1、 中小學(xué)數(shù)學(xué)教師素養(yǎng)史寧中（東北師范大學(xué)校長(zhǎng)）于北京一、中小學(xué)數(shù)學(xué)教師素養(yǎng)（一）教師的基本素養(yǎng)我認(rèn)為現(xiàn)在的中、小學(xué)教師應(yīng)追求一個(gè)新的目標(biāo)努力成為一名好的教師。我們國(guó)家在教育上有一個(gè)基本的轉(zhuǎn)變：過(guò)去努力解決一個(gè)能上學(xué)的問(wèn)題，現(xiàn)在要解決的是上好學(xué)的問(wèn)題。我想，能上學(xué)的問(wèn)題主要是政府的行為，那么能上好學(xué)的問(wèn)題主要是校長(zhǎng)和教師的責(zé)任。一個(gè)好的校長(zhǎng)實(shí)在太重要了。怎樣當(dāng)一個(gè)好的教師呢？1、熱愛教育事業(yè)。熱愛教育事業(yè)應(yīng)該主動(dòng)去熱愛，這是興趣之所在，是人生價(jià)值之所在，不是被動(dòng)的責(zé)任感式的熱愛。而是要真心的熱愛，只要有了這個(gè)勁頭的話就可能當(dāng)一個(gè)好的教師。光有熱愛還不行，還需要有一個(gè)很重要的教育理念。2、樹立明確

2、的教育理念。對(duì)于中、小學(xué)教師來(lái)說(shuō)很重要的教育理念是：知識(shí)的掌握是一方面，教育理念的掌握是另一方面。這個(gè)教育理念必須是以人為本的教育理念。幾乎所有的領(lǐng)域都在談以人為本，而以人為本這個(gè)理念是從教育上先提出來(lái)的，這之前的理念是以知識(shí)為本的理念。以知識(shí)為本的理念在本質(zhì)上只關(guān)心兩件事情，就是我們應(yīng)該教什么？應(yīng)該讓學(xué)生掌握到什么程度？在這個(gè)理念指導(dǎo)下，我們整個(gè)的教學(xué)就是三個(gè)中心，就是凱洛夫提到的，以課堂為中心；以課本為中心；以教師為中心。這三個(gè)中心對(duì)中國(guó)的教育影響是非常大的，到現(xiàn)在為止很多提法在很多地方還是這三中心，這個(gè)問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是指教師是整個(gè)教學(xué)活動(dòng)的中心、主人。以知識(shí)為本的教育我不是說(shuō)它不好，它只適應(yīng)

3、于大工業(yè)時(shí)代。大工業(yè)時(shí)代的特點(diǎn)是標(biāo)準(zhǔn)化，個(gè)個(gè)工區(qū)的標(biāo)準(zhǔn)化以及產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn)化，因此它需要的人才也是標(biāo)準(zhǔn)化的人才，實(shí)施的教育也應(yīng)是標(biāo)準(zhǔn)化的教育，所以他的教學(xué)模式以及考試形態(tài)基本是標(biāo)準(zhǔn)化的，這是傳統(tǒng)的教育。但是近幾十年來(lái)，因?yàn)橹R(shí)經(jīng)濟(jì)的出現(xiàn)，信息產(chǎn)業(yè)的出現(xiàn)，使得我們不可能進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化的工作，因此在這個(gè)新的經(jīng)濟(jì)模式之下，在這個(gè)社會(huì)發(fā)展的驅(qū)動(dòng)之下，我們必須改變我們的教育理念，這就是以人為本的教育理念。我試著解釋一下以人為本的教育：、關(guān)注學(xué)生的全面成長(zhǎng)、培養(yǎng)合格的人。就是我們常說(shuō)的素質(zhì)教育。、對(duì)小學(xué)教師尤其重要的，就是學(xué)會(huì)站在受教育者的立場(chǎng)上思考問(wèn)題。這也是我們東北師大提出的尊重教育。講一個(gè)故事：我留學(xué)時(shí)間比

4、較長(zhǎng)，兒子跟我是在日本讀完幼兒園讀完小學(xué)二年級(jí)后回來(lái)的，回來(lái)后到我們附小念書，在日本，一到四年級(jí)是一邊玩一邊學(xué)習(xí)的，所以到了附小后，上課要求手背后，不許交頭接耳，不許東張西望，無(wú)論如何要給老師亮出一個(gè)聽課的架勢(shì)，反正你也不知道他聽沒(méi)聽。我兒子不行，一會(huì)兒捅捅這個(gè)，一會(huì)兒捅捅那個(gè)。老師認(rèn)為他表現(xiàn)不好，表現(xiàn)不好你就說(shuō)他兩句算了，回想那個(gè)時(shí)候接近20年前，老師就讓我兒子到操場(chǎng)上去站著，一站就是兩個(gè)多小時(shí)。我兒子在日本時(shí)非常愿意念書的，他對(duì)動(dòng)物學(xué)和天文學(xué)都非常感興趣。結(jié)果，兩個(gè)月后我兒子說(shuō)啥也不愿去學(xué)校了。我就跟老師論理，我說(shuō)你怎么這么教書，完了她給我說(shuō)了一句話，給我氣傻啦，她說(shuō)我是為你兒子好。我兒子

5、愿意念書，讓你教了半天不愿意念書了你怎么是為我兒子好呢？當(dāng)時(shí)我氣得實(shí)在沒(méi)招。后來(lái)我當(dāng)了校長(zhǎng)，我?guī)缀趺磕甓既ソo附小講課，到現(xiàn)在已經(jīng)講了十多年了，就是要讓老師改變教育理念。你說(shuō)你是真的為我兒子好啊，還是假的為我兒子好啊，我說(shuō)你是為你自己好，為了你教學(xué)維護(hù)秩序方便、為了你講課方便，這完全是為了你自己好，怎么是為我兒子好呢？后來(lái)我為了把這件事情想得更透，我就找了幾個(gè)理由：第一、要站在學(xué)生的立場(chǎng)上去思考問(wèn)題，學(xué)生才是學(xué)習(xí)的主體。有一種說(shuō)法“教育是社會(huì)發(fā)展的需要”。我想作為一個(gè)國(guó)家總理、作為政府來(lái)說(shuō)是社會(huì)發(fā)展的需要，而作為一個(gè)教師來(lái)說(shuō)，一定要認(rèn)為教育是一個(gè)孩子生存的需要。我認(rèn)為愿意接受教育是一個(gè)孩子的本能

