1、52/1222/ 1/1221/ 第一章行列式1(23154)=1+1+0+1+0=3該數(shù)列為奇排列1(631254)=5+2+0+0+1+0=8該排列為偶排列T-1)321=(-1)+(-2)+(-3)+2+1+0=當(dāng)”=4加或“=4加+1時，T/?(/?-1).321為偶數(shù),排列為偶排列當(dāng)”=4加+2或=伽+3時，i/7(n-l).321為奇數(shù)，排列為奇排列(其中加=0,1,2)t135(2“一1)246(2)=0+1+2+3+.+(“一1)=當(dāng)”=4加或“=4加+1時，T135(2/?-1)246.(2/?)為偶數(shù)，排列為偶排列當(dāng)=4加+2或=伽+3時，T135.(2/1-1)246.(

2、2/1)為奇數(shù)，排列為奇排列(其中7=0*1,2.)2.解：己知排列莊i”的逆序數(shù)為這“個數(shù)按從大到小排列時逆序數(shù)為(-1)+(-2)+(-3)+.+2+1+0=(穿個.設(shè)第兀數(shù)之后有個數(shù)比心小，則倒排后A的位置變?yōu)閕-z其后-尤-廠個數(shù)比小，兩者相加為-x故T(0=一T(A)3證明：.因為：對換改變排列的奇偶性，即一次變換后，奇排列改變?yōu)榕寂帕?，偶排列改變?yōu)槠媾帕?當(dāng)n2時，將所有偶排列變?yōu)槠媾帕?，將所有奇排列變?yōu)榕寂帕幸驗閮蓚€數(shù)列依然相等，即所有的情況不變。偶排列與奇排列各占一半。4(1)al5a24ai4i不是行列式的項4a23a5la42是行列式的項因為它的列排排列逆序列T=(4321

3、)=3+2+0+0=5為奇數(shù)，.應(yīng)帶負(fù)號(2)a5la42aa24a5l不是行列式的項n13t75/41fl3524=al5a24aa4la52因為它的列排排列逆序列r(34512)=2+2+2+0+0=6為偶數(shù)二應(yīng)帶正號。11冬3“32445解：a12冬3CQ利用r為正負(fù)數(shù)來做，一共六項，r為正，則帶正號，r為負(fù)則帶負(fù)a!4幻42號來做。6解：(1)因為它是左卞三角形000ci2200務(wù)0%匕35知%0a22為2an200%000an40000anai2Clln000a2la2a2nci22007.證明：=將行列式轉(zhuǎn)化為鎘%ann%0000yX若零元多于rv-n個時,000i行列式門J變?yōu)?

4、:故可知行列式為0.仙%ai2555a22a24a25a51L000a41a42000a5la52000/1Xr(123-/r)(-1)。11冬2。33%廠。11冬2。33%】夠30a22C(11+1325a24a25000000000知（一1）2+1=ana22(-1)11Of21(-1)1-0=0123421-1(1)1+2+1+2=3217(1l+2+l+2(T丿Xy0Oxy00 x(-1)2+3+1+2=x5+y50；120-4-120-4-143-1043-10361-1=5361-1361-1=559403-1312-11-2301-2301-2302331233123312331

5、43-143-1594=521210=6301-231370第一章高數(shù)3冊9.（l）.y=mx+b.經(jīng)過（勺兒）（心兒）.斜率加=21二A尸yx+b代入（勺兒）屯一兀X-x2XY-x2Xx2則尸心nnX-X2Xx2xy1又由兀y1=0兀21左邊=（%-y2）xy（xi一耳）+（坷兒一Aji）=o=右邊則尸心nnX-X2Xx2問題特征：1/1221/ 1/1221/ b+cc+aci+b(1)b+cc+aa+brr”u”b+cc+ab+abcacab原式=bcfa+cabbcacabac（性質(zhì)2）利用性質(zhì)(4)和(5).分成六個行列式相加其余結(jié)合為零故sin2asin2psin2/cosacos

6、20cos2/cos2ccos20cos2/1-cos2acosaCOS2(21-cos20cos20cos20-(2)列+(1)列_1-cos2/cos/cos2/cos2gcos2acos2acos20cospcos20=0(性質(zhì)(5)cos2/cos2/cos2/2cos2tz-12cos0-l2cos2/-ICOSCOSCOScos2acos20cos2/0 xy00 xy05/1225/ 5/1225/ 0).|C)|列X片列g(shù)(4)?ljx.vc97X)吃09T0 x2y01X|01110111xyzqz0匸:r10匸r:ryz*巧101011JrX01Jr0abcd乙X(4)列x

7、xy1L(1:ci+b2ci+b3a+ba+b+c3d+2b+c6a+3b+ca+b+c+d4c/+3b+2c+d10a+6b+3c+d(3)行(3)+(4)行cdabcda+ba+b+c(2H亍(T)4(3)行，0aa+bci+b+c3a+lb4a+3b+2c行3田巧行00a2ci+b6a+3b10a+6b+3c003a6a+3bcda+bi+b+c4=aa2a+b0aab列（）加到0ci（3）2）列-o2ci03aaba00023n23n1237/1227/ 7/1227/ 6/1226/ -103(2)-1-20-1-2-3n1000n列H2E2)列v-126211n-1032n(H列Y

