1、高等數(shù)學(xué)1學(xué)習(xí)輔導(dǎo)(一)第一章 函數(shù)理解函數(shù)的概念；掌握函數(shù)中符號f ( )的含義；了解函數(shù)的兩要素；會求函數(shù)的定義域及函數(shù)值；會判斷兩個函數(shù)是否相等。兩個函數(shù)相等的充分必要條件是定義域相等且對應(yīng)關(guān)系相同。了解函數(shù)的主要性質(zhì)，即單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性。假設(shè)對任意，有，那么稱為偶函數(shù)，偶函數(shù)的圖形關(guān)于軸對稱。假設(shè)對任意，有，那么稱為奇函數(shù)，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱。掌握奇偶函數(shù)的判別方法。掌握單調(diào)函數(shù)、有界函數(shù)及周期函數(shù)的圖形特點(diǎn)。熟練掌握根本初等函數(shù)的解析表達(dá)式、定義域、主要性質(zhì)和圖形。根本初等函數(shù)是指以下幾種類型：常數(shù)函數(shù)：冪函數(shù)：指數(shù)函數(shù)：對數(shù)函數(shù)：三角函數(shù)：反三角函數(shù)：了解復(fù)合函

2、數(shù)、初等函數(shù)的概念，會把一個復(fù)合函數(shù)分解成較簡單的函數(shù)。如函數(shù)可以分解，。分解后的函數(shù)前三個都是根本初等函數(shù)，而第四個函數(shù)是常數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的和。會列簡單的應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系式。例題選解一、填空題設(shè)，那么。解：設(shè)，那么，得故。函數(shù)的定義域是。解：對函數(shù)的第一項(xiàng)，要求且，即且；對函數(shù)的第二項(xiàng)，要求，即。取公共局部，得函數(shù)定義域?yàn)椤：瘮?shù)的定義域?yàn)?，那么的定義域是。解：要使有意義，必須使，由此得定義域?yàn)?。函?shù)的定義域?yàn)?。解：要使有意義，必須滿足且，即成立，解不等式方程組，得出，故得出函數(shù)的定義域?yàn)?。設(shè)，那么函數(shù)的圖形關(guān)于對稱。解：的定義域?yàn)?，且有即是偶函數(shù)，故圖形關(guān)于軸對稱。二、單項(xiàng)選擇題以下各

3、對函數(shù)中，是相同的。A.；B.；C.；D.解：A中兩函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同, ， B, D三個選項(xiàng)中的每對函數(shù)的定義域都不同，所以A B, D都不是正確的選項(xiàng)；而選項(xiàng)C中的函數(shù)定義域相等，且對應(yīng)關(guān)系相同，應(yīng)選項(xiàng)C正確。設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，那么函?shù)的圖形關(guān)于對稱。A.yx；B.x軸；C.y軸；D.坐標(biāo)原點(diǎn)解：設(shè)，那么對任意有即是奇函數(shù)，故圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱。選項(xiàng)D正確。 3設(shè)函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)是A.單調(diào)減函數(shù)； B.有界函數(shù)；C.偶函數(shù)； D.周期函數(shù)解：A, B, D三個選項(xiàng)都不一定滿足。設(shè)，那么對任意有即是偶函數(shù)，應(yīng)選項(xiàng)C正確。函數(shù) A.是奇函數(shù)； B. 是偶函數(shù)；C.既奇函數(shù)又是偶函

4、數(shù)； D.是非奇非偶函數(shù)。解：利用奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行驗(yàn)證。 所以B正確。假設(shè)函數(shù)，那么 A.； B. ；C.； D. 。解：因?yàn)樗阅敲?，?yīng)選項(xiàng)B正確。第二章 極限與連續(xù)知道數(shù)列極限的“定義；了解函數(shù)極限的描述性定義。理解無窮小量的概念；了解無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)及其與無窮大量的關(guān)系；知道無窮小量的比擬。無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)主要有：有限個無窮小量的代數(shù)和是無窮小量；有限個無窮小量的乘積是無窮小量；無窮小量和有界變量的乘積是無窮小量。熟練掌握極限的計(jì)算方法：包括極限的四那么運(yùn)算法那么，消去極限式中的不定因子，利用無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)，有理化根式，兩個重要極限，函數(shù)的連續(xù)性等方法。求極限有幾種典型的類型1