6、。什么是本能呢？本能就是不經(jīng)過(guò)思考的一種下意識(shí)的行為。小孩不斷提問(wèn)題，不是吃飽了沒(méi)事干，它是通過(guò)提問(wèn)題了解周邊世界，它要更好的活下去。所以教育是本能在接受教育，學(xué)生天生是都愿意念書的，老師教書的第一條，就是教孩子愿意念書。培養(yǎng)孩子念書的興趣。所以教育的真諦就是發(fā)揚(yáng)孩子們的本能，使得他們的潛能得到真正的發(fā)展。第二、要根據(jù)教育規(guī)律辦事。什么是教育規(guī)律辦事呢？最近十幾年有一個(gè)新的學(xué)問(wèn)問(wèn)世，就是表觀遺傳學(xué)，表觀遺傳學(xué)是說(shuō)人基因是天生帶來(lái)了。但是，你不在后天、不在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)給它適當(dāng)?shù)拇碳?，這個(gè)基因不能得到充分的表達(dá)。這是什么意思呢？舉個(gè)例子說(shuō)，一個(gè)猴子，剛生下來(lái)，就把他的眼睛封住，一個(gè)多月后再打開，它已

7、看不見什么東西了。同樣，一個(gè)小孩，8歲之前你不教他說(shuō)話，8歲之后他已經(jīng)說(shuō)不好話了。一個(gè)孩子應(yīng)該有一個(gè)智力開發(fā)期。例如立體感觀的認(rèn)識(shí)，一個(gè)圖形分辨的認(rèn)識(shí)，這些基本的能力是存在的，不實(shí)施后天的認(rèn)識(shí)他不能得到充分的表達(dá)。我們的教育應(yīng)該知道，在什么時(shí)候是他表達(dá)最充分、最合適的時(shí)間，而在哪個(gè)時(shí)間給他最充分的表達(dá)。我有兩件事情證明一、二年級(jí)的小孩不懂?dāng)?shù)學(xué)，不懂?dāng)?shù)學(xué)就不要給他講數(shù)學(xué)。試驗(yàn)一：在袋子里放5個(gè)球，4個(gè)白球1個(gè)紅球，從袋子里摸出一個(gè)球來(lái)，可能是什么顏色的呢？我在一至六年級(jí)的孩子中做實(shí)驗(yàn)，非常明顯，一、二年級(jí)的孩子答，我摸的是白球；三四年級(jí)的孩子答，我可能摸到白球，也可能摸到紅球；五六年級(jí)的孩子答，

8、摸到白球的可能性比摸到紅球的可能性大。這件事說(shuō)明什么呢？說(shuō)明小孩對(duì)可能性是怎么回事這個(gè)詞不理解，它不是對(duì)數(shù)學(xué)不懂而是對(duì)闡述數(shù)學(xué)的那個(gè)概念不懂，如果概念不懂的話你給他講什么，你一定要注意，用來(lái)闡述數(shù)學(xué)的概念的本身他是否懂了，特別是在小學(xué)階段，小學(xué)階段千萬(wàn)不能講離開她生活背景的數(shù)學(xué)。他懂什么叫“祖國(guó)”嗎？“祖國(guó)”這么抽象的概念他怎么能懂呢。他懂得他的爸爸、媽媽，他懂他的同學(xué)、他懂他周邊的大自然，所以你說(shuō)祖國(guó)山河多美好，他懂得什么是祖國(guó)山河多美好嗎，不按這個(gè)方法去教書的話是教不好書的。我認(rèn)為知識(shí)分三種：一種是教了也不會(huì)的知識(shí)；一種是不教都會(huì)的知識(shí)；一種是教了才會(huì)的知識(shí)。按教育規(guī)律辦事就是要教那些教了

9、能會(huì)的知識(shí)。教了也不會(huì)的知識(shí)千萬(wàn)不要教。不教也能會(huì)的知識(shí)教他干什么。要順其自然。要下功夫分辨哪些是教了能會(huì)的知識(shí)，我們要叫這些知識(shí)。試驗(yàn)二：我發(fā)現(xiàn)孩子的基本邏輯建立不起來(lái)，所以你不要講許多邏輯推理的知識(shí)。我是這么做的試驗(yàn)：有9個(gè)格子，格子里放上9樣?xùn)|西，小刀、橡皮，。讓孩子們看上3、4秒鐘，再拿去讓他們復(fù)原。小學(xué)一年級(jí)到六年級(jí)的復(fù)原率都差不多，都在8690%之間，但是復(fù)原的方式完全不一樣。小學(xué)一、二、三年級(jí)的學(xué)生是看著這里有小刀、有橡皮，就拿著小刀放到格子里；而小學(xué)四、五、六年級(jí)的學(xué)生是按原來(lái)的順序記下來(lái)的，格子里有小刀，就找出小刀放在原來(lái)小刀的位置上，基本概念不同。就此知道小學(xué)的基本邏輯不清

