1、PAGE 15專題27 應(yīng)用基本不等式求最值的求解策略【高考地位】基本不等式是不等式一章重要內(nèi)容之一，是求函數(shù)最值的一個(gè)重要工具，也是高考?？嫉囊粋€(gè)重要知識(shí)點(diǎn)。應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握基本不等式成立的三個(gè)條件“一正二定三相等”，忽略理任何一個(gè)條件，就會(huì)導(dǎo)致解題失敗，因此熟練掌握基本不等式求解一些函數(shù)的最值問(wèn)題的解題策略是至關(guān)重要的?！痉椒c(diǎn)評(píng)】方法一 湊項(xiàng)法使用情景：某一類函數(shù)的最值問(wèn)題解題模板：第一步 根據(jù)觀察已知函數(shù)的表達(dá)式，通常不符合基本不等式成立的三個(gè)條件“一正二定三相等”，將其配湊（湊項(xiàng)、湊系數(shù)等）成符合其條件； 第二步 使用基本不等式對(duì)其進(jìn)行求解即可；第三步 得出結(jié)論.例1

2、已知點(diǎn)A在線段BC上（不含端點(diǎn)），O是直線BC外一點(diǎn)，且,則的最小值是_【答案】【變式演練1】已知，求函數(shù)的最大值?！敬鸢浮?【解析】試題分析：因，所以首先要“調(diào)整”符號(hào)，又不是常數(shù)，所以對(duì)要進(jìn)行拆、湊項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)時(shí)，。點(diǎn)評(píng)：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。【變式演練2】求函數(shù)的最小值。【答案】8.方法二 分離法使用情景：某一類函數(shù)的最值問(wèn)題解題模板：第一步 首先觀察已知函數(shù)的表達(dá)式的特征，如分子（或分母）是二次形式且分母（或分子）是一次形式； 第二步 把分母或分子的一次形式當(dāng)成一個(gè)整體，并將分子或分母的二次形式配湊成一次形式的二次函數(shù)形式； 第

3、三步 將其化簡(jiǎn)即可得到基本不等式的形式，并運(yùn)用基本不等式對(duì)其進(jìn)行求解即可得出所求的結(jié)果.例2 求的值域?！敬鸢浮吭斠?jiàn)解析. 【解析】試題分析：當(dāng),即時(shí),（當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“”號(hào)）?！痉椒c(diǎn)晴】本題看似無(wú)法運(yùn)用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x1）的項(xiàng)，再將其分離。分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開(kāi)或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開(kāi)再利用不等式求最值。即化為，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用基本不等式來(lái)求最值?！咀兪窖菥?】求函數(shù)的最值。【答案】詳見(jiàn)解析.方法三 函數(shù)法使用情景：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)，若遇等號(hào)取不到的情況解題模板：第一步 運(yùn)用湊項(xiàng)或換元法將所給的函數(shù)化簡(jiǎn)為滿足基本不等式

4、的形式； 第二步 運(yùn)用基本不等式并檢驗(yàn)其等號(hào)成立的條件，若等號(hào)取不到則進(jìn)行第三步，否則，直接得出結(jié)果即可； 第三步 結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，并運(yùn)用其圖像與性質(zhì)求出其函數(shù)的最值即可； 第四步 得出結(jié)論.例3 求函數(shù)的值域?！敬鸢浮吭斠?jiàn)解析.【變式演練4】下列函數(shù)中，最小值為4的是（ ）A B（）C D【答案】C【解析】試題分析：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選C.考點(diǎn)：基本不等式【高考再現(xiàn)】1.【2017山東理，7】若，且，則下列不等式成立的是（A） （B）（C） （D）【答案】B【解析】試題分析：因?yàn)?，且，所?，所以選B. 【考點(diǎn)】1.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì).2.基本不等式.【名師點(diǎn)睛】比較冪或?qū)?shù)值

5、的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較,若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進(jìn)行比較.本題雖小，但考查的知識(shí)點(diǎn)較多，需靈活利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式作出判斷.2. 【2015高考四川，理9】如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則mn的最大值為（ ）（A）16 （B）18 （C）25 （D）【答案】B【考點(diǎn)定位】函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用.【名師點(diǎn)睛】首先弄清拋物線的開(kāi)口方向和對(duì)稱軸，結(jié)合所給單調(diào)區(qū)間找到m、n滿足的條件，然后利用基本不等式求解.本題將函數(shù)的單調(diào)性與基本不等式結(jié)合考查，檢測(cè)了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解題的能力.在知識(shí)的交匯點(diǎn)命題，這是高考的一個(gè)方向，這類

6、題往往以中高檔題的形式出現(xiàn).3. 【2015高考湖南，文7】若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為( )A、 B、2 C、2 D、4【答案】C【解析】，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以的最小值為，故選C.【考點(diǎn)定位】基本不等式【名師點(diǎn)睛】基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，因此可以用在一些不等式的證明中，還可以用于求代數(shù)式的最值或取值范圍如果條件等式中，同時(shí)含有兩個(gè)變量的和與積的形式，就可以直接利用基本不等式對(duì)兩個(gè)正數(shù)的和與積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后通過(guò)解不等式進(jìn)行求解4. 【2015高考福建，文5】若直線過(guò)點(diǎn)，則的最小值等于（ ）A2 B3 C4 D5【答案】C【考點(diǎn)定位】基本不等