8、3)F3)列列“)町列0-100n6-2/?32/?降階1x(廠042/?=2x3x4xx=!00itai2(3)兀x212ai3X2如C,lna2na3n列列v11如-“2如-“3如一羽氣一暫2”一暫FpX如一禺細(xì)一兀吆一兀a23V3100廠X”降階lx(J)xlx廠百列E川列1000S一兀習(xí)題一13(1)xy0Oxy000y000000=DXy0X根據(jù)“定義法”=疋+(-1)心小)嚴(yán)=疋+(-1)1)嚴(yán)123一1n1-10.00(2)0+2-2.00=D000n-11-w12n-2一101-/?111.11-11-1111-1111.1-111將(2Mn)列加11(11十1)-11.1-n

9、1到列上得211-1111-11.111-1111111變?yōu)椋ㄉ?）階=1acr嚴(yán)11111a-l(d-l)-1)7aa-a-2a-n+11a-2(o-2)(a-2)/,_1轉(zhuǎn)JSiS-1)2(cl(a-n+1)21a-n+1(a_n+1)2(a-n+)Ta-(a-1)H_1(a-2)心(d-”+1)T(3)n(n-L)范達蒙行列式(-l)21!2!(“_1)!注：根據(jù)范達蒙行列式原式=（一1）-2）（一/?+1）=（-1嚴(yán)”5）1!2!（n-1）!(一1)(一2)(一+2)w(n-l)根據(jù)“降階法”D鬻爲(wèi)需11(11+1)2_11(11+1)2n(n+l)n-2將麗彳乗以“川到后一行得n(n

10、+1)2n-11-nnl-n11111-1111.0-n111-1114列加到、77(77+1)11-n0(2W)列211-11.111-11011.111000n(n+l)2n(n-l)(T嚴(yán)=(-l)2=(-l)2n心斤+1T-1=(-l)21!2!(“一1)!1/1221/ 1/1221/ (4)bnUbi4r+lcC2b;b；b；b;ab：7_n-ldr卄iU/z+lb：b：b：第尬亍提出a：得bb.Z/t/j+1/r-14】+icos214(1)證明:cos2costo27-acos2.v+asm2y+acos-2a-p=cos2S1142cos空2-cosP-Ya+psm2Q+0c

11、os2.y+aSill2y+acos2.y+aSill2y+acos2a+Bsin2a+0cos2c42a-Bz./?+yy+a0+y./?-/z.a+By+(xa+B.=cos(sin-coscos-sm)_cos-(smcoscossm222222222Y-ct,.a+p/?+/a+p.0+y、+cos(sincos-cossin)2222a-p.P-aP-v.f3_yv-a.a-y=cossincossin+cossin222222=-sin(/7-a)+丄sin(y_0)+丄sin(a-/)=isin(/7-a)+sin(&-/)+sin(/-0)(2)證明:ci+A；aa+x(3)最

12、后一行乘以(1)加到(“)行得a+Xna=xYx2xnci=axYx2xz0-1(4)“遞推法”-1降階a0一100-1000qx-10+%X-100a,0n-20X00X-1X(_1嚴(yán)由此類推:DyxD“+eD2=xD+aLDCIqX+ClX+10/12210/1221010/12210/12210=(ab+l)(cd+1)-a(d)=(ab+1)(cd+l)+ad00-154小3=(4-6)(-1-15)=32ab護000c20d2000ab000Qaahhe0cd0da0jr14-2+l+*5二(T)?Jda0/j*14-2+14-5+(T)/0c20、00ab0be(a町0abbecd

13、0/V十2+3+53+(-1)Wd)cdda（H）（代-角d）p&b）23%j斶p（d）ba2bd-c2bd)二abd3-c2)滋2-cd2+d-be2-db2+曲2=abdC)(cb)(db)(cd)11/12211/1221111/12211/12211同=baababbaba心冇_3滬）如L選定0）（2n）行abba44二（疋一滬）;普鵲夕丫|乩（宀片1116范達行列式V（兀兀）二(兀一和.(兀廠和=(x3-x2).(xn-x2).(x-兀I)1111Xx2.嚴(yán)a異Ci112/12212/1221212/12212/12212轉(zhuǎn)fitx2a；fl%d=(q-x)(冬一x)(4t-x)(冬

14、一)(4t_4)（-）St-冬）（aT-a心）（1）因為色7為常數(shù)。所以p（x）是n-1次的多項式2-3、-3-7,815/1*3+2(-1)+(-1)4-2*3+1(-1)+0*41*3+0(-1)+3*4(3)(1,亠2)(9,4,1)214(4)21Cl12b2yb2c/1丿12=21)第一章矩陣代數(shù)4.計算下列矩陣乘積3-23*2+0*(-2)3*1+(-2)(-1)3(-1)+(-2)2-010*2+1*00*1+1(-1)0*(-1)+1*22421-12*2+4*02*1+4(-1)2*(1)+4*2(1)-100-12=_一1*2+0*0-1*1+0(-1)(-1X-D+0*2

15、_65-T0-124-26-2-11X=(2)令p(x)=0得x=%即p（x）的根為12-r$23、/-2101-1103X/2471*2+2*1+(-1)2-2*2+1*1+0*21*2+0*1+3*20、31丿=(1*2+(-1)*1+2*44*1+(-1)*1+2*2,1*0+(-1)*3+2*1=(ax+ay+bci2ix+ci22y+b2bLx+b2y+c13/12213/1221313/12213/12213=(ux2+2q旳+a22y2+2b、x+2b2y+c)1-21-2111-o(130)5設(shè)A，?M,E=J13、13、/、2-1,2-b=73030、90、B2=J2,J2,