10、，邏輯最基本最基本的概念是“序”的問(wèn)題，小學(xué)生“序”的關(guān)系不很清楚。所以在小學(xué)特別是在一、二年級(jí)不要講太多的邏輯的東西。第三、要啟發(fā)學(xué)生思考。有人問(wèn)我什么樣的課算是一節(jié)好課？我認(rèn)為，一堂好課，除了傳授知識(shí)之外，要滿足兩條：第一條，能培養(yǎng)孩子們的學(xué)習(xí)興趣，因?yàn)閷W(xué)習(xí)的興趣是學(xué)習(xí)的根本動(dòng)力。而一個(gè)人在小學(xué)階段對(duì)什么東西都不感興趣的話，那么這個(gè)孩子的未來(lái)就不好辦了。必須讓他對(duì)一些事情感興趣，他不學(xué)數(shù)學(xué)可以，但他應(yīng)該有他感興趣的東西，應(yīng)該知道熱愛一些事情，這樣的話才可能以后有創(chuàng)造力。第二條，要培養(yǎng)孩子的良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。關(guān)于良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣很多人有爭(zhēng)議。什么叫良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，我認(rèn)為：不是上課手背到后面；不是

11、上課不交頭接耳；也不是課前預(yù)習(xí)；甚至不是上完課回家寫作業(yè)，這些都不是。良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣就是能跟老師一起思考，而思考的根本是在于他能集中精力。所以小學(xué)階段培養(yǎng)孩子良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣的核心是能夠培養(yǎng)孩子們集中精力。集中精力實(shí)在太重要了。把問(wèn)題想不深刻得很重要的原因是不能集中精力。孩子集中精力的時(shí)間大概是20分鐘，你就得把握好這20分鐘，在20分鐘里把你要講的東西經(jīng)典的講出來(lái)。你看到孩子要溜號(hào)時(shí)，你不可能把孩子的精力拉回來(lái)時(shí)，怎么辦？你就通過(guò)一些活動(dòng)、講故事讓孩子休息一下，在休息的過(guò)程中也能學(xué)到一點(diǎn)東西。我提出一個(gè)想法，這類事情是需要尋找一個(gè)規(guī)律性的東西的。因?yàn)槲覀儾皇且蛉耸┙?，因人施教的話好辦。我們是對(duì)

12、課堂上幾十個(gè)同學(xué)同時(shí)施教，這樣必須找到一個(gè)共性，我們是一個(gè)共性的教育嗎。有一個(gè)集中精力很好的辦法，就是要脫離背景去思考問(wèn)題。我問(wèn)一個(gè)小學(xué)生一個(gè)問(wèn)題，圓周是多少？小學(xué)生說(shuō)：2nR。我說(shuō)那半圓的周長(zhǎng)是多少？小學(xué)生想想說(shuō)，是不是圓的一周的一半再加上直徑阿。我說(shuō)是阿，你得告訴我公式是什么？他說(shuō)那沒(méi)有紙?jiān)趺磳?？我說(shuō)那不行，你學(xué)數(shù)學(xué)的得有個(gè)能耐，不靠本，不靠書，就得在腦子里想，把你的腦袋當(dāng)草紙，你想啊。那孩子想了一會(huì)兒，告訴了我，我特別高興。其實(shí)我是在訓(xùn)練孩子思維，這是集中精力的一個(gè)很好的辦法。就是脫離任何背景，全憑腦袋思考。中國(guó)人是寫漢字的，中國(guó)人脫離形象不能思維，這是應(yīng)該注意的。我在日本留學(xué)的時(shí)候，碰

13、到一個(gè)非洲的學(xué)生，這個(gè)學(xué)生會(huì)幾國(guó)語(yǔ)言，到了日本后半年日語(yǔ)也學(xué)得很好。后來(lái)我突然想的一個(gè)問(wèn)題，我就問(wèn)這個(gè)非洲學(xué)生，你得母語(yǔ)是不是沒(méi)有文字？他說(shuō)是的。他的母語(yǔ)沒(méi)有文字這說(shuō)明什么？說(shuō)明他的耳朵特別好使。他從小就是靠耳朵來(lái)記東西的，而不是像中國(guó)人是靠眼睛記東西的。所以，我們應(yīng)該在小學(xué)階段，一方面要教會(huì)學(xué)生用眼睛記東西，同時(shí)也要教會(huì)學(xué)生通過(guò)耳朵或通過(guò)腦子在沒(méi)有畫的情況下不寫東西也能記住東西，。你看現(xiàn)在好多外國(guó)人在中國(guó)演藝，漢語(yǔ)說(shuō)得多漂亮，他不看漢字肯定不會(huì)寫，肯定是文盲，中國(guó)人幾乎辦不到。中國(guó)人學(xué)英語(yǔ)都得寫，不寫記不住。所以要注意教育規(guī)律，如何教會(huì)學(xué)生思考。3、建立大教育的觀念。在學(xué)校里，所有活動(dòng)都是一

14、個(gè)大的教育。不能為了活動(dòng)而活動(dòng)，要注意它的教育價(jià)值。我認(rèn)為培養(yǎng)孩子們良好、開朗的性格；培養(yǎng)他們的合作能力、語(yǔ)言表達(dá)能力、組織能力；對(duì)生活的觀察與思考能力。通過(guò)各種活動(dòng)能夠達(dá)到這些目標(biāo)。特別想說(shuō)的是學(xué)科內(nèi)的，語(yǔ)文也好、數(shù)學(xué)也好，一定要注意孩子的全面成長(zhǎng)。因?yàn)閷W(xué)科的學(xué)習(xí)的時(shí)間占整個(gè)的70%以上，這70%以上的時(shí)間不進(jìn)行性格的塑造是不行的。這樣的教育將不是一個(gè)好的教育。不管你是教數(shù)學(xué)的還是教語(yǔ)文的教師，在上課的過(guò)程中，必須要教這么三件事情：第一學(xué)習(xí)的興趣；第二良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣；第三良好的身心素質(zhì)。我認(rèn)為良好的身心素質(zhì)就是開朗的性格，能夠善于與他人交流，能夠發(fā)展自己的思想。事實(shí)上，長(zhǎng)大出問(wèn)題的人，就是過(guò)

