1、第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 控制工程基礎(chǔ)控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程拉氏變換及反變換傳遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)框圖及其簡化信號流圖及梅遜公式第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)一、傳遞函數(shù)的概念 線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(Transfer Function)：當(dāng)初始條件為零時，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。 設(shè)線性定常系統(tǒng)輸入為r(t)，輸出為c(t)，描述系統(tǒng)的常微分方程的一般形式為 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)為 (2-54)當(dāng)初始條件為零時，對上式兩邊進行拉氏變換，得 (2-53)傳遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)1.描述系統(tǒng)本身的固有特性，與輸入量/輸出量無關(guān)；2.不

2、同的物理系統(tǒng)，若其動態(tài)特性相同，可用同一傳遞函數(shù)描述。 傳遞函數(shù)分母多項式中 s 的最高冪數(shù)代表了系統(tǒng)的階數(shù)，如 s的最高冪數(shù)為n，則該系統(tǒng)為 n 階系統(tǒng)。 傳遞函數(shù)的特性：對于傳遞函數(shù) 對分子分母因式分解可以得到 其中， 為傳遞函數(shù)的 零點， 為傳遞函數(shù)的極點?？梢妭鬟f函數(shù) 有m個零點，n個極點和一個實常數(shù)倍數(shù) 。這些零點和極點中當(dāng)然可以有重零點和重極點。 零點和極點是控制理論中重要的概念，它們在控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計中有著重要的作用。二、傳遞函數(shù)的零點和極點傳遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)三、基本環(huán)節(jié)(又稱典型環(huán)節(jié))的傳遞函數(shù) 幾點重要說明：根據(jù)元件的功能來研究元件，如測量、放大、執(zhí)行元件等，主

3、要用于研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、組成、控制原理按照運動方程式將元件或系統(tǒng)劃分為若干環(huán)節(jié)，主要用于建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，研究系統(tǒng)的特性一個系統(tǒng)可看作由一些基本環(huán)節(jié)組成，能組成獨立的運動方程式的部分便稱為環(huán)節(jié)環(huán)節(jié)可以是一個元件，也可以是一個元件的一部分或由幾個元件組成，而方程的系數(shù)僅與該環(huán)節(jié)元件的參數(shù)有關(guān)，與其它環(huán)節(jié)無關(guān)，有時稱為“單向元件”環(huán)節(jié)。傳遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)1、比例環(huán)節(jié)（又稱放大環(huán)節(jié)） p1p0F 輸出量與輸入量成正比的環(huán)節(jié)稱為比例環(huán)節(jié)。即 經(jīng)拉氏變換后 故比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 如一個理想的電子放大器的放大系數(shù)或增益、齒輪傳動的傳動比均為比例環(huán)節(jié)。 (2-55)傳

4、遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)2、慣性環(huán)節(jié)（又稱非周期環(huán)節(jié)）ui(t) R uo(t) i(t)C 在這類環(huán)節(jié)中，因含有儲能元件，故對突變形式的輸入信號，不能立即輸送出去。其微分方程為 對上式進行拉氏變換，求得慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 式中K放大系數(shù)； T時間常數(shù)。 傳遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)3、微分環(huán)節(jié) xq1q2輸出正比于輸入的微分的環(huán)節(jié)，稱微分環(huán)節(jié)，即 其傳遞函數(shù)為 微分時間常數(shù) 傳遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)4、積分環(huán)節(jié) qq2x輸出正比于輸入的積分的環(huán)節(jié)稱積分環(huán)節(jié)，即 其傳遞函數(shù)為 T 積分時間常數(shù) 傳遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)5、振蕩環(huán)節(jié)在這類環(huán)節(jié)含有兩種儲能元件，在信號傳遞過程中，因能量