16、54丿70、%0、630、a2b:oLQ4,_3528,0A2=0、7丿abA20、2時(n為自然數(shù))成立，令n=k,則屮=1一cos。丿成立;當(dāng)n=k+l時cosk(psink(cos(psillA*sink.pcosk9i-sin(pcos0cosk(psin砂一sinksin(pcosk(psin-sin切cos(pk-sinkcpcQS+cosk(psin(p-sinkcpsin0+coskcpcQS(p,(COS伙+l)y-sin(k+l)(pTOC o 1-5 h zA=011、001U10、當(dāng)11=1時，=011、001,(110p10、p2當(dāng)11=2時，A2=011011012

17、001001001/V21)110133)當(dāng)n=3時，A3=011011=01301001001/1nnn-1)JL112假設(shè)A”=01n0()1O當(dāng)n=l時Al=1打假設(shè)n=k+l時心1)=AAA=11+R=0100k(k+l)21+R成立n(n-l)2_n11n綜上當(dāng)n為自然數(shù)時，4=010015122151221516/12216/1221616/12216/12216TOC o 1-5 h zQ/100 x01000a1oocin=5時F05a4a510a5a410a210/A5=00a55a400a5aJ/-a02acr12a0、1Ar=r00CT2ao00a)當(dāng)A=2時A3=03n

18、2/3a3a23a003a2、o00/F4a6a2z4ayA4=0/4cF6a200a44a3000丁丿n=3時n=4時na-1chA=0a賦TC；c嚴(yán)00ananl000an/假設(shè)n3時成立A3=a503a2R3a3a213a00cP3a2300a當(dāng)n=3時假設(shè)n=k時成立Ak=Q0kcLC討7a”加0ak00當(dāng)n=k+l時kcLak018/12218/1221818/12218/1221817/12217/12217a+kakakukcL+C；c/tak+kakcy2+C過70T+C討Tak+kak3整理得(k+l)ak嚴(yán)(k+10嚴(yán)C：+嚴(yán)$伙+10成立2)7、己知E=0tr2a10、n

19、a1Chc初心0a100crla10anna1C2a112/X(=1)(=2)n(=3)00a000cr2a00a1nal1000Q)00flz000atl/i41證明=E,當(dāng)n為偶數(shù);B,當(dāng)n為奇數(shù)證明：442、442、TOO、b2=0-3-20-3-2=010043/043/00b.B2k=(B2)k=Ek=EBn=E,當(dāng)n為偶數(shù):E,當(dāng)n為奇數(shù)8、證明兩個n階上三角形矩陣的乘枳仍為一個上三角形矩陣。證明：設(shè)兩個n階上三角形矩陣為A,E,且A=B=b12b“3根據(jù)矩陣乘法,btin/cinbi2+cii2b22AB=嘰仇+4厶”+、+/a22b2n+y+annbnnannbnn則可知AB為

20、上三角形矩陣同理，可得BA也為上三角形矩陣。9、若AB=BAAC=CA,證明：A、B、C為同階矩陣，且A(E+C)=(E+C)A,A(BC)=ECA.證：設(shè)A=(qJ”如B=(場)咖，C=(C.)nXJ由題知AB、BA有意義，則可知必有m=s,又由于AB=BA,且AB為mXn階矩陣，則可知m二n,所以A、B均為n階矩陣。同理可知A、C均為n階矩陣，故可得A、B、C為同階矩陣A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA又由AB=BA,AC=CA貝i(B+C)A=BA+CA=AB+AC=A(B+C)A(BC)=(AB)C=B(AC)=B(CA)=BCA10、已知n階矩陣A和E滿足等式AB=BA

21、,證明：(A+B)2=A2+2AB+B2(4+B)m=Am+C;nAm-2B+Bm(加為正整數(shù))W：(l)(A+B)2=(A+B)(A+5)19/12219/1221919/12219/12219=A-A+AB+BA+BB=a2+ab+ba+b2由TAB=BA,貝|J原工弋(4+=A2+2AB+B2(A-B)(A+B)=A2+AB-BA-B2由TAB=BA,貝AB-BA=O(A-B)(A+B)=A2-B2數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)?=2時,(A+3)=A2+2AB+B2f&AL設(shè)加=/耐成立，(A+3)“=想+(/?-l)An2B+CAB2+加當(dāng)7=油寸,(A+3)=(A+B)(A+B)l=(A+(-1)A

22、*+CAB2+C：AW+)+(A,_1B+(/?-l)An-2B2+F)=A+nAB+C二+(/?-l)An2B2+C：t+C：JaW+3=A+nAB+C;tA,l-2B2+*”綜上,(A+Bf=A/M+mA,nB+C：AW+Bm11、由于=且如如，兩兩互不相等,則必有除縊吐,紜等元之外的元均為零,故，b“bnn)即B必為對角矩陣。12、證明（l）A=dL=（2h41124即4=a21a22a2,、E=Aciciaumlum2nut丿將力分成n/x”塊,B分成一行為一塊a口4”、PA則=a21a22a2nAkaml%Clnm/anP+a21Pl+a222+ainPnamA+amlP2+)43的