15、分內(nèi)向的人，過(guò)分封閉的人。我們的小學(xué)不要培養(yǎng)出這樣的人來(lái)。一個(gè)人本身的塑造，不是通過(guò)思想品德課；也不是通過(guò)活動(dòng)，而是在所有的教學(xué)活動(dòng)中，通過(guò)老師的潛移默化來(lái)養(yǎng)成的。4、學(xué)會(huì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力。我們過(guò)去沒(méi)有注意到的，一個(gè)非常重要的問(wèn)題，就是創(chuàng)造力的培養(yǎng)。這是我們的教育最缺乏的。而且這也是我們制定教育規(guī)劃中總理最關(guān)心的，如何建設(shè)創(chuàng)新型國(guó)家，如何培養(yǎng)出有創(chuàng)造力的學(xué)生，具有創(chuàng)造力的人才。這太重要了。?創(chuàng)造力應(yīng)從基礎(chǔ)教育抓起過(guò)去我們有個(gè)誤區(qū)：誤認(rèn)為創(chuàng)造力是在大學(xué)或大學(xué)以后培養(yǎng)的，其實(shí)，創(chuàng)造型人才絕對(duì)是基礎(chǔ)教育培養(yǎng)的。一個(gè)18歲的孩子，沒(méi)有一個(gè)獨(dú)立思考問(wèn)題的能力，他長(zhǎng)大以后絕對(duì)不能成為一個(gè)人才。必須在小學(xué)或

16、初中把一些創(chuàng)造的意識(shí)，或創(chuàng)造的能力培養(yǎng)出來(lái)，創(chuàng)造的機(jī)遇是以后對(duì)事情。創(chuàng)新的意識(shí)絕對(duì)是基礎(chǔ)教育培養(yǎng)的，甚至是小學(xué)階段培養(yǎng)的。所以我們要通過(guò)一系列的事情，啟發(fā)他們思考，鼓勵(lì)他們創(chuàng)造，它創(chuàng)造的東西哪怕是微不足道的，只要對(duì)他來(lái)說(shuō)是新的，那就是創(chuàng)造。不要把創(chuàng)造看得那么高，那么遠(yuǎn)，那么高、那么遠(yuǎn)的話就不可能實(shí)現(xiàn)了。而意識(shí)真正的塑造，就在于它克服了一些困難之后的喜悅。一個(gè)人很簡(jiǎn)單的得到一個(gè)東西，它不一定會(huì)喜悅，特別是對(duì)一個(gè)孩子。但是他通過(guò)千辛萬(wàn)苦得來(lái)的東西，他肯定會(huì)喜悅，它會(huì)記一輩子的。這就是創(chuàng)造的源泉。所以我很支持一些數(shù)學(xué)活動(dòng)，數(shù)學(xué)活動(dòng)不要搞得太多，但是在數(shù)學(xué)活動(dòng)中一定要激發(fā)孩子的創(chuàng)造性。?關(guān)于創(chuàng)造力下面

17、談一下創(chuàng)造能力。創(chuàng)造能力有三條：一個(gè)是知識(shí)的掌握；一個(gè)是思維的訓(xùn)練；一個(gè)是經(jīng)驗(yàn)的積累。我們整個(gè)的基礎(chǔ)教育，關(guān)于知識(shí)的掌握打100分，關(guān)于知識(shí)的傳授，中國(guó)是一點(diǎn)兒?jiǎn)栴}都沒(méi)有，絕對(duì)達(dá)100分。關(guān)于經(jīng)驗(yàn)的積累，打0分，因?yàn)槲覀儧](méi)有教。關(guān)于思維訓(xùn)練，打50分，我們交了一半。什么沒(méi)有教，就是經(jīng)驗(yàn)積累。?關(guān)于經(jīng)驗(yàn)積累（基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）如果說(shuō)以知識(shí)為本的教育中，知識(shí)是結(jié)果，是你思考的結(jié)果，知識(shí)也可能是你經(jīng)驗(yàn)的結(jié)果，知識(shí)是總結(jié)以后的東西。因此，以知識(shí)為本的教育是一種結(jié)果的教育。所以我們以前的教育是一種結(jié)果的教育，這種教育是不能夠培養(yǎng)智慧的，為什么呢？智慧表現(xiàn)在過(guò)程中，只有在解題的過(guò)程中，你才能發(fā)現(xiàn)那個(gè)孩子更有智

18、慧。一個(gè)事情做成了，在做成的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)他們是如何克服困難的。表現(xiàn)過(guò)程之中的東西，完全靠結(jié)果的教育，是教不出來(lái)的。必須通過(guò)過(guò)程的教育，也就是說(shuō)，我們必須在教育的一個(gè)過(guò)程中培養(yǎng)一種能力。這個(gè)能力就起名叫智慧。所以我們只關(guān)注結(jié)果的教育是不夠的，我們還要關(guān)注過(guò)程的教育。我們應(yīng)該明白，世界上的很多東西是不可傳遞的，就是說(shuō)不可能通過(guò)你的語(yǔ)言就能夠表述的，就能夠掌握的東西，只能靠親身經(jīng)歷。如包餃子，你不親手包是不可能會(huì)包的；蓋房子，你怎么講，他不親身參與是不可能會(huì)蓋房子的。所以必須讓孩子親身參與在這個(gè)過(guò)程中，最重要的是幫助孩子理清如何去思考問(wèn)題；如何去提出問(wèn)題；如何去反思。幫助孩子逐漸積累這方面的經(jīng)驗(yàn)。?關(guān)