5、23熟練掌握兩個重要極限：或重要極限的一般形式：或利用兩個重要極限求極限，往往需要作適當(dāng)?shù)淖儞Q，將所求極限的函數(shù)變形為重要極限或重要極限的擴(kuò)展形式，再利用重要極限的結(jié)論和極限的四那么運(yùn)算法那么，如理解函數(shù)連續(xù)性的定義；會判斷函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性；會求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間；了解函數(shù)間斷點(diǎn)的概念；會對函數(shù)的間斷點(diǎn)進(jìn)行分類。間斷點(diǎn)的分類：點(diǎn)是的間斷點(diǎn)，假設(shè)在點(diǎn)的左、右極限都存在，那么稱為的第一類間斷點(diǎn)；假設(shè)在點(diǎn)的左、右極限有一個不存在，那么稱為的第二類間斷點(diǎn)。理解連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商分母不為0及復(fù)合仍是連續(xù)函數(shù)，初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)的結(jié)論，知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的幾個結(jié)論。典型例題解析一、填空題 極限

6、。解：注意：無窮小量乘以有界變量等于無窮小量，其中=1是第一個重要極限。函數(shù)的間斷點(diǎn)是。解：由是分段函數(shù)，是的分段點(diǎn)，考慮函數(shù)在處的連續(xù)性。因?yàn)?所以函數(shù)在處是間斷的，又在和都是連續(xù)的，故函數(shù)的間斷點(diǎn)是。設(shè)，那么。解：，故函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是。二、單項(xiàng)選擇題函數(shù)在點(diǎn)處A.有定義且有極限； B.無定義但有極限；C.有定義但無極限； D.無定義且無極限解：在點(diǎn)處沒有定義，但無窮小量有界變量=無窮小量應(yīng)選項(xiàng)B正確。以下函數(shù)在指定的變化過程中，是無窮小量。A.； B.；C. ；D.解：無窮小量乘以有界變量仍為無窮小量，所以而A, C, D三個選項(xiàng)中的極限都不為0，應(yīng)選項(xiàng)B正確。 三、計(jì)算應(yīng)用題計(jì)算以下

7、極限： 4 解： = 題目所給極限式分子的最高次項(xiàng)為分母的最高次項(xiàng)為，由此得 4當(dāng)時(shí)，分子、分母的極限均為0，所以不能用極限的除法法那么。求解時(shí)先有理化根式在利用除法法那么和第一個重要極限計(jì)算。 =2.設(shè)函數(shù) 問1為何值時(shí)，在處有極限存在？2為何值時(shí)，在處連續(xù)？解：1要在處有極限存在，即要成立。因?yàn)樗?，?dāng)時(shí)，有成立，即時(shí)，函數(shù)在處有極限存在，又因?yàn)楹瘮?shù)在某點(diǎn)處有極限與在該點(diǎn)處是否有定義無關(guān)，所以此時(shí)可以取任意值。2依函數(shù)連續(xù)的定義知，函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)的充要條件是 于是有，即時(shí)函數(shù)在處連續(xù)。第三章 導(dǎo)數(shù)與微分 導(dǎo)數(shù)與微分這一章是我們課程的學(xué)習(xí)重點(diǎn)之一。在學(xué)習(xí)的時(shí)候要側(cè)重以下幾點(diǎn)：理解導(dǎo)數(shù)的概念

8、；了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；會求曲線的切線和法線；會用定義計(jì)算簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；知道可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。在點(diǎn)處可導(dǎo)是指極限存在，且該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是這個極限的值。導(dǎo)數(shù)的定義式還可寫成極限 函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線上點(diǎn)處切線的斜率。曲線在點(diǎn)處的切線方程為函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，那么在點(diǎn)連續(xù)。反之那么不然，函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，在點(diǎn)不一定可導(dǎo)。了解微分的概念；知道一階微分形式不變性。熟記導(dǎo)數(shù)根本公式，熟練掌握以下求導(dǎo)方法1導(dǎo)數(shù)的四那么運(yùn)算法那么2復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么3隱函數(shù)求導(dǎo)方法4對數(shù)求導(dǎo)方法5參數(shù)表示的函數(shù)的求導(dǎo)法正確的采用求導(dǎo)方法有助于我們的導(dǎo)數(shù)計(jì)算，如一般當(dāng)函數(shù)表達(dá)式中有乘除關(guān)系或根式時(shí)，求導(dǎo)時(shí)采用取對數(shù)求導(dǎo)法，