23、第，個行向量為+ai2p2+q胡J=12訶(2)若將A分成一列為一塊，B分成/山$塊L!卩A=(4,人),=%b“b2s%blsb“1,1色A+%+/!”、+婦4+仇:A43的第/個列向量為久A+L4+$”A；J=12,s13、ba-dccda一bd-cba(a-bbaCd-ba-c-d-dC=-c-daJcdCl-b7c-b-cbaS+，+F+d00000000+J-0L000azb+C=+f從而卜屮=a2+b2+c2+J2)4從而卜屮=a2+b2+c2+J2)42=2=又|A|2=|AAr|4|=(，+，+，+/14、1+11+31+乜1+耳兒1+兀兒1+2兒1+榊1+栩1+11+和21+

24、乜=匕一）（兒一兒）10o11111X200開兒兒兒D產(chǎn)000010o0000當(dāng)心3時,故原行列式U=0（兀一心）（）1一兒O,/73記1COS(Ql-冬)cos(aL-a5)cos(q-q)1cos(a:-a3)cos(at-a5)cos(a:一q)1cos(a-%Jcos(冬一acos(q_a”)cos(a：-acos(a.-a)1當(dāng)=2時，D.=1cos(q_ajcos(q_aj1=1-cos2-a2)=sin2(a1-cr2)cosasinq00cosa.cosa.cosa,cosa.sina.00sina.sina.sina,000cosa/sinaff000o0=022122221

25、222223/12223/1222323/12223/12223siif(e_q),“=2Oj?3記1-0卸1識1-哦1-咖1-叭1-V1-哦l-a2b21-佔1-襯好1一嚨D=1-譏”1-咕1-冬也”1一a2bnan=1+abj+a：b；+ab111弘如4%.ann1礦11111a2計b2.bH:1Jq”TI/T好T鏟=ri(r)nd),lrjn/l/jn=n()d)l/jWn15、(1)4=ab)ccl丿則宀卄d-bad-be-ccidad一becbe-adbbe一adaad-be)其屮A為4的T伴隨矩陣（下同）25/12225/1222525/12225/1222524/12224/12

26、224z、coscr-sina(2)A=sinacosa4Tcosa-sinasinacosa2-3、4=012001,1H=0=1M=-2107-21110、(2)4=011ri,001(110V110(121當(dāng)n=2時，A2=011011012001001001/y7V2ndX4、48丿,918,(2)設(shè)兀=仆3a;+4x2=26兀+Sx2=43兀+4兀=96兀+8兀=18由，得：Aj=xt;x2=i(2-3x1);x3=x3;x4=i(9-3x3)441(2-3XJ適屈哽也任mHFe+才|IIH0+2Z+疔V2;|味+龍2怒(2)()(ws8)十(打8)十(WIL)十(TX卜)十nx卜+

27、w二hfe+fth1寸IHX+XIW寸6H9A+HE=3629/12229/12229=3629/12229/12229/、兀x2x3設(shè)兀=兀兀5兀宀兀8利10兀00Jo100、0110/1-4320-11-20、10丿a-10A得x=13-4u0-L19、(1)解：321D=A=23121312h05=24=-2411151115111方程組的解為：a3，）=（d(SX等等卜（2-2?）31/12231/1223131/12231/1223130/12230/12230(2)D=A=5-2-2012一31112312一31-1-111=-14201-1-1214-511=-142;D:=11

28、231-1-12一511=-2845-2-20-511=-426:0=112312一311-1-125-2-20=142方程組的解為:（%A：,A：,）=；涪,務(wù)等菩|=（1，2,3,-1)(3)1D=|A|=0005615010016(-1嚴(yán)心056V01560(_l)56106=19x65-30 x19=19x35=665*0556100560101500015600D嚴(yán)01060=703;D4=0150000056001060011500015方程組的解為:5600115600“A=01560=212=-39550015000011兒，A,A；,V5J=仝2QD

29、DDfl507-1145703-395212)665665665665665)11D=A=cibbecac慶+九力-CP有且僅有o=b=cWU=b=c=0時，D=0無ab=abb-a)+bc(c一b)+ac(a_c)意義；則其他情況D=A0a+b+cDt=a+b2+c23ac11bc=a2b2+abc2+a3c-ab2c-a3b-a2c2caah1a+b+cD2=aa2+b2+c2be3abc1c=ab3+b2c2+a2be-b3c-ab-abc2ah11D3=abbeca+n沁+b宀沱方程組的解為:3abc(4)TOC o 1-5 h z257、A=634-2-3丿57|A|=634=1-2

30、-3_-11-1A*=38-4134-2729-24門；;同27-291-3424(5)由(4E)經(jīng)過初等變換(EA1)32/12232/1223232/12232/12232234:10002312:0100111-1:001010-2-6:0001;得(A)=1234:1000-2Q+Q0-1-5-6:-2100-q+G7+q0-1-2-5:-10100-2-5-6:-1001丿1234:10003(-1)0156:-2100一G+G-2*0031:-1-1100052:-3-201丿/1234100、0362001-1Qx(3)4000:22-6_2617、0100:-17520_130

31、010:一102_10001:4一1_53丿22-6-2617)-2C.+C-1732013TTzo150:-22S30-18、200-12414-90010:-102-15G+G0100-17520-130001:4-1-5-3,-3G+C0010-102-1-(BA)=EXAB=-BA-A(E)=AB-BAAB-BA為對稱矩陣。(2)必要性：TAB為反對稱矩陣(AB)AE又(AB)EK=EAAB=BA充分性:VAB=BA(AB),=BA=-BA/.AB為反對稱矩陣綜上所述：AB是反對稱矩陣的充分必要條件是AB=BAo26解：設(shè)矩陣X%x=f則xT=(xn/X1Ax=o(xu即AlA：a22