5、的的轉(zhuǎn)換而使其輸出帶有振蕩的性質(zhì)，其微分方程為 對上式進行拉氏變換，求得振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為式中n無阻尼固有頻率 阻尼比 傳遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)6、一階微分環(huán)節(jié) 7、二階微分環(huán)節(jié) 描述該環(huán)節(jié)輸出、輸入間的微分方程具有如下形式 其傳遞函數(shù)為 描述該環(huán)節(jié)輸出、輸入間的微分方程具有如下形式 其傳遞函數(shù)為 傳遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)8、延時環(huán)節(jié) X(t)X(t-)該環(huán)節(jié)的輸出滯后輸入時間后不失真地復(fù)現(xiàn)輸入，其數(shù)學(xué)描述式為 其傳遞函數(shù)為控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程拉氏變換及反變換傳遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)框圖及其簡化信號流圖及梅遜公式第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型方框圖及其簡化 框圖(Block

6、 Diagram)是系統(tǒng)中各個元件功能和信號流向的圖解表示，又稱為方塊圖。 系統(tǒng)運動規(guī)律系統(tǒng)的線性化微分方程求解微分方程系統(tǒng)的傳遞函數(shù)系統(tǒng)方塊圖求解拉氏反變換求解拉氏反變換 系統(tǒng)的方塊結(jié)構(gòu)圖（簡稱結(jié)構(gòu)圖或方塊圖）：將各個環(huán)節(jié)用帶有傳遞函數(shù)的方塊表示，再把各個環(huán)節(jié)之間按信息傳遞方向用箭頭相連。 系統(tǒng)的方塊結(jié)構(gòu)圖不僅直觀而且形象地表明了系統(tǒng)信號的作用原理，而且定量地描述了系統(tǒng)的動態(tài)特性，是系統(tǒng)原理方塊圖與數(shù)學(xué)方程的結(jié)合，是用圖形表示的數(shù)學(xué)模型。方框圖及其簡化一、方框圖單元、比較點和引出點引出點: 引出點表示信號引出和測量的位置，同一位置引出的幾個信號，在大小和性質(zhì)上完全一樣。 方塊圖單元G(s)輸

7、入R(s)輸出X(s)比較點:比較點代表兩個或兩個以上的輸入信號進行相加或 相減的元件，或稱比較器。箭頭上的“+”或“”表示 信號相加或相減，相加減的量應(yīng)具有相同的量綱。 輸入R(s)輸出E(s) = R(s) - B(s)輸入B(s)C(s)C(s)方框圖及其簡化二、系統(tǒng)構(gòu)成方式及運算法則 系統(tǒng)各環(huán)節(jié)之間一般有三種基本連接方式，串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接，方塊圖運算法則是求取方塊圖不同連接方式下等效傳遞函數(shù)的方法。1、串聯(lián)連接 由串聯(lián)環(huán)節(jié)所構(gòu)成的系統(tǒng)，當(dāng)無負(fù)載效應(yīng)影響時，它的總傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。當(dāng)系統(tǒng)由n個環(huán)節(jié)串聯(lián)而成時，總傳遞函數(shù)為 (2-56)方框圖及其簡化2、并聯(lián)連接 并聯(lián)環(huán)

8、節(jié)所構(gòu)成的總傳遞函數(shù)，等于各并聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之和/差。C1(s)G(s)R(s)C(s)G1(s)G2(s)R(s) C(s)C2(s)方框圖及其簡化3、反饋連接 反饋，是將系統(tǒng)或某一環(huán)節(jié)的輸出量，全部或部分地通過反饋回路回輸?shù)捷斎攵耍种匦螺斎氲较到y(tǒng)中去。 即輸出對輸入有影響。反饋與輸入相加的稱為“正反饋”，與輸入相減的稱為“負(fù)反饋”。 R(s)E(s)B(s)G(s)H(s)C(s)方框圖及其簡化整個閉環(huán)傳遞函數(shù)是由前向傳遞函數(shù)和開環(huán)傳遞函數(shù)構(gòu)成 。式中， 當(dāng)為負(fù)反饋時取 “+”，正反饋時取 “-” 。閉環(huán)傳遞函數(shù)：輸出信號與輸入信號之比前向傳遞函數(shù)：輸出信號與偏差信號之比 反饋傳遞函數(shù)：