9、例如函數(shù)，求。在求導(dǎo)時(shí)直接用導(dǎo)數(shù)的除法法那么是可以的，但是計(jì)算時(shí)會麻煩一些，而且容易出錯。如果我們把函數(shù)先進(jìn)行變形，即 再用導(dǎo)數(shù)的加法法那么計(jì)算其導(dǎo)數(shù)，于是有 這樣計(jì)算不但簡單而且不易出錯。又例如函數(shù) ，求。顯然直接求導(dǎo)比擬麻煩，可采用取對數(shù)求導(dǎo)法，將上式兩端取對數(shù)得兩端求導(dǎo)得整理后便可得假設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程的形式給出，那么有導(dǎo)數(shù)公式能夠熟練地利用導(dǎo)數(shù)根本公式和導(dǎo)數(shù)的四那么運(yùn)算法那么、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能夠利用隱函數(shù)求導(dǎo)法，取對數(shù)求導(dǎo)法，參數(shù)表示的函數(shù)的求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。熟練掌握微分運(yùn)算法那么微分四那么運(yùn)算法那么與導(dǎo)數(shù)四那么運(yùn)算法那么類似 一階微分形式的不變性微分的計(jì)算可以歸結(jié)為導(dǎo)

10、數(shù)的計(jì)算，但要注意它們之間的不同之處，即函數(shù)的微分等于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量微分的乘積。了解高階導(dǎo)數(shù)的概念；會求顯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。函數(shù)的高階高數(shù)即為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。由此要求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)就要先求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。要求函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)就要先求函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)。第三章 導(dǎo)數(shù)與微分典型例題選解一、填空題設(shè)函數(shù)在鄰近有定義，且，那么。解： 故應(yīng)填1。曲線在點(diǎn)1，1處切線的斜率是。解：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，曲線在處切線的斜率是，即為函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，于是故應(yīng)填。設(shè)，那么。解：，故故應(yīng)填二、單項(xiàng)選擇題設(shè)函數(shù)，那么。A.；B.2； C.4；D不存在解：因?yàn)?，且，所以，即C正確。設(shè)，那么。A.；B. ；C. ；D. 解：

11、先要求出，再求。因?yàn)?，由此得，所以即選項(xiàng)D正確。 3設(shè)函數(shù)，那么A.0； B.1；C.2； D. 解：因?yàn)?，其中的三?xiàng)當(dāng)時(shí)為0，所以應(yīng)選項(xiàng)C正確。 4曲線在點(diǎn)處的切線斜率等于0。A.；B.；C.；D.解：，令得。而，應(yīng)選項(xiàng)C正確。5 ，那么。A.；B.；C.；D.解：應(yīng)選項(xiàng)C正確。三、計(jì)算應(yīng)用題設(shè)，求解：由導(dǎo)數(shù)四那么運(yùn)算法那么和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么由此得設(shè)，其中為可微函數(shù)，求。解 = =求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，要先搞清函數(shù)的復(fù)合構(gòu)成，即復(fù)合函數(shù)是由哪些根本初等函數(shù)復(fù)合而成的，特別要分清復(fù)合函數(shù)的復(fù)合層次，然后由外層開始，逐層使用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，一層一層求導(dǎo)，關(guān)鍵是不要遺漏，最后化簡。3.設(shè)函數(shù)由方

12、程確定，求。解：方法一：等式兩端對求導(dǎo)得整理得方法二：由一階微分形式不變性和微分法那么，原式兩端求微分得左端右端由此得整理得4.設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程確定，求。 解：由參數(shù)求導(dǎo)法5設(shè)，求。解 第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用典型例題一、填空題1.函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是.解：，當(dāng)時(shí).故函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是.2.極限.解：由洛必達(dá)法那么3.函數(shù)的極小值點(diǎn)為 。解：，令，解得駐點(diǎn)，又時(shí)，；時(shí)，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)。二、單項(xiàng)選擇題1.函數(shù) 在區(qū)間上是 A 單調(diào)增加 B單調(diào)減少 C先單調(diào)增加再單調(diào)減少 D先單調(diào)減少再單調(diào)增加解：選擇D，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在區(qū)間上函數(shù)先單調(diào)減少再單調(diào)增加。2. 假設(shè)函數(shù)滿足條件 ，那么在內(nèi)至