32、+人內(nèi)+41,1A血+A.2,1-AAi+人“兀Jg,7nxi?！?Ai-h+A,Ai)+%+】)+x譏(AAi+九兀=0H2A1+11141+1A14h+11/12+X+九=對任意iixl矩陣都成立&i=oA=027證：=：A為正交矩陣A=4=4又正交矩陣為可逆矩陣IA=AA)=yj=12)=：vA.=a.|A|=l=(Arr=(AE7)-1=ET!28解：AAl=(B+UV)曠-(曠)(心J=E-UVB-l(l-r+UV81)=E-E=O35122351223536/12236/1223636/12236/12236V=l+UVB1時=E依次用V左乘和用U右乘V=i+UV消去W得從而得證2

33、9.解：（1）判斷X可逆即：0Am=c0=H）Hiq因A、C可逆，貝|J|A|O|C|HO即兇工0則X可逆。由宀11an=d22=0=ECar=ECan=0Ca“=0Aa2l=E-130證明：A2-A+E=0:.a-a2=e:.E=A(E-A)4為可逆矩陣E-A_11000001000031.解：(1)002000000-3100000-3100000-337/12237/1223737/12237/122371211=130101011o力-2727ooooooooo31-9oo27o72-8oooooooooo111Ar1A/43Aoo一T式原oo12100031001231A161一31

34、-61-6237-61-oo1-2o1一2oo1-61-31-6oo1-62-37-63-21-20oo44000一式原1238/12238/122381238/12238/1223800or1A00（3）012XY|_zT0=EAxa2x+a3za2y+aj0Z&x=z24/=OA2X+A,Z=0A2Y+A,T=E,X=&Tr=oz=-V4A_1t=4_1=8_6=2AJ=8-221-2-31_1_61_6122_31307_61612_27-6201-231-662-37-640/12240/1224040/12240/1224039/12239/12239獷32丄2712_7_61112

35、62376第三章613丄624-6121812-93_72-7117-1-1線性方程組1.證：假設(shè)+線性相關(guān),貝歸不人人不會為0,使得人（a+冬），入（冬+冬）,人（冬+a）=o整理得：（人+人）匕+（人+人）冬+（人+人）冬=0又由4，冬,3線性無關(guān)，故人+人=0人十兄、=01011由于|坷=110=00110011-1=2011故由克萊默法則知：人=人=人=0,矛盾故結(jié)論正確。2.解：a=（x,x2,x3,x4）|+|3（a-a）+2（冬+）=5（冬+6/）可得:3匕十2冬-a嚴(yán)a即3(2,5,1,3)+2(104,5,10)-5(4,1,-1,1)=6(xpx2,x3,x4)根據(jù)矩陣相等

36、，則對應(yīng)元相等，得6兀=3x2+2x10-5x46xz=3x5+2xl-5xl=3x1+2x5-5x(-1)6x4=3x3+2x10-5x1X223由假設(shè)4，冬,，線性相關(guān)必存在一組不全為0的數(shù)k“k”.燈使得：+kmam=0由1與2可能：0=仏+RJq+（人”+km）am42/12242/1224242/12242/1224241/12241/12241但戸的表示式是唯一的，故人十人=人，,盤+”=人”即得：k嚴(yán)匕=&”=0矛盾故結(jié)論成立。7.證：設(shè)q,q,，為4的列向量，b12b（匕,血）b2lb22b“5b心bp7則=0可寫成:由于q,冬,a”線性無關(guān)，則匕休+冬爼+認(rèn)=0a血p+a少“

37、+.+4瓜=0%=0,1z/7,1j0=-土人4+人4+而ag,線性相關(guān)，根據(jù)定義，至少有一個向量可用其他m-1個向量表出，我們不妨設(shè)則0=-扌（入+）匕+（入+匕）冬+（I+0 xam_這樣得到了0的另一種表出式，即表出不唯一綜上，假設(shè)成立條件卞得到的結(jié)論與“0可用a，4,，血唯一表出”矛盾故假設(shè)不成立，冬，,y”線性無關(guān)飛、7、將A表示為人=(3，冬,a“)，E表示為B=/AB=aj+a2p2+a屁=0同理可證APU7T8解若線性無關(guān)，則必有A=禹=0“=。=B=0211121211212112_12111104-1互換行、014-1一11)行3)行(M+HHf、014-1-3|2帀+|3

38、)行m行+(4)行、014-11145654115650312_3r00002-15一6.一125一6.0416一4-.0000.)2)由此r二3解由此r二2解001410014j001401025互換(“(3)行1231432-4行+(3)行023132800136互換(2)(4)行、4563277-行+行，0562861712314320102501025456327700136001363-|(2)行+(3)行一豈2)行+(4)仃13283232192923-18-18；(3)行+(4)行扌行+行13281410014100沖亍屮)荷14100_1410078184-職)行十行7員”行*

39、3)行、0-201840-20-524互鶴3)40行、0-20-52417184010040.37131.0-5-171._00-40.0000)1由此r=3解44/12244/1224444/12244/1224443/12243/12243203-5151427201弓行+行2一沁巴00-5一3314丄1122丄丄_22（2）行+（3）行、0-50112032-1一3-22-1312-131-3互換（2）（3）行，32-1-345-5-6145-5-6由此r=2解2-131-3-3-2行+（3）行冷行+（2）行71195-20fl2222107-11-875

