1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè) 一，常微分方程的基本概念 常微分方程： 含一個(gè)自變量x，未知數(shù)y及若干階導(dǎo)數(shù)的方程式。一般形式為：F（x，y，y，.y(n)）=0 (n0). 常微分方程中包含未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為該方程的階。如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)為3階方程。若f（x）使常微分方程兩端恒等，則f（x）稱為常微分方程的解。含有獨(dú)立的任意個(gè)常數(shù)（個(gè)數(shù)等于方程的階數(shù)）的方程的解稱為常微分方程的通解。如常系數(shù)三階微分方程F（t，x（3）=0的通解的形式為：x（t）=c1x（t）+

2、c2x（t）+c3x（t）。滿足初值條件的解稱為它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。常微分方程之線性及非線性：對(duì)于F（x，y，y，.y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，.y(n)的一次有理式，則次方程為n階線性微分方程。（方程線性與否與自變量無(wú)關(guān)）。如：xy（2）-5y，+3xy=sinx為2階線性微分方程；y（2）+siny=0為非線性微分方程。 注：a.這里主要介紹幾個(gè)主要的，常用的常微分方程的基本 概念。余者如常微分方程之顯隱式解，初值條件，初值問(wèn)題等概念這里予以略去。另外，有興趣的同學(xué)不妨看一下教材23頁(yè)的雅可比矩陣。b.教材28頁(yè)第八題不妨做做。 二.可分離變量的方程 A.

3、變量分離方程定義：形如=f（x)(y)的方程，稱為分離變量方程。這里f（x），（x）分別是x，y的連續(xù)函數(shù)。解法：分離變量法. （*）說(shuō)明： a由于（*）是建立在（y）0的基礎(chǔ)上，故而可能漏解。需視情況補(bǔ)上（y）=0的特解。（有時(shí)候特解也可以和通解統(tǒng)一于一式中）b.不需考慮因自變量引起的分母為零的情況。 例1. 解：由題意分離變量得： 即： 積分之，得： 故原方程通解為： （c為任意常數(shù)），特 解y=0包含在通解中（即兩者統(tǒng)一于一式中）。*例2.若連續(xù)函數(shù)f（x）滿足，則f（x）是？ 解：對(duì)給定的積分方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得： （變上限求積分求導(dǎo)） 分離變量，解之得： 由原方程知： f（0）=l

4、n2， 代入上解析式得： C=ln2， B.可化為分離變量方程的類型。解決數(shù)學(xué)題目有一個(gè)顯而易見(jiàn)的思想：即把遇到的新問(wèn)題，結(jié)合已知條件，設(shè)法將其轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問(wèn)題來(lái)解決。故可把一些常微分方程方程，通過(guò)適當(dāng)變形，轉(zhuǎn)化為大家熟悉的變量分離方程，進(jìn)而解決之。 類型1.1.形式： 形如 （2.2）的方程，此類方程稱為齊次微分方程， 這里g（u）是u的連續(xù)函數(shù)。解法：作變量變換 u=， （2.3） 即y=ux，從而： （2.4） 將（2.3）（2.4）代入（2.2），則原方程變?yōu)椋?這是一個(gè)變量分離方程，可按照A中的方法求解。例3.求解方程： 解：令 u=x+y，則y=u-x，于是： 于是，原方程可化

5、為： 分離變量得： 積分之，得：arctanu=x+c 變量回代，既得 方程之通解： arctan（x+y）=x+c例4求解方程. 解：由題意可得：， 即： （2.5） 令，則，于是：， 代入（2.5）得：， 分離變量，并整理得： 兩邊積分得：，令u= 則有：，從而有： （c0）. 即：，變量回代得：+1 () 類型二：形式：解法：1.當(dāng)c1=c2=0時(shí)， 轉(zhuǎn)化為齊次方程。 2.當(dāng)時(shí)， 則 從而可轉(zhuǎn)化為變量分離方程。 3.當(dāng)且不全為零時(shí)， 解方程組，求交點(diǎn), 令x=X+，則原方程化為： 這是齊次方程。例5.求解方程. 解： 得交點(diǎn)， 令代入原方程有： 令，則，于是：， 從而有：， 整理得：，

