動狀態(tài)。在本章中我們將看到：所謂“確定”，是在能給出概率以及能求得平均值意義下說的。一般說來。當微觀粒子處在某一運動狀態(tài)時，它的力學量，如坐標、動量、角動量、能量等，不同時具有確定的數(shù)值，而具有一系列可能值，每一可能值、均以一定的概率出現(xiàn)。當給定描述這一運動狀態(tài)的波函數(shù) 后，

2、力學量出現(xiàn)各種可能值的相應的概率就完全確定。利用統(tǒng)計平均的方法，可以算出該力學量的平均值，進而與實驗的觀測值相比較。既然一切力學量的平均值原則上可由 給出，而且這些平均值就是在 所描述的狀態(tài)下相應的力學量的觀測結(jié)果，在這種意義下認為，波函數(shù)描寫了粒子的運動狀態(tài)。3.1 力學量算符的引入 力學量的平均值 對以波函數(shù) 描述的狀態(tài)，按照波函數(shù)的統(tǒng)計解釋， 表示在t時刻在 中找到粒子的幾率，因此坐標的平均值顯然是:（3.1.1）坐標 的函數(shù) 的平均值是：(3.1.2)3.1 力學量算符的引入 現(xiàn)在討論動量的平均值。顯然， 的平均值 不能簡單的寫成 ，因為 只表示 在 中的概率而不代表在 中找到粒子 的

3、概率。要計算 ，應該先找到在 時刻，在 中找到粒子的概率 ，這相當于對 作傅里葉變化，而 有公式 給出。動量 的平均值可表示為(3.1.3)（3.1.4)3.1 力學量算符的引入 但前述做法比較麻煩，下面我們將介紹一種直接從計算動量平均值的方法。由（3.1.4)式得（3.1.5)利用公式（3.1.6)3.1 力學量算符的引入可以得到（3.1.7）（3.1.8）記動量算符為（3.1.9）則（3.1.10）從而有3.1 力學量算符的引入（3.1.11）例如：動能的平均值是（3.1.12）角動量 的平均值是 綜上所述，我們得出，在求平均值的意義下，力學量可以用算符來代替。3.1 力學量算符的引入 下面我們來介紹動量算符的物理意義。為簡單考慮一維運動，設量子體系沿 方向做一空間平移 ，這是狀態(tài)由原 變?yōu)?，如圖所示。0（3.1.13）顯然若 ，可做泰勒展開（3.1.14）3.1 力學量算符的引入（3.1.15）即當 在無窮小的情況下，取準確到一級項有因此，狀態(tài) 經(jīng)空間平移后變成另一態(tài) ，它等于某個變量算作用于原來態(tài)上的結(jié)果，而該變換算符可由動量算符來表達 ，特別在無窮小移動的情況下，動量算符純粹反映著空間平移的特性，所以動量算符又稱為空間平移無窮小算符，動量