40、)-2行+（3）行7_92_T_210100-(：!)行+(3)行01-100-(2)fir+(4)fT002000011100110由此r=5T9解（1）：設(shè)向量組線性相關(guān)，則1010001-100-(3)行+(4)行，00200001110000-1由此r二3解：（6）101001010010100110001100001-10001100互換（町（5）行，01100-行+（2）行，011000011001011010110101100110_00110人4+2a2+人他+=（人、3兔,52、人,0）+（入,3入、2入，2入,入）+（久3、2幾3，幾3，幾3，厶）+（兄4、幾4、幾4，幾4

41、，幾J=（2+入+Q4,3人+3入一2人一4Q45人+2久*+人+兒4，一4人一22、一+幾?兄*金一幾4）=0人+人+久3+人4=0(1)3人+3人一2人一4心=0(2)1弓3)行4(4)行42s、7721135-400-7-45-1008427777700024/I=幾r=久3=幾=0線性無關(guān)133-4013-40135-40_132-21-行4(2)行-(1)行+(3)行00-321互換(2).(4)1T、0-7-45-11-21-1-1-行+(4)行70-5-43-10-5-43-11-411-1_0-7-45-1_00-32110(1)證:由皿線性相關(guān)則必有一組不全為0的數(shù)人,兒，&

42、使得人4,人冬,2”竝=0既有:心d人乂也m=046/12246/1224646/12246/1224645/12245/12245人勺2,久屮斗乂/沁=0(*)人勺“，人冬”，人/,“=0從4,4,中每一個向量中去掉第，就相當(dāng)于在上述方程組中去掉S個方程剩卜的方程仍成立既有不全為零的數(shù)人人4使得：人人冬：，人X=0從而：Q；,冬；線性相關(guān)顯然當(dāng)線性無關(guān)時由上面的證明可知a/d/,心肯定線性無關(guān)(2)由(1)的證明很顯然得到結(jié)論11、證明：把y=y.，T)(z=l,2,.,r,r/?)作為矩陣A行向量寫成矩陣A只須證A的行量組線性無關(guān)即可即證：rA=r顯然A中有一個尸階子式故有q=廠，從而結(jié)論

43、成立H0而A內(nèi)的所有廠+1階子式為0,因為A的行數(shù)12、證：先證當(dāng)勺,可由卩幾線性表示出時，,的秩小于等于久0“、0川的秩不妨設(shè):4,冬，乞的極大無關(guān)組為4,冬,;久02,，盤的極大無關(guān)組為0”02,A只須證：廠即可假設(shè)廠那么由條件可知：q,勺.可由久0”,0線性表出，即存在一矩陣使得%5gj(67,Q?,Q,)=(01，020/):?=(01，020f)4,a2larl;I、在上式兩端同右乘一列向量，即得：也丿(a，勺，y)/=(久02,Jana2i勺.鉛如2XX20kaitaiian)只要找到一組不全為0的數(shù)兀,兀,，旺，使得:Cllla21Cina22ar2X2=0成立trk,所以上述方

44、程組一定有非0解故結(jié)論成立，同理可證rr,從而有r=t證：(1)r=s時，若dot伙)=|刈工0,則=kls丿說明，向量組B與A可相互線性表示，又由A線性無關(guān)，其秩所以UB)=S,從而E線性無關(guān)反之：若B線性無關(guān)，考察人0戶人0十十&0,=0代入并整理得：（&,&,&）=0（&,&,&）=0瑕、4（入,人,，人）=（九心,&）R0e丿an仏令k=a2la2s乞、Je由上式可得：（&q+入冬i+兄.4門）q+（人q,+入。+&a、.r）a+（也$+2a2s+久、4）%由4,4，.,乙線性無關(guān)，所以+&%=0（*）.也+也=0若k=0,則（*）有非0角從而01，戸2,0$由A=ka210,丿故何，

45、禹，,0：）=&廚,廚）L考查：血X+血0J+&0：=0仏、即（0；,0J,朋）=0將（用，厲，,0：）=（aj,g,代入上式得:47122471224749/12249/1224949/12249/1224948/12248/12248由于口宀心線性無關(guān),町,町,/也線性無關(guān)故L人=0而方程組Z/=0只有0解。巾=廠而0/0；,0；線性無關(guān)oL；=0只有0解，故結(jié)論成立14記住一下常用矩陣秩的性質(zhì)q=q若P,0可逆，則rPAQ=rA(4)證法一：由上述性質(zhì)(4)條，r(AH(A,B)所以rABr(Arii.B)rA.B)證法二：設(shè)A=(q,冬3=(久/VQJ(A,B同型，所以列則A+3=(q

46、+0,冬+02,顯然A+B的列向量組可由匕，4,a“與久足，,0”的極人無關(guān)組線性表出若設(shè)勺，叫。,0人,0乙分別為4心,q與卩、卩“、卩H的極無關(guān)組那么A+B的列向量組可由,67.6Z.，卩j,0,Ph線性表出，所以14、(第二種)證明：設(shè)有向量組A=ciijnxn,B=(b”)期a的行向量組為：4，叫其極人線性無關(guān)組為：Qil，Qj2，QAB的行向量組為:0,02，.,0加其極大線性無關(guān)組為：卩心卩j2,卩jrBA+B的行向量組記為：了2、異m其中/1=1+A/2=偽+“2,兒二+幾則了12,必4卩舛2蟲皿，卩山卩j2)有w?w/a+7b又Z=/a+b即有丫人YaYb習(xí)題三15、解：對增廣