19、于思維訓(xùn)練（基本思想）我認(rèn)為在本質(zhì)上，思維有兩種形式。一種形式叫做演繹推理；一種形式叫做歸納推理。幾乎所有科學(xué)家都這么認(rèn)為。比如愛因斯坦說(shuō)：“西方科學(xué)的發(fā)展是以兩個(gè)偉大成就為基礎(chǔ)，那就是：希臘哲學(xué)家發(fā)明的形式邏輯體系（在歐幾里德幾何中），以及通過(guò)系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)有可能找出因果關(guān)系（在文藝復(fù)興時(shí)期）?！痹俦热鐥钫駥幷f(shuō)：“我很有幸能夠在兩個(gè)具有不同文化背景的過(guò)度里學(xué)習(xí)和工作，我在中國(guó)學(xué)到了演繹能力，我在美國(guó)學(xué)到了歸納能力。”演繹能力即能夠熟練使用演繹推理的能力。演繹推理來(lái)源于亞里士多德。就是我們討論問(wèn)題必須有一個(gè)共同的出發(fā)點(diǎn)，這個(gè)出發(fā)點(diǎn)本身不需要再討論的。數(shù)學(xué)討論問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)是公理、公式、定義、概念

20、、假設(shè)。有了這個(gè)出發(fā)點(diǎn)，接下來(lái)的論證只要是合理的、正確的，就能保證結(jié)果和前提的同樣性。就是亞里士多德提出的著名的三段論。這是演繹中最核心的。什么是三段論，就是大前提、小前提、結(jié)論。這是一種由一般到特殊的推理。比如凡人都有死，蘇格拉底是人，蘇格拉底就有死。就是說(shuō)蘇是人，人都得死，蘇也得死。這就是數(shù)學(xué)證明。開始前提然后千方百計(jì)地證明你要討論的這個(gè)東西滿足這個(gè)前提。那么你討論的這個(gè)前提和得到的結(jié)論是一樣的。這就是數(shù)學(xué)論證的東西。而演繹推理只能驗(yàn)證一個(gè)結(jié)論，它不能用于發(fā)現(xiàn)真理，他怎么可能發(fā)現(xiàn)真理呢？都是正確性命題，怎么能發(fā)現(xiàn)真理。演繹這個(gè)東西非常有意思，演繹在中國(guó)古代根本沒(méi)有，我現(xiàn)在正在非常認(rèn)真的研究

21、，中國(guó)人是如何思考問(wèn)題的？西方人是如何思考問(wèn)題的？我現(xiàn)在正在寫一本叫做數(shù)學(xué)思想概論的書。我認(rèn)為數(shù)學(xué)的思想基本有三個(gè)。一個(gè)是抽象；一個(gè)是推理；一個(gè)是模型。數(shù)學(xué)是你在現(xiàn)實(shí)生活中見到的共同的東西，在哲學(xué)上叫做共性。把共性抽象出來(lái)定義為數(shù)學(xué)問(wèn)題，而數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展是邏輯推理，得到一系列結(jié)論。然后數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，靠的是模型。用數(shù)學(xué)工具構(gòu)造了一個(gè)模型來(lái)解釋外部世界，我認(rèn)為數(shù)學(xué)主要靠這么三個(gè)思想。中國(guó)人怎么想問(wèn)題？有一點(diǎn)是可以肯定的，中國(guó)人從古代開始根本沒(méi)有演繹，這個(gè)事情我是想透了。但是中國(guó)人是如何來(lái)思考問(wèn)題的？一個(gè)規(guī)律性的東西，我正在想。最近讀了從老子、論語(yǔ)、周易等書，拼命的讀，我在找它們的共性，思想

22、的共性。我找我們古代這些先人們思維的共性。現(xiàn)在碰到的不是數(shù)學(xué)上的問(wèn)題，把數(shù)學(xué)理出頭緒來(lái)還好理，就是思維的頭緒最難理。我們?nèi)鄙賰蓚€(gè)能力：一個(gè)是根據(jù)情況預(yù)測(cè)結(jié)果的能力，我們沒(méi)有教。還有一個(gè)是根據(jù)結(jié)果“探究成因”的能力，這個(gè)也沒(méi)有教。我倒認(rèn)為我們小學(xué)數(shù)學(xué)研究研究這個(gè)問(wèn)題，給了一些條件之后，如何讓孩子們?nèi)グl(fā)現(xiàn)結(jié)果呢？去預(yù)測(cè)一下結(jié)果呢？在幼兒園做一個(gè)實(shí)驗(yàn)：一個(gè)塑料瓶子，裝滿水，上、下各扎一個(gè)眼兒，問(wèn)孩子哪一個(gè)眼兒里的水刺得遠(yuǎn)？然后在試驗(yàn)一下，看一看哪一個(gè)刺得遠(yuǎn)。我想總要教孩子一些預(yù)測(cè)，然后驗(yàn)證一下孩子們的預(yù)測(cè)對(duì)不對(duì)。你不要只教那些死的、固定了的東西。要在小學(xué)階段開發(fā)學(xué)生的智力，這段時(shí)間不開發(fā)智力，（什么

23、時(shí)間開發(fā)呢？）知識(shí)本身不是核心。還有一種思維叫做從特殊到一般的推理，這個(gè)推理就是歸納推理。這是培根在新工具一書提出來(lái)的。歸納推理就是從個(gè)別現(xiàn)象出發(fā)，抽象出共性，總結(jié)出一般的結(jié)論。歸納出的結(jié)果不一定是最（對(duì)）的，但是歸納是必要的，歸納是發(fā)現(xiàn)真理最重要的手段，之所以培根提出這個(gè)問(wèn)題，這是文藝復(fù)興時(shí)期，工業(yè)快速發(fā)展，發(fā)現(xiàn)三段論的不足，就是發(fā)現(xiàn)了演繹方法的不足，當(dāng)時(shí)需要給出一個(gè)新的思維方法，所以培根從認(rèn)識(shí)論的角度提出了很多東西，這對(duì)科學(xué)的發(fā)展起了很重要的作用。?關(guān)于“雙基”“四基”。在小學(xué)階段，反復(fù)訓(xùn)練不是最主要的。特別是一些形式上的東西。什么大R怎么寫？等號(hào)怎么寫？那東西不是主要的。要抓住本質(zhì)的東西