7、式【名師點(diǎn)睛】本題以直線方程為背景考查基本不等式，利用直線過(guò)點(diǎn)尋求變量關(guān)系，進(jìn)而利用基本不等式求最小值，要注意使用基本不等式求最值的三個(gè)條件“正，等，定”，屬于中檔題5.【2017江蘇，10】某公司一年購(gòu)買某種貨物600噸，每次購(gòu)買噸，運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為萬(wàn)元,要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)之和最小,則的值是 .【答案】30【解析】總費(fèi)用，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.【考點(diǎn)】基本不等式求最值【名師點(diǎn)睛】在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，

8、否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.6.【2017山東文，12】若直線 過(guò)點(diǎn)（1,2）,則2a+b的最小值為 .【答案】【解析】【考點(diǎn)】基本不等式【名師點(diǎn)睛】應(yīng)用基本不等式解題一定要注意應(yīng)用的前提：“一正”“二定”“三相等”所謂“一正”是指正數(shù),“二定”是指應(yīng)用基本不等式求最值時(shí),和或積為定值,“三相等”是指滿足等號(hào)成立的條件在利用基本不等式求最值時(shí),要根據(jù)式子的特征靈活變形,配湊出積、和為常數(shù)的形式,然后再利用基本不等式7. 【2015高考重慶，文14】設(shè),則的最大值為_(kāi).【答案】【解析】由兩邊同時(shí)加上得兩邊同時(shí)開(kāi)方即得：（且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”），從而有（當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)，“=”成立），故填：.【考點(diǎn)定位】基本不

9、等式.【名師點(diǎn)睛】本題考查應(yīng)用基本不等式求最值，先將基本不等式轉(zhuǎn)化為（a0,b0且當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”）再利用此不等式來(lái)求解.本題屬于中檔題，注意等號(hào)成立的條件.8.【2017天津理，12】若，則的最小值為_(kāi).【答案】 【考點(diǎn)】均值不等式【名師點(diǎn)睛】利用均指不等式求最值要靈活運(yùn)用兩個(gè)公式，（1） ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；（2） ， ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；首先要注意公式的使用范圍，其次還要注意等號(hào)成立的條件；另外有時(shí)也考查利用“等轉(zhuǎn)不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.9. 【2015高考天津，文12】已知 則當(dāng)a的值為 時(shí)取得最大值.【答案】4【反饋練習(xí)】1【安徽省蒙城縣2018屆高三上學(xué)期“五校

10、”聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題】已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，若存在兩項(xiàng)使得，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列滿足，所以，即，解得，因?yàn)榇嬖趦身?xiàng)使得，所以，整理，得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即等號(hào)成立，故選B.2【黑龍江省齊齊哈爾市2017屆高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題】設(shè)，若恒成立，則的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由于，則= 當(dāng)2m=1-2m即m=時(shí)取等號(hào)；所以恒成立，轉(zhuǎn)化為的最小值大于等于，即 ；故選D 3【豫西南部分示范性高中2017-2018年高三年級(jí)第一學(xué)期聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題】已知正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為2，若，則的最小值

11、等于（ ）A. 1 B. C. D. 【答案】C 4【安徽省十大名校2018屆高三11月聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題】若正數(shù)滿足，則（ ）A. 有最小值36，無(wú)最大值 B. 有最大值36,無(wú)最小值C. 有最小值6，無(wú)最大值 D. 有最大值6，無(wú)最小值【答案】A【解析】 因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，解得，即，則的最小值為，無(wú)最大值，故選A.5【廣西桂林市柳州市2018年屆高三綜合模擬金卷（1）理科數(shù)學(xué)試題】已知圓和圓只有一條公切線，若且，則的最小值為（ ）A. 2 B. 4 C. 8 D. 9【答案】D 6【2018屆高三南京市聯(lián)合體學(xué)校調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題】已知實(shí)數(shù) ， ，且滿足，則的最小值為_(kāi)【答案】【解析】

12、 ，則 ，設(shè) ，則由已知可得 解得 ，當(dāng)且僅當(dāng) 即 時(shí)等號(hào)成立即答案為7【遼寧省鞍山市第一中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題】函數(shù)（且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，其中均大于0，則的最小值為_(kāi)【答案】【解析】函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A(-3,-1),則,即.8【江蘇省常州市2018屆高三上學(xué)期武進(jìn)區(qū)高中數(shù)學(xué)期中試題】已知， ， ，則的最大值為_(kāi).【答案】 9【江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)2018屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（文）試題】已知， ， ，則的最小值為_(kāi).【答案】【解析】原式故答案為10【2017-2018學(xué)年度第一學(xué)期江蘇省常州北郊華羅庚江陰高中三校聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試題】設(shè)是正實(shí)數(shù)，滿足，則的

13、最大值為_(kāi)【答案】【解析】由題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)且，即且時(shí)等號(hào)成立。所以。11【上海市交通大學(xué)附屬中學(xué)2018屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題】已知兩正實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為_(kāi)【答案】 12【江西省新余市第一中學(xué)2018屆畢業(yè)年級(jí)第二模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題】函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，且為正數(shù)，則的最小值為_(kāi)【答案】4【解析】函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)， ， 點(diǎn)在直線上， ， ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)， 時(shí)， 的最小值為，故答案為.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及利用基本不等式求最值，屬于難題.利用基本不等式求最值時(shí)，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。?；三相等是，最后一定要驗(yàn)證等號(hào)能否成立（主要注意兩點(diǎn)，一是相等時(shí)參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用或時(shí)等號(hào)能否同時(shí)成立）.13【山東省德州市2017-2018學(xué)年高三年級(jí)上學(xué)期期中預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)（文科）試題】如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇AMPN，要求B點(diǎn)在AM上，D點(diǎn)在A