47、矩陣進行初等變換.-1-3-2(-3卜行+行(-2)x(1)行+行1-233-2512X-5-4721-443-62、53,(W)x行+(2)行，(習(xí)x行+(4)行3-5242023111913333046223813333丿(1-23-1105-40-1,05-401;(小行+行、1-23-1105-40-1、00002,無解則Ya豐Yb解：對方程組的增廣矩陣進行初等變換.2250/12250/1225050/12250/12250-523T211T419T(3)解:對方程組的增廣Ox】+5x2-:4r/+-獨2*1+3x25兀3+8xf7x3a5-88、43-99B=23-5718-712

48、丿則Ya豐Yb無解號行+行矩陣進行初等變換.(課本第119頁題目出錯，應(yīng)該為則7a=7b=有唯一解。2001211-1001111111x(1)行+(3)行、01111111101022/0-1-1012102210-10丿2210-10丿(2)行+行(2)x(2)行+(4)行211-1011211-1010111111(3)行+(4)行、0111111000123270001232000-1-2-3-d00000o丿52/12252/1225252/12252/1225251/12251/12251則7a=Yr=6只方程組有無窮多解。先求它的一個特解，與階梯形矩陣對應(yīng)的方程組為TOC o 1

49、-5 h zX+2x2+x4-x5=Ix2+x3+x4+x5+x6=I+x4+2x5+3x6=2令上式中的X3=X5A6=，解得=1,X2=-l,X4=2O于是得到特解：兀=(1,一1,0,2,0,0)導(dǎo)出組的方程為：+2x2+x4-x5=0 x2+x3+x4+x5+x6=0+x4+2x5+3x6=0令=19兀=0.解“I=1，乙=1：=0.令=0X5=1,*6=0解兀=1，Xr=1X4=2.令=0,=1o解得：Xj=1，=2,X4=3.丕=(1丄a2丄0),丕=(1,2,0廠3,0,1)16.(1)欲使方程有解，須使卩二qQ-111、2-1111、其中A二12-14B二12-142J7-4丿

50、17-411對B進行初等行變換，過程如卜:(2-111n2-111117-4112Z7-41112-14(2)行+0-53-72000一2（1）彳亍+（2）彳亍一1（1）彳亍+（3）彳亍顯然，z=5W,rA=rB=2X+2x2一兀+4x4=2-5x2+3-7x4=-312-142)0-53-7-315-37人一2丿2、-3A-5/取(x3,x4)=(X3,x4)x.=-3+3兀一7兀5（2）同樣地，欲使該方程有解，須使二心1G111、其中A二1A1B二1212久111J12JX/（11久才丿01-221-21-221-22-1才一兒/012A-1，-兄1-221-21丿一（1+兄）行+（3）行

51、21-2012-1(1久)(2+2)22(/-1)(2+1(1-刃丿I11B=00010此時rA=rB故方程有解。(000 xY=-x2-x3解為vx2x21-21-VB=03-360003,2=_2時由于rA=#=rB,故方程無解。；IH1且?guī)坠?時，卩二q=方程有唯一解，且X+Ax2+x3=2/C用矩陣表示，即為若將AB都看做自變量，將?？醋鱿禂?shù)，那么，增廣矩陣即為56/12256/1225656/12256/1225655/12255/12255TOC o 1-5 h z兀）11由于列向量線向相關(guān)，故B=Cx2y21=05兒1兀）11故X.”1=05兒1兀）1C、忑”C若為n（n3）點共

52、線，貝I增廣矩陣B二-兒E兒c）該矩陣中第3個列向量可用前兩個線向表出，故r/3o/=!;其余情形下，叮二2考慮直線的特殊情形:C、故，n點共線的充要條件為呂兒CZ兒C,當(dāng)該直線經(jīng)過原點（0,0）時,的秩3j）1、即丕兒1的秩19解：對方程組的增廣矩陣施行初等行變換1-100001-100a2B二001-10偽0001-1L-10001込丿0010-1偽+60001-1a410000+a2+ci4+a5)方程組有解的充要條件為口二心二4則需+冬+4+05=0解出$矩陣對應(yīng)的方程組得:X-x5=ak+a2+a+a4x2-x5=a2+a5+a4x3-xs=a5+a4x4-x5=a4令無二0得到方程

53、組的特解xQ=(cil+a2+a5+a4,a2+a+a4,a3+a4,a4,0)x4-x5=0導(dǎo)出組的方程為X-X5=0 x2-x5=0X3-X5=0令兀二1則得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為云二（1,1,1,1,1）則方程組通解為X二（勺+冬+為+，冬+，$+a494,0)+k(l,1,1,1,1)r-ibcdq-1bcdeCl-1c(1e(II_(b+l)000ab-1(1e0b+1-(c+1)00abc-1e00c+1-e+1)0abcde000b+1-C+1)_4二,C,20.證明（1）方程組的系數(shù)矩陣4系數(shù)a,b,c,d,e中有兩個等于-1即a+1,b+1,c+1,d+1,e+1中有兩個等于0則