24、教。所以這次在修改課標(biāo)的時(shí)候，就稍改了一下，傳統(tǒng)的雙基，基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，加上“基本思想”、“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”，變成了四基。?關(guān)于“兩能”“四能”。傳統(tǒng)的“兩能”，就是分析能力、解決問(wèn)題的能力加了兩能，就是“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力”、“提出問(wèn)題的能力”。舉幾個(gè)教學(xué)中的例子；例一、有鵝4只，是鴨子的1/3，問(wèn)有幾只鴨子？這堂課的教學(xué)目的是：4*1/3=4X3=12。這個(gè)算式的意義是非常難講的，為什么就是4*1/3呢？由此聯(lián)想到數(shù)學(xué)的四則運(yùn)算。事實(shí)上只有一種運(yùn)算，就是加法運(yùn)算，加法運(yùn)算是建立在自然數(shù)或者正整數(shù)之上的，現(xiàn)在把0放在自然數(shù)里是完全沒(méi)有道理的。0不是本質(zhì)的，在自然書中，最本質(zhì)的數(shù)是“1”，老子說(shuō)

25、的話是沒(méi)錯(cuò)的，“道生1，1生2，2生3，3生萬(wàn)物。”1代表著有，“道”屬無(wú)，從無(wú)到有，1是本質(zhì)的。加法的本質(zhì)是1加1。為什么0不是本質(zhì)，這就涉及到了數(shù)，什么是數(shù)？數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，要抽象就要把本質(zhì)的東西抽象出來(lái)。數(shù)量的本質(zhì)是什么呢？數(shù)量的本質(zhì)是多和少。在動(dòng)物哪里能找到例子，動(dòng)物是最知道多少的，來(lái)一只狼，狗敢跟它打一陣子，來(lái)一群狼，狗肯定跑了。再舉一個(gè)例子：科學(xué)預(yù)言中有個(gè)故事，很有意思，田莊地頭有一個(gè)望樓，看場(chǎng)院的。上面經(jīng)常有烏鴉?？刺锏霓r(nóng)民想把烏鴉殺死，可是他一進(jìn)望樓，烏鴉就跑了，老遠(yuǎn)在哪樹上瞅著他。等他走了，烏鴉又回來(lái)了，給他氣得沒(méi)辦法。這個(gè)人很聰明，他說(shuō)我這回進(jìn)去兩人，出來(lái)一個(gè)，留一個(gè)人，

26、等烏鴉回來(lái)時(shí)殺死它。可是烏鴉比人還聰明，進(jìn)去兩人，出來(lái)一人，烏鴉不回來(lái)，就等那人出來(lái)后烏鴉才回去。后來(lái)進(jìn)去3人出來(lái)2人，進(jìn)去4人出來(lái)3人，烏鴉都不回來(lái)。最后進(jìn)去5人出來(lái)4人，烏鴉分不清了。烏鴉就會(huì)來(lái)了。烏鴉回來(lái)殺沒(méi)有殺死是另外一回事，反正烏鴉回來(lái)了。烏鴉不僅能分辨多和少，還分辨?zhèn)€數(shù)之間的差異。我對(duì)這件事情很好奇，就找孩子做試驗(yàn)，唉！孩子也只能分辨出3、4個(gè)數(shù)來(lái)，也是在3和4之間，多了也蒙。我估計(jì)啊，成人也是這樣，遇到8、9也蒙。進(jìn)來(lái)了8個(gè)人，下次進(jìn)來(lái)7個(gè)人，你會(huì)認(rèn)為人一般多的。所以人比動(dòng)物沒(méi)聰明多少，聰明在哪兒呢？聰明在會(huì)數(shù)數(shù)啦。烏鴉和動(dòng)物不會(huì)數(shù)數(shù)，就這塊聰明。所以，抽象成數(shù)是非常重要的。如果

27、數(shù)量的本質(zhì)是數(shù)的話，那么抽象出的“數(shù)”的本質(zhì)是什么呢？是“多”和“少”。多和少最簡(jiǎn)單的情況是多多少呢?是多1個(gè)。所以1是非常核心的。1是“有”的代表。那么，什么是數(shù)呢？數(shù)就是有大小順序的符號(hào)，你不管使用A、B、C、D也好，還是用1、2、3、4也好，你怎么排都行，只要有大小順序它就可以和數(shù)一一對(duì)應(yīng)起來(lái)。特別是他們之間的差是1的話，就可以和自然數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)，這就是“數(shù)”的本質(zhì)，這就是“數(shù)”。我理解的數(shù)就是這么個(gè)東西。所以”數(shù)”的本質(zhì)是能夠用來(lái)比較大小的符號(hào)。這個(gè)符號(hào)變成阿拉伯?dāng)?shù)字就是10個(gè)字母加上位數(shù)0。這就是數(shù)。在數(shù)的根本上我們?cè)谶M(jìn)行運(yùn)算，就是加法。我為什么說(shuō)只有加法呢？減法是加法的逆運(yùn)算，因?yàn)闇p

28、法的出現(xiàn)才有了0，有了負(fù)數(shù)，就把正整數(shù)或者是自然數(shù)擴(kuò)展到了整數(shù)。那么，乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算，3X3表示什么呢？表示3個(gè)3相加，是加起來(lái)的。所以正數(shù)乘正數(shù)好理解，正數(shù)乘負(fù)數(shù)也好理解，就是3個(gè)-3加起來(lái)就是-9，所以正數(shù)乘負(fù)數(shù)等于負(fù)數(shù)。負(fù)數(shù)乘負(fù)數(shù)就不好理解了，這是證明出來(lái)的，是個(gè)規(guī)定。這個(gè)證明是：任何數(shù)乘0都等于0,-1X0=0或者0=-1X0；1+-1=0,所以，0=-1X1+(-1)=-1X1+(1)X(1),1X1=1，那么，0=1+(1)X(1),只有+1加上-1才可能等于0,所以，(-l)X(-l)=+1對(duì)嗎！一種運(yùn)算在這個(gè)集合上成立，而擴(kuò)展到一個(gè)新的集合上時(shí)，需要證明。很多運(yùn)算法則本身

