工數(shù)復(fù)變函數(shù)第六章x6_第1頁
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文檔簡介

1、 1. 分式線性映射的定義 2. 分式線性映射的性質(zhì)2 分式線性映射1. 分式線性映射的定義定義 分式線性映射(1)總可以分解成下述三種特殊映射的復(fù)合：稱為：平移整線性反演事實(shí)上，定義roxyP 規(guī)定無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的對稱點(diǎn)為圓心ooTP1ox,uy,vzw2. 分式線性映射的性質(zhì)是解析函數(shù)，因此是共形映射至于 z 0和 z 我們作規(guī)定：兩條伸向無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的曲線在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的夾角在大小方向上都與它們在映射的兩條曲線在原點(diǎn)處的夾角大小、方向相同。下所映成的通過原點(diǎn)所以當(dāng) z 0， z 時w 1z由于w az b a 0，所以w az b在復(fù)平面上是共形的，為了討論這個映射在 z 處的共形問題，我們令：則且所

2、以是共形的，因此有w az b a 0在擴(kuò)充復(fù)平面上是共形映射在 0處，即w az b 在 z 處定理1定理2 在分式線性映射下，如圓周或直線上沒有點(diǎn) 映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，則它映射成半徑為有限的圓周； 若有一點(diǎn)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，它就映射成直線。 首先我們來闡明關(guān)于圓周的對稱點(diǎn)的一個重要特性，即 z1 ,z2 是關(guān)于圓周C :z z0 R 的一對對稱點(diǎn)的充要條件是經(jīng)過 z1 ,z2 的任何圓周與C 正交CRz0z1z2zG事實(shí)上，如果C 是一條直線結(jié)論顯然成立如果C :z z0 R，當(dāng)為過z1 ,z2 的直線時，則 一定通過圓心 z0 ,因此C與正交當(dāng)為半徑有限的圓周時，由點(diǎn)z0作的切線，切點(diǎn)為z ，因此由平面解析幾何知識得z z02 z2 z0z1 z0 R2 因此z 在圓周C上，的切線為C半徑，即C與正交反過來，設(shè)是過z1 ,z2 的與C正交的任意圓周，那么特別連接z1 ,z2 的直線必與C正交，因此必通過C的圓心，如果是半徑有限的圓周，那么與C 在交點(diǎn)z 處正交，因此C的半徑z0z 為的切線，所以有因此

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