6、兩邊積分之，得：， 即： （c10） 即 ：， 變量回代，并整理得： （ c1-=c） 例6. 求解方程. 解：令，則 y=x，從而：， 代入原方程，得：， 整理得：， 分離變量得：， 兩邊積分之：， 變量回代，并整理得： （c是任意常數(shù)） C.線性微分方程和常數(shù)變易法1.形式：形如的一階方程稱為一階線性方 程.當(dāng)時(shí)，稱之為齊次的，否則稱之為非齊次的.2. 解法：利用常數(shù)變易法求解。 其解為：.下面用具體 的題目體現(xiàn)這一思想. 注意：在用公式求解一階線性方程時(shí)，一定要化為標(biāo)注 標(biāo)準(zhǔn)式（的系數(shù)為1），否則易出錯(cuò). 例7 求方程的通解. 解：首先求線性齊次方程的通解， 分離變量得：，兩邊同時(shí)積分，

7、 得：，因而可設(shè)原方程的通解為： ，則 ， 將之入原方程，得： ，即：， 兩邊積分得：，而 = = = = 從而： （這里沒(méi)加常 數(shù) ），從而通解為：. D.伯努利方程及其解法形式：形如（）的方程稱為伯努利方 程.解法：在方程兩邊同時(shí)成乘以做代換，則伯努利方程轉(zhuǎn)化為新的未知函數(shù)z的線性方程，從而可用C中方法解決之.注意：n0時(shí)，方程還有解y=0.例8.求方程的通解. 解：方程兩邊同乘，得：， 即： （2.12） 令 ， 則，將之代入（2.12） 得：. （2.13） , 記（2.13）之通解為：， 于是：，將以上兩式代入（2.13） 得：， ，變量回代得原方程之 通解為：，此外，方程還有解y=

8、0.例9.解方程. 解：這是n=3時(shí)的伯努利方程，令z=， 則方程可化為：，這是一階線性方程， 應(yīng)用公式得： = 這樣，方程之通解為：， 另外，方程有解：y=0. E.恰當(dāng)微分方程與積分因子 形式：對(duì)于一階方程 （2.14） 如果其左端是某一函數(shù)的全微分，即，則稱此方程為恰當(dāng)微分方程.條件：若（2.14）中的在某一單連通區(qū)域D有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則（2.14）為恰當(dāng)微風(fēng)方程 的充要條件為： ，.解的形式：.解法：a.樸素化簡(jiǎn)法：由，得， 再由，得 由上式解得，在積分之既得. (當(dāng)然這種解法具有對(duì)稱性) b.分項(xiàng)組合法：通過(guò)例題予以說(shuō)明.（宜熟記課本54頁(yè)（2.55） c.利用原函數(shù)之積分僅與起

9、始點(diǎn)有關(guān)，而與道路無(wú) 關(guān)求解.（旨在提醒有此法，一般不用） 例10.求的通解. 解：這里，此時(shí)： 因此為恰當(dāng)微分方程. a.樸素化簡(jiǎn)法. 令 （2.15） （2.16） 對(duì)（2.15）關(guān)于x積分，得 （2.17） 對(duì)（2.17）兩邊關(guān)于y求導(dǎo)，并對(duì)照（2.16），得： ，于是 積分之，得：，將代入（2.17），得： ，從而通解為： b.分項(xiàng)組合法. 將上面方程重新組合得： ，即： ，亦即：， 從而通解為:.（此種方法需要多觀察）例11 求解方程 . 解：因?yàn)椋海?故此方程為恰當(dāng)微分方程.分項(xiàng)組合得： ，即 ， 從而方程之通解為：.5. 定義：能使非恰當(dāng)微分方程變成恰當(dāng)微分方程的連續(xù)可微函數(shù)u（

10、x，y）（），稱之為該方程的積分因子.即，滿足 .積分因子(只與x，y有關(guān))的求解： a.與x有關(guān)的積分因子.由得：， b.與y有關(guān)的積分因子.由得：.例12.求方程的通解. 解：由于，故此方程不是恰當(dāng)微 當(dāng)微分方程。又，故方程有只與x有關(guān)的 .這樣，在原方程兩邊同乘得： ，分項(xiàng)組合得： ，即：， 故通解為：，（）例13.求解方程.解：由于，故此方程不是恰當(dāng)微分方 程.而，故方程有積分因子： ，方程兩邊同乘，得： ，分項(xiàng)組合得：， 即： ， . F.一階隱式微分方程與參數(shù)表示. 本節(jié)雖然考試會(huì)涉及到一些，但分量相對(duì)較小.大家可以少花些時(shí)間（做好，做懂課后習(xí)題即可）.在這里，此稿也就不說(shuō)及其形式