29、是需要驗(yàn)證的。就是說(shuō)，在正整數(shù)集合上成立的一種運(yùn)算，到了一個(gè)新的集合上是不是成立，是需要驗(yàn)證的。那么，除法是什么呢？除法是乘法的逆運(yùn)算?；氐缴厦娴挠懻撋?，就是什么數(shù)乘上1/3=4呢？而除法恰是乘法的逆運(yùn)算，就變成了什么數(shù)=4*1/3呢？除法是從乘法過(guò)渡而來(lái)的，不是一開始就是除法。因此，講課應(yīng)這樣講，首先破解1/3的含義，什么叫鵝是鴨的1/3啊？是指鵝的數(shù)量是鴨的數(shù)量的1/3，也就是說(shuō)，有3只鴨子，有1只鵝，這就是破解。同理推下來(lái)：有6只鴨子，就有2只鵝，有多少只鴨子，就有4只鵝呢？孩子們肯定會(huì)算，用乘法算，就是12只。所以12=4*1/3，而12恰等于4X3。這是不是偶然呢？你再做一些試驗(yàn)，發(fā)

30、現(xiàn)這個(gè)規(guī)律是一般的，因此，我們就規(guī)定4*1/3=4X3。這就叫做歸納的方法。我認(rèn)為我們教書應(yīng)該這樣教。教一些歸納的方法，開始不要講道理，而且道理你也講不通，這沒(méi)有道理可講，也不要給孩子們說(shuō)這是歸納法，應(yīng)該邊講故事邊讓孩子們自己捋、捋、捋出條線來(lái)。其實(shí)過(guò)程教育就是幫助孩子們會(huì)思考，從頭到尾把問(wèn)題想清楚。例二，在一個(gè)房間里有4條腿的椅子和3條腿的凳子共16個(gè)，如果椅子腿和凳子腿加起來(lái)共16個(gè)，有幾個(gè)椅子和幾個(gè)凳子？有關(guān)雞兔同籠的問(wèn)題，雞兔相差兩條腿，太難了。我們把4條腿的叫椅子，3條腿的叫凳子。椅子和凳子相差一條腿，有利于學(xué)生進(jìn)行“嘗試”。處理這樣的題目，我們老師一上來(lái)就講道理。我當(dāng)年學(xué)的時(shí)候，老

31、師就是給我講道理，我好像懂了知識(shí)沒(méi)有懂得道理。我后來(lái)做了很多研究的時(shí)候我發(fā)現(xiàn)，所有的問(wèn)題都是從最簡(jiǎn)單的數(shù)想起，列舉幾個(gè)數(shù)看對(duì)不對(duì)，對(duì)了之后把它推廣出來(lái)就完了。一個(gè)東西都是這么做出來(lái)的。我后來(lái)年紀(jì)逐漸大了的時(shí)候才感悟出這個(gè)道理。一定記住，沒(méi)有一個(gè)人腦袋里想一個(gè)非常復(fù)雜的問(wèn)題，那腦袋不是累死了嗎。他想得是非常簡(jiǎn)單的東西。我最近給一些中小學(xué)老師講，我是如何判斷你對(duì)一個(gè)知識(shí)明不明白的，這就是能不能舉出例子，如果你能舉出例子來(lái)，就說(shuō)明你學(xué)明白了，如果你舉不出例子，就說(shuō)明你沒(méi)明白。如果你能舉出一個(gè)讓所有人都能聽懂的例子，那你就能深入淺出啦。像例二我認(rèn)為這么講，先別講道理，試一試絕對(duì)是一個(gè)好辦法，看起來(lái)笨，

32、其實(shí)很聰明。有16個(gè)椅子，凳子就是0，加出的腿就是64，腿多了怎么辦？減椅子，加凳子；那么，15個(gè)椅子，1個(gè)凳子，加出的腿是63，腿還多。再減椅子，加凳子。，椅子數(shù)凳子數(shù)腿的總數(shù)1604X16=641514X15+3X1=631424X14+3X2=62對(duì)于凳子和椅子的問(wèn)題，可以仍然用嘗試的方法列方程：椅子數(shù)凳子數(shù)腿的總數(shù)A=1616-a=04Xa+3X(16-a)=64A=1516-a=14Xa+3X(16-a)=63A=1416-a=24Xa+3X(16-a)=62這樣符合題意的方程為：4Xa+3X(16-a)=60這樣的話孩子們肯定自己能把方程列出來(lái)，如果孩子們能自己把方程列出來(lái)，我認(rèn)為

33、這個(gè)教學(xué)就成功了。老師講出來(lái)，你講得再精彩，那都是你老師的事。只有學(xué)生自己推出來(lái)的才是自己的東西。所以有時(shí)候老師講得茁一點(diǎn)，不要緊，要引發(fā)學(xué)生思考，而引發(fā)學(xué)生思考的最好辦法，是你跟學(xué)生一塊兒思考，你明明懂了，但你還跟著一起來(lái)想，來(lái)引導(dǎo)學(xué)生想，一起想，最后把這個(gè)結(jié)論得到，逐漸逐漸得這么教，就可能培養(yǎng)出一個(gè)能想問(wèn)題的孩子。所以講得太精彩不一定是一個(gè)好老師，我認(rèn)為能引發(fā)學(xué)生跟你一起思考、能培養(yǎng)一個(gè)好的思考習(xí)慣的，才是一個(gè)好老師。例三，袋子里有5個(gè)球，4個(gè)白裘1個(gè)紅球，通過(guò)摸球估計(jì)那種球多、兩種球的比例。摸球驗(yàn)證出現(xiàn)白球的可能性是4/5。這是一個(gè)原始的問(wèn)題，就是擲硬幣，記錄總的次數(shù)和正面朝上的次數(shù)。過(guò)