9、反饋信號與輸出信號之比開環(huán)傳遞函數(shù)：反饋信號與偏差信號之比方框圖及其簡化三、方框圖變換法則1. 比較點前移/后移AG-BABG(s)AG1/G(s)AAG-BBG(s)A-B/GAAG-BGBG(s)A-BAG-BGABGG(s)AGG(s)B方框圖及其簡化2. 引出點前移/后移G(s)AAGG(s)AGAGAG(s)AGAGAG(s)A1/G(s)AAG(s)AG方框圖及其簡化例2-15 試化簡如圖所示系統(tǒng)的方框圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。AR(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G5(s)G6(s)G7(s)C(s)_解: R(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G6(s)G7(

10、s)G5(s)C(s)1G4(s)_方框圖及其簡化R(s)C(s)G1(s)G7(s)1+G2(s)G3(s)G4(s)G2(s)G3(s)G5(s)G3(s)G4(s)G6(s)_C(s)R(s)G1(s)G2(s)G5(s)G7(s)1G4(s)1+G3(s)G4(s)G3(s)G4(s)G6(s)_方框圖及其簡化所以最后消去回路 方框圖及其簡化例2-16 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖1所示，試用化簡法求傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。解：（1）將兩條前饋通路分開，改畫成圖2（a）的形式。（2）將小前饋并聯(lián)支路相加，得圖2（b）。（3）先用串聯(lián)公式，再用并聯(lián)公式將支路化簡為圖2（c）。圖1圖2運算電路-

11、線性動態(tài)電路的復(fù)頻域分析基爾霍夫定律的時域表示：1.基爾霍夫定律的運算形式根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì)得KCL、KVL的運算形式對任一結(jié)點對任一回路運算電路-線性動態(tài)電路的復(fù)頻域分析u=Ri2.電路元件的運算形式 電阻R的運算形式取拉氏變換電阻的運算電路uR(t)i(t)R+-時域形式：R+-運算電路-線性動態(tài)電路的復(fù)頻域分析 電感L的運算形式取拉氏變換,由微分性質(zhì)得L的運算電路i(t)+ u(t) -L+ -sLU(s)I(s)+-時域形式：sL+ U(s)I(s ) -運算電路-線性動態(tài)電路的復(fù)頻域分析 電容C的運算形式C的運算電路i(t)+ u(t) -C時域形式：取拉氏變換,由積分性質(zhì)得+

12、-1/sCU(s)I(s)-+1/sCCu(0)+ U(s)I(s ) -運算電路-線性動態(tài)電路的復(fù)頻域分析3. RLC串聯(lián)電路的運算形式u (t)RC-+iLU (s)R1/sC-+sLI (s)時域電路 拉氏變換運算電路運算阻抗運算電路-線性動態(tài)電路的復(fù)頻域分析運算形式的歐姆定律u (t)RC-+iL+-U (s)R1/sC-+sLI (s)+-Li(0)拉氏變換運算電路-線性動態(tài)電路的復(fù)頻域分析 電壓、電流用象函數(shù)形式； 元件用運算阻抗或運算導(dǎo)納表示； 電容電壓和電感電流初始值用附加電源表示。電路的運算形式小結(jié)方框圖及其簡化例2-17 RC網(wǎng)絡(luò)如圖1所示，其中u1為網(wǎng)絡(luò)輸入量，u2為網(wǎng)絡(luò)

13、輸出量， 畫出網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖。 解：（1） 用復(fù)阻抗寫出原始方程組。 輸入回路 ： 輸出回路 ： 中間回路 ： 圖1方框圖及其簡化圖2（2）整理成因果關(guān)系式。 即可畫出結(jié)構(gòu)圖如圖2所示：方框圖及其簡化例2-18已知機械系統(tǒng)如圖1（a）所示，電氣系統(tǒng)如圖1（b）所示，試畫出兩系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求出傳遞函數(shù)，證明它們是相似系統(tǒng)。圖1解：（1）若圖1（a）所示機械系統(tǒng)的運動方程，遵循以下原則并聯(lián)元件的合力等于兩元件上的力相加，平行移動，位移相同，串聯(lián)元件各元件受力相同，總位移等于各元件相對位移之和。 微分方程組為：方框圖及其簡化圖2取拉氏變換，并整理成因果關(guān)系有：畫結(jié)構(gòu)圖如圖2所示：方框圖及其簡化求傳遞函數(shù)