11、與解法了. 三.一階微分方程解的存在定理利普希茨條件：對(duì)于，如果存在常數(shù)L0，使之在R（R：）上滿足不等式，則其關(guān)于y滿足利普希茨條件。如果在矩形域R上連續(xù)且關(guān)于y滿足利普希茨條件，則 （3.1）存在唯一解，定義域區(qū)間上，連續(xù)且滿足初值條件，這里：，.滿足初值條件的皮卡的逼近函數(shù)序列： （一致收斂，且為（3.1）的第n次近似解）誤差估計(jì)：尋找解的存在唯一性定理的條件所滿足的區(qū)域，就是尋找f（x，y）連續(xù)和滿足利普希茨條件的區(qū)域，困難在于利普希茨條件的驗(yàn)證.除用定義外，還常用下面的結(jié)論：在D上存在且有界，則f（x，y）在D上滿足利普希茨條件；若在D上存在且無(wú)界，則不滿足李普希茨條件. 例14.方

12、程定義在區(qū)域R：上，是利用存在唯一性定理確定過(guò)點(diǎn)（0,0）的解的存在區(qū)間，并據(jù)此尋找誤差不超過(guò)0.05的近似解的表達(dá)式.解：由于，在R連續(xù)且有界，于是f（x，y）滿足利普希茨條件.又，從而解的存在區(qū)間為，由，故取L=2，則據(jù)題意有：=，由于當(dāng)n=3時(shí)，故可得出如下近似表達(dá)式：，=另外，教材88頁(yè)第3題可以做一做. 四.高階微分方程大家可以對(duì)照課本掌握（*）或了解以下概念.n階非齊次線性微分方程，n階其次線性微分方程(P121)，解的存在性唯一定理(P121)，函數(shù)線性相（無(wú)）關(guān)性，函數(shù)的朗斯基行列式(P122)，*4.齊次線性微分方程的性質(zhì) （1，P121.解的疊加原理；2，p123-124定

13、理三四；3，p125定理5,6；p126推論）*5.非齊次線性微分方程的基本性質(zhì).（p127，性質(zhì)1,2，定理7.至于常數(shù)變易法用具體題目體現(xiàn)）*6常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程（p137）7歐拉方程（p142），*8類型1，類型2的解法（p145） 例15.求解方程.其基本解組為：.解：1，常數(shù)變易法：依題意原方程的通解為：， （1）則 令 （2）則 ，于是（3）將（1），（3）代入原方程有： （4）聯(lián)立（2）（4），解的：，積分之，得;(5)將（5）代入（1）得方程的通解為： 2.公式法.方程之特征方程為：，故其對(duì)應(yīng)的齊次線性方程的通解為：.依題意，方程有一特解：，代入原方程有：，故原方

14、程的通解為：. 例16.求解方程.解：方程之特征方程為：，解之得：.故方程之通解為： 例17：求解方程：.解：由題意：，解之得：因此，方程之通解為：. 例18：求解方程：解：特征方程為：.解之得：.故方程之通解為： 例19：求解方程.解：特征方程為：解之得：故其齊次方程之通解為：知方程有特解形式：將之代入原方程有：.得通解為： 例20：求解方程解：特征方程為：故其齊次方程之通解為：據(jù)題意知方程有特解形式：將之代入方程有：故原方程之通解為;大家注意p182.T1的高階方程. 五.線性方程組線性方程組的一般理論：（非）齊次線性微分方程組（p202）；p203定理3；p204定理4,5；p205定理5，基本解組（p206），基解矩陣（p208）；p208定理1,2；p121定理7；p212定理8；P222的結(jié)論，p227定理10；2題目P190例2；p201T1；p208例1；p213例2；p217T8,9；P244T4；p245T5,6. 六.非線性微分方程掌握的知識(shí)點(diǎn)：P279奇點(diǎn)；p280（6.36）；p287關(guān)于p，q與a，b，c，d的關(guān)系；p288圖（6.10） 題目