13、少存在一點(diǎn)，使得成立。 A在內(nèi)連續(xù)； B在內(nèi)可導(dǎo)； C在內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)； D在內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)。 解：選擇D。 由拉格朗日定理?xiàng)l件，函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，所以選擇D正確。3. 滿足方程的點(diǎn)是函數(shù)的 。A極值點(diǎn) B拐點(diǎn)C駐點(diǎn) D間斷點(diǎn)解：選擇C。依駐點(diǎn)定義，函數(shù)的駐點(diǎn)是使函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)。4.設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，且，那么函數(shù)在處 。A取得極大值 B取得極小值C一定有拐點(diǎn) D可能有極值，也可能有拐點(diǎn)解：選擇D函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為零，說明可能是函數(shù)的極值點(diǎn)；函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為零，說明可能是函數(shù)的拐點(diǎn)，所以選擇D。三、解答題 1.計(jì)算題求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解：函數(shù)的定義區(qū)間為，由于 令，解得，這樣可以將定

14、義區(qū)間分成和兩個區(qū)間來討論。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)是，。由此得出，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)增加。 2.應(yīng)用題欲做一個底為正方形，容積為108立方米的長方體開口容器，怎樣做法所用材料最省？解：設(shè)底邊邊長為，高為，所用材料為且 令得，且因?yàn)?，所以。于是?米為底邊長，3米為高做長方體容器用料最省。3證明題：當(dāng)時(shí)，證明不等式 證 設(shè)函數(shù)，因?yàn)樵谏线B續(xù)可導(dǎo)，所以在上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，有公式可得 其中，即 又由于，有故有 兩邊同時(shí)取以為底的指數(shù)，有即 所以當(dāng)時(shí)，有不等式 成立.第5章學(xué)習(xí)輔導(dǎo)2典型例題解析一、填空題曲線在任意一點(diǎn)處的切線斜率為，且曲線過點(diǎn)，那么曲線方程為。解：，即曲線方程為。將點(diǎn)代入得，所

15、求曲線方程為函數(shù)的一個原函數(shù)是，那么。解： 是的一個原函數(shù)，那么。解：用湊微分法 二、單項(xiàng)選擇題設(shè)，那么。A. ； B. ；C. ； D. 解：因應(yīng)選項(xiàng)A正確 設(shè)是的一個原函數(shù)，那么等式成立。A.；B.；C.；D.解：正確的等式關(guān)系是應(yīng)選項(xiàng)D正確 設(shè)是的一個原函數(shù)，那么。A. ； B. ；C. ； D. 解：由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么得 應(yīng)選項(xiàng)C正確三、計(jì)算題計(jì)算以下積分：解：利用第一換元法 利用第二換元法，設(shè)， 計(jì)算以下積分：解：利用分部積分法 利用分部積分法 高等數(shù)學(xué)1第六章學(xué)習(xí)輔導(dǎo) 綜合練習(xí)題一單項(xiàng)選擇題 1以下式子中，正確的選項(xiàng)是 。A. B. C. D. (2). 以下式子中，正確的選項(xiàng)是

16、 A. B. C. D. (3) 以下廣義積分收斂的是 。 A .B. C. D. 假設(shè)是上的連續(xù)偶函數(shù)，那么 。A. B 0C D 假設(shè)與是上的兩條光滑曲線，那么由這兩條曲線及直線所圍圖形的面積( ).A. B. C. D. 答案：1 A；2D； 3D； 4C； 5A。 解：1根據(jù)定積分定義及性質(zhì)可知 A正確。 而 B不正確。在0，1區(qū)間內(nèi) C 不正確。 根據(jù)定積分定義可知，定積分值與函數(shù)及定積分的上、下限有關(guān)，而與積分變量的選取無關(guān)。 故D不正確。 (2) 由變上限的定積分的概念知 A、C不正確。 由定積分定義知 B不正確。 D正確。 (3) A不正確。 B。不正確。 C。不正確。 DD正

