1、第二節(jié)定積分計(jì)算公式和性質(zhì)一、變上限函數(shù)設(shè)函數(shù)了在區(qū)間心上連續(xù)，并且設(shè)x為上的任一點(diǎn)， 于是，了(1)在區(qū)間金”上的定積分為E飲這里x既是積分上限，又是積分變量，由于定積分與積分變 量無(wú)關(guān)，故可將此改為E如果上限x在區(qū)金川間上任意變動(dòng)，則對(duì)于每一個(gè)取定的x值，定積分有一個(gè)確定值 111平 “與之對(duì)應(yīng)，所以定積分在上定義了一個(gè)以x為自變量的函數(shù)劇司，我們把劇刃稱為函數(shù)/在區(qū)間官句上 變上限函數(shù)記為就加(出血&明圖5-10從幾何上看，也很顯然。因?yàn)閄是用上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從而以線段慶句為底的曲邊梯形的面積，必然隨著底數(shù) 端點(diǎn)的變化而變化，所以陰影部分的面積是端點(diǎn)x的函數(shù)(見(jiàn)圖定積分計(jì)算公式利用定義計(jì)算定

2、積分的值是十分麻煩的，有時(shí)甚至無(wú)法計(jì)算。因此，必須尋求計(jì)算定積分的簡(jiǎn)便方法。我們知道：如果物體以速度相同）。）作直線運(yùn)動(dòng)，那么在時(shí)間 區(qū)間尾用上所經(jīng)過(guò)的路程s為汨圖 5-11|y 二；J.十. J 撲泌 一ah _8） *另一方面，如果物體經(jīng)過(guò)的路程s是時(shí)間t的函數(shù)誠(chéng)），那么物體 從t=a到t=b所經(jīng)過(guò)的路程應(yīng)該是（見(jiàn)圖5-11）即v（，揪= （，）-（&）Ji2 _ 由導(dǎo)數(shù)的物理意義可知:理卜兇）即的）是訕）一個(gè)原函數(shù)，因 此，為了求出定積分靜祖，應(yīng)先求出被積函數(shù)訕）的原函數(shù)就）， 再求成在區(qū)間心上的增量弧）-響即可。如果拋開(kāi)上面物理意義，便可得出計(jì)算定積分川出的一般 方法：設(shè)函數(shù)了在閉區(qū)間

3、上連續(xù)，外）是了的一個(gè)原函數(shù)， 即）*（），則川出MS)這個(gè)公式叫做牛頓-萊布尼茲公式。為了使用方便，將公式寫(xiě)成I:川也二回忒二O-珞)牛頓-萊布尼茲公式通常也叫做微積分基本公式。它表示一 個(gè)函數(shù)定積分等于這個(gè)函數(shù)的原函數(shù)在積分上、下限處函數(shù)值 之差。它揭示了定積分和不定積分的內(nèi)在聯(lián)系，提供了計(jì)算定 積分有效而簡(jiǎn)便的方法，從而使定積分得到了廣泛的應(yīng)用。例1計(jì)算辦 -111-r3 7dx - x3 = - 0 =因?yàn)?是F的一個(gè)原函數(shù)所以L L3 1 33m例2求曲線 = $町天和直線x=0、x=y=sinx疝及y=0所圍成圖形面積A(5-12)渺沐/ 解這個(gè)圖形的面積為網(wǎng)二sin M我二一匚o

4、s兀甘圖 5-12-costt -l-cosO = 1 +1 = 2二、定積分的性質(zhì)設(shè)川)、目在相應(yīng)區(qū)間上連續(xù)，利用前面學(xué)過(guò)的知識(shí)，可以 得到定積分以下幾個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì):，性質(zhì)1被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到定積分符號(hào)前面，即：研出二4,訴（A為常數(shù)），性質(zhì)2函數(shù)的代數(shù)和的定積分等于它們的定積分的代數(shù)和， 即 川）士如肱=，（加土 或g這個(gè)性質(zhì)對(duì)有限個(gè)函數(shù)代數(shù)和也成立。，性質(zhì)3積分的上、下限對(duì)換則定積分變號(hào)，即：川揪二f川也以上性質(zhì)用定積分的定義及牛頓-萊布尼茲公式均可證明，此 處證明從略。，性質(zhì)4如果將區(qū)間此用分成兩個(gè)子區(qū)間、曰及橢句那么有這個(gè)于區(qū)間分成有限個(gè)的情形也成立。下面用定積分的幾何意義，對(duì)

5、性質(zhì)4加以說(shuō)明。當(dāng)acb時(shí)，從圖5-13a可知，由y=f（”與和x=a x=b及x 軸圍成的曲邊梯形面積龍:A-AA圖 5-13a圖 5-13b因 為 4（小花攻二了赤;也二J：了辦所 以即性質(zhì)4成立。當(dāng)abc時(shí)，即點(diǎn)c在金外，由圖5-13b可知，=A1-i-A2 = ,（柄+/柄所以m對(duì)二川出-p（小工顯然，性質(zhì)4也成立?？傊?，不論c點(diǎn)在金川內(nèi)還是金川外，性質(zhì)4總是成立的3?dx +=8-1 + ln 2-lnl = 7 + ln 2例4所以1?201吁+ 一尸T 2=【+2=9 22解川)二時(shí)二一哄于是，n訴梭1 201 2+2-120/W例7設(shè)芥一1 濯1解因?yàn)?(x)-1?2上分段連續(xù)

6、所以fy加二【預(yù)松十r兒燦-i例8火車(chē)以v=72km/h的速度在平直的軌道上行駛，到某處 需要減速停車(chē)。設(shè)火車(chē)以加速度a=-5m/痍剎車(chē)。問(wèn)從開(kāi)始剎車(chē)到 停車(chē)，火車(chē)走了多少距離？解首先要算出從開(kāi)始剎車(chē)到停車(chē)經(jīng)過(guò)時(shí)間。當(dāng)時(shí)火車(chē)速度=EX與器久=剎車(chē)后火車(chē)減速行駛。其速度為 p（）=p0 - = 20-5Z當(dāng)火車(chē)停住時(shí)，速度何）=。，故從何）=20-淀=。20/s解得嘉T/二如于是在這段時(shí)間內(nèi)，火車(chē)走過(guò)的距離為e 二 j v” 團(tuán)-f(20 - 5卻 =20 x4m = 40m=即在剎車(chē)后，火車(chē)需走過(guò)40m才能停住。習(xí)題5-21求下列定積分:rfJ如 r(9)很坦3 X(10)1I/端求伶(加(8)、cos