14、為：（2）寫圖1（b）所示電氣系統(tǒng)的運動方程，按電路理論，遵循的定律與機械系統(tǒng)相似，即并聯(lián)元件總電流等于兩元件電流之和，電壓相等。串聯(lián)元件電流相等，總電壓等于各元件分電壓之和，可見，電壓與位移互為相似量電流與力互為相似量。運動方程可直接用復(fù)阻抗寫出：方框圖及其簡化整理成因果關(guān)系：畫結(jié)構(gòu)圖如圖3所示：圖3求傳遞函數(shù)為：方框圖及其簡化 對上述兩個系統(tǒng)傳遞函數(shù)，結(jié)構(gòu)圖進行比較后可以看出。兩個系統(tǒng)是相似的。機一電系統(tǒng)之間相似量的對應(yīng)關(guān)系見表1表1：相似量控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程拉氏變換及反變換傳遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)框圖及其簡化信號流圖及梅遜公式第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型信號流圖及梅遜公式一

15、、信號流圖 信號流圖(Signal Flow Graph)是信號流程圖的簡稱，是與方框圖等價的描述變量之間關(guān)系的圖形表示方法 信號流圖尤其適用于復(fù)雜系統(tǒng)，其簡化方法與方框圖的簡化方法是相同的。 11E(s)G(s)H(s)_GH(s)(s)E(s)C(s)R(s)C(s)C(s)R(s) 信號流圖是表示一組聯(lián)立線性代數(shù)方程的網(wǎng)絡(luò)圖，也是一種用圖形表示的數(shù)學(xué)模型。 信號流圖由節(jié)點和支路組成。 信號流圖可由系統(tǒng)的方塊圖按對應(yīng)關(guān)系得到；也可按微分方程繪制。系統(tǒng)的方塊圖和信號流圖的對應(yīng)關(guān)系信號流圖術(shù)語節(jié)點：圓圈變量支路：連接兩個節(jié)點的有向線段輸入支路：指向節(jié)點的支路輸出支路：離開節(jié)點的支路源節(jié)點（輸入

16、節(jié)點）：只有輸出支路的節(jié)點（輸入量）匯節(jié)點（輸出節(jié)點）：只有輸入支路的節(jié)點（輸出量）混合節(jié)點：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點（中間變量）前向通道：從源節(jié)點到匯節(jié)點經(jīng)過任一節(jié)點不超過一次的通道?；芈罚浩瘘c和終點為同一節(jié)點，且與其它節(jié)點相交不多于一次的閉環(huán)通路。不接觸回路：相互間沒有公共節(jié)點的回路。支路傳輸（增益）：一個變量對另一個變量的函數(shù)關(guān)系。信號流圖及梅遜公式二、梅遜公式注:梅遜公式的推導(dǎo)可參閱有關(guān)文獻。 根據(jù)梅遜公式(Mason Rule)直接求取方框圖的傳遞函數(shù)或信號流圖的傳輸，梅遜公式為式中: 從源節(jié)點至任何節(jié)點的傳輸； 第k條前向通道的傳輸； 信號流圖的特征式，是信號流圖所表示的方程組的系數(shù)行列式，其表達式為 T 信號流圖及梅遜公式信號流圖可不經(jīng)過簡化，直接求出輸入節(jié)點和輸出節(jié)點之間的總增益（總傳輸），即閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。P總增益；n從源節(jié)點到匯節(jié)點的前向通道數(shù)；Pk第k條前向通道的增益；信號流圖的特征式； 所有不同回路增益之和； 所有兩個互不接觸回路增益乘積之和； 所有三個互不接觸回路增益乘積之和；k第k條前向通道特征式的余因子，也就是除去了與第k條前向通道接觸的回路后，殘余信號流圖的特征式。小結(jié) 建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是分析和設(shè)計系統(tǒng)的基礎(chǔ)。本章主要介紹用機理法建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法以及數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系。同一個系統(tǒng)可