17、確4由課本344頁 642和345頁643知C。正確。5所圍圖形的面積始終是在上面的函數(shù)減去在下面的函數(shù) A正確。 二 填空題(1) (2) (3) 在區(qū)間上，曲線和軸所圍圖形的面積為_。 (4) (5) (a0 p0 )答案：解：1 2 所圍圖形的面積S=由定積分的幾何意義知: 定積分的值等于y= 所圍圖形的面積p1時(shí) 無窮積分發(fā)散。三計(jì)算以下定積分(1(23 4 5答案：(1(23 4 (5) 四定積分應(yīng)用 求由曲線,及直線所圍平面圖形的面積 x解：畫草圖 求交點(diǎn) 由 y=x, xy=1得x=1 .y=1y 2 y=2 y=x 0 xy=1 第七章綜合練習(xí)題一單項(xiàng)選擇題 1、假設(shè) 成立，那

18、么級數(shù)發(fā)散，其中 表示此級數(shù)的局部和。A、； B、單調(diào)上升；C、 D、不存在2、當(dāng)條件 成立時(shí)，級數(shù)一定發(fā)散。A、發(fā)散且收斂； B、發(fā)散；C、發(fā)散； D、和都發(fā)散。3、假設(shè)正項(xiàng)級數(shù)收斂，那么 收斂。A、 B、C 、 D、4、假設(shè)兩個正項(xiàng)級數(shù)、滿足，那么結(jié)論 ，是正確的。A、發(fā)散那么發(fā)散； B、收斂那么收斂；C、發(fā)散那么收斂； D、收斂那么發(fā)散。5、 假設(shè)f(x)= , 那么 = ( )。A、 B 、 C D、答案：1、D 2、A 3、B 4、A 5、C二填空題當(dāng)_時(shí)，幾何級數(shù)收斂。級數(shù)是_級數(shù)。假設(shè)級數(shù)收斂，那么級數(shù)_。指數(shù)函數(shù)f(x)= 展成 x的冪級數(shù)為_。假設(shè)冪級數(shù)的收斂區(qū)間為9 ，9

19、，那么冪級數(shù)的收斂區(qū)間為_。答案：1、1 那么由比值判別法可知發(fā)散。 由于是交錯級數(shù)，且=及，由萊布尼茲判別法知級數(shù)收斂。求以下冪級數(shù)的收斂半徑 解： 因此收斂半徑R=1， 令 得冪級數(shù)可知的收斂半徑為4 ，所以原冪級數(shù)的收斂半徑第八章綜合練習(xí)題及參考答案一單項(xiàng)選擇題 1、 以下階數(shù)最高的微分方程是 。A、； B、；C、 D、2、以下一階微分方程中為可別離變量的微分方程是 。A、； B、C、 D、3、微分方程的通解為 。A、 B、C 、 D、4、微分方程的通解為 。A、； B、C、； D、5、微分方程的特解應(yīng)設(shè)為 。A、 B 、 C D、答案：1、A 2、C 3、C 4、B 5、D二填空題一階

20、線性微分方程的通解公式為_。二階線性微分方程的特征根為_。二階線性微分方程的通解中含有_獨(dú)立的任意常數(shù)。二階微分方程的通解為_。假設(shè)是二階線性非齊次微分方程的一個特解，為其相應(yīng)的齊次微分方程的通解，那么非齊次微分方程的通解為_。答案：1、 2、 3、兩個 4、 5、 三計(jì)算題求一階微分方程的滿足的特解 求一階微分方程的滿足的特解 解：微分方程變?yōu)椋瑑蛇叿e分得方程的通解為 由條件得， 故微分方程的的特解方法一 由一階線性微分方程的通解公式得 由條件得,故微分方程的的特解 方法二 由微分方程可得，兩邊積分得方程的通解為 由條件得,故微分方程的的特解2、求微分方程的通解解：原方程對應(yīng)的齊次方程的特征

21、方程為 特征根為， 故齊次微分方程的通解其中為任意常數(shù) 設(shè)原方程的一個特解應(yīng)為，代入方程得得 故微分方程的通解其中為任意常數(shù) 求微分方程的通解解：原方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程為 得特征根為， 故齊次微分方程的通解其中為任意常數(shù) 設(shè)原方程的一個特解應(yīng)為，代入方程得 故微分方程的通解其中為任意常數(shù)9JWKffwvG#tYM*Jg&6a*CZ7H$dq8KqqfHVZFedswSyXTy#&QA9wkxFyeQ!djs#XuyUP2kNXpRWXmA&UE9aQGn8xp$R#͑GxGjqv$UE9wEwZ#QcUE%&qYpEh5pDx2zVkum&gTXRm6X4NGpP$vSTT#&

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