54、rA=4,因此方程組必有非零解(2)a+000-10b+100b00c+10000d+10+1)+1)+1)+1)e-1bcdea+l-(b+1)000d+1-(b+1)0000b+1-(c+1)000b+1-(c+1)00T00c+1-(d+1)000c+1-(d+1)0000d+1-2+1)000d+1十+1)_-1bcde已知任何系數(shù)都不等于-1,且ac+.a+lb+1c+1d+1e+158/12258/1225858/12258/1225857/12257/12257則+二0得=4,因此方程組必有非零解.b+1c+1d+1e+la+l21.（1）方程組的系數(shù)矩陣4通過初等行變換化簡32

55、-5A=3-1335134-3T1129730矩陣的秩r4=2004-8171100=A矩陣A的秩rA=24,基礎(chǔ)解系由2個線性無關(guān)的解構(gòu)成人對應(yīng)的方程組為令x2=l,x4=0可解得%!=2,x3=0對應(yīng)的解向量為云=（2丄0,0）25令%.=0,x4=1可解得x=-,x3=-77對應(yīng)的解向量為吃韋,0,-專,1）*/是方程組的一個基礎(chǔ)解系方程組的通解為/=兀=人耳，其中何.心為任意的實數(shù)（3）方程組的系數(shù)矩陣_10-1010_100010_010-101010-1001-10011001-10001-1001000001100-110_000000rA=4,基礎(chǔ)解系由2個線性無關(guān)的解向量構(gòu)成

56、寫出階梯形對應(yīng)的方程組兀=-x5兀=兀*0令x4=i,x5=o解出對應(yīng)的解向量為云二（0,1,i,i,ao）令“=0,乞=1解出對應(yīng)的解向量為=（一1,o,o,o,i,o）是方程組的一個基礎(chǔ)解系方程組的通解為x=kixl=k2x,其中心為任意的實數(shù)（4）方程組的系數(shù)矩陣41000ol56-27423-14201102T_3379-3360001059-31600000A=二3,基礎(chǔ)解系應(yīng)由2個線性無關(guān)的解構(gòu)成階梯矩陣對應(yīng)的方程組為兀=012一1令丕=1山5=0解得對應(yīng)的解向量為兀=0,丄0、03令丕=0,5=1解得對應(yīng)的解向量為E=(0,-1,0,0,1構(gòu)成方程組的一個基礎(chǔ)解系方程組的通解為x

57、=kX、=k2x2，其中何.k2為任意的實數(shù)22(1)假設(shè)x*，E，g，訂線性相關(guān)則存在一組不全為零的一組數(shù)k也k,k“k“使klxl+k2x2+k心x”+x=0,成立若S則r(k、一匕一k、“&k八“r+l八八-r+lklAxl+k2Ax2+訂）=0則“是方程Ax=0的解，與題設(shè)矛盾21-24頁第三章線性方程2.2591225912259若k*=0則kXi+k:x2+.+karxar=0因為Xi,X：,Xnr是導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系則k=k,=k“=0時等式才成立得線性無關(guān)A(x*+xJ=Ax+Ax:=b+0=b(i=1,2,3,.ni)即x*+x方程組Ak=b的解假設(shè)x*,x*+x1,x*+x2

58、,.,x*+xnJfe線性相關(guān)則一定存在一組不全為零的解k,k,k：,kn.r使kox*4-kj(x*+Xj)+k,(x*+x2)+.+ka.x(x*+xn.r)=0成立W(k0+k+k?+ka)x*+k衣i+k2x2+kn.rxn=0成立由(1)已證當(dāng)且僅當(dāng)k0+kj+.ka_r=kj=k2=.=ka.r=0時上式成立即k=k.=0(i=l,2,nr)所以xx*+xt,x*+x,.,x，+丈”線性無關(guān)貝！Ixx+xx*+x,.,x*+xa.rAx=b是nr+l個線性無關(guān)的解習(xí)題三P12123-26題23解：x=k1x1+k2x2+x：Ax=kAxt+kAX2+k:Ax.又X1,X2,.,xs

59、是非齊次線性方程組Ax=b的s個解/.AxbrAx2=b,Ax：=b.Ax=kb+k?b+k：b=b(k+kj+kJ又比+k：+k：=1Ax=b(kt+k2+kj=b/.Ax=bx=kX+k：x?+.+k：x：是非齊次線性方程組Ax=b的解解:k+k+.-.+kx比+k,+匕曲=1=(l-k2-k3ka_r+1)X1+k2x,+&”氏”=X+(X?-xJ+ks(X3-xJ+ka.x+I(xn_r+1-xj/X是Ax=b的一個特解X,x2,Xg+i是非齊次線性方程組Ax=b的11廿1個線性無關(guān)的解Axt=b.Ax2=b.Ax*】=bX：_X,X3-Xi，X_,-X,.Xn_r+i-X是齊次方程組

60、Ax=0的線性無關(guān)解的組合60122601226062/12262/1226262/12262/1226261/12261/12261.-根據(jù)非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)X二X+k;(x;-x1)+k3(x3-x1)+.+ka_r+1(xn_r+1-xJ=(l-k,-k3k“JX+k.x,+ko_r.1xn_r+1又k】+k,+k“=lx=k1x1+k,x;+ka_r+1xa_r+1是非齊次方程組Ax=b的解,其中k”k2,ka_r+IJ任意常數(shù)。ailai2ain解A產(chǎn)虹anai2%、anai2ain0ai:a22a2nai2a22a2n0a2=%au-i%amn0blb2S丿kblb2amla