34、去的教學(xué)叫頻率，來(lái)驗(yàn)證是不是1/2。這件事情本質(zhì)上的不成立的教學(xué)方法。應(yīng)該是這樣的，不是驗(yàn)證白球出現(xiàn)的可能性是4/5。如果驗(yàn)證白球出現(xiàn)的可能性是4/5，那是數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)是有差別的。數(shù)學(xué)的歸納，出發(fā)點(diǎn)是公理、命題和運(yùn)算法則。對(duì)問(wèn)題判斷的方法是演繹法，整個(gè)過(guò)程是演繹的。對(duì)結(jié)果的判斷是對(duì)和錯(cuò)，在數(shù)學(xué)上必須給出一個(gè)對(duì)和錯(cuò)的判斷。而統(tǒng)計(jì)學(xué)的核心是什么呢？統(tǒng)計(jì)學(xué)的出發(fā)點(diǎn)是數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)學(xué)是通過(guò)數(shù)據(jù)來(lái)判斷產(chǎn)生數(shù)據(jù)的背景的信息。比如我通過(guò)JDP來(lái)估計(jì)一個(gè)國(guó)家的經(jīng)濟(jì)發(fā)展情況；通過(guò)人均JDP來(lái)估計(jì)這個(gè)國(guó)家的人的生活水平。我是通過(guò)數(shù)據(jù)獲取一些信息，這是統(tǒng)計(jì)學(xué)的思想。出發(fā)點(diǎn)是不一樣的，論證的方法和原則也是不一樣的。因

35、此，統(tǒng)計(jì)學(xué)最后結(jié)論的判斷是什么呢？不是對(duì)和錯(cuò)，而是好和壞。所以我們數(shù)學(xué)老師的腦子里要有這個(gè)印象，對(duì)所有結(jié)果的判斷不一定必須是對(duì)和錯(cuò)，可能有好壞之分。對(duì)一個(gè)學(xué)生思考能力的判斷，沒(méi)有對(duì)、錯(cuò)，只有好壞，要分清楚。像例三這個(gè)問(wèn)題要這樣教，讓孩子們摸球，摸完了放回去，放回去是為了保證它的隨機(jī)性，就是每次的條件是一樣的。要記下摸了幾次球，出現(xiàn)白球是多少次。然后問(wèn)學(xué)生第一個(gè)問(wèn)題：這里是白球多還是紅球多？在一般情況下，白球比紅球多，在不很特殊的情況下，肯定白球比紅球多。你事先不要告訴孩子這里有多少個(gè)球，更不能告訴他們有幾個(gè)白球幾個(gè)紅球。你就告訴孩子有一些球，我們估計(jì)一下、預(yù)測(cè)一下、推算一下白球多還是紅球多？手

36、段是什么呢？是摸球，摸了看。這就是嘗試推理。莫的次數(shù)多的時(shí)候孩子們就知道了，白球和紅球的比例是多少呢？一定記住，摸球摸出來(lái)的恰恰是4/5，這可能性是不大的。但是，4/5是8/10，7/10到9/10之間的可能性還是很大的。所以，我們數(shù)學(xué)必須認(rèn)定一個(gè)數(shù)等于另一個(gè)數(shù)是不成立的。我們?cè)谡f(shuō)一個(gè)數(shù)的時(shí)候，事實(shí)上說(shuō)這個(gè)值可能取在這個(gè)數(shù)的附近，所以，我們?cè)谛W(xué)教學(xué)中，經(jīng)常要談到估計(jì)的問(wèn)題，事實(shí)上在現(xiàn)實(shí)中恰恰是這樣的，有些事情不一定成立的，除了人為的。這樣就有一個(gè)區(qū)間的概念，那么，這個(gè)球的比例大概在7/109/10之間，這是可以算出來(lái)的。就是說(shuō)，如果你摸球60次以上，那么你摸到的球有95%是在7/10到9/1

37、0之間。就是100次的摸，可能會(huì)有95次是在7/10和9/10之間，這樣就挺好了。還要解釋一個(gè)問(wèn)題，就是一種估計(jì)的方法。整個(gè)摸球的次數(shù)當(dāng)分母，摸白球的次數(shù)當(dāng)分子，這個(gè)方法不一定是最好的，方法有好有壞。比如：投籃球，就投一把，投中了。你能估計(jì)他投籃球的準(zhǔn)確率是100%？投2個(gè)，都重了。你能說(shuō)正確率是100%嗎？用這個(gè)方法只能得到1，就是100%，怎么辦呢？還有一個(gè)方法。摸球的總數(shù)加2當(dāng)分母，摸白球的數(shù)加1當(dāng)分子，那好，投1次重了，就是1+1/2+1=2/3（概率），投5把都重了，概率就是5+1/5+2=6/7，但是永遠(yuǎn)不能是1，比1差一點(diǎn)。這個(gè)方法不也挺好的嗎。所以對(duì)世界上很多事情方法不是唯一的

38、，判斷也不一定必須是正確或錯(cuò)誤。在進(jìn)行統(tǒng)計(jì)學(xué)教學(xué)中，要讓孩子懂得世界上還有這樣的思維方法，還有這樣對(duì)事務(wù)處理的方法。這樣的教學(xué)就是過(guò)程的教學(xué)，在這個(gè)過(guò)程中培養(yǎng)孩子的思維、培養(yǎng)孩子的智慧。再講幾何的問(wèn)題，幾何講最簡(jiǎn)單的點(diǎn)、線、面、幾何圖形。亞里士多德說(shuō)：“我們研究點(diǎn)、線、面，不是想證明點(diǎn)、線、面的存在，而是想研究點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系。”我們講圖形并不是說(shuō)一個(gè)三角形是存在的、一個(gè)正方形是存在的，而是講它們之間的關(guān)系。三角形可以分成三種類型，銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形。他們的分水嶺是什么呢？他們的分水嶺在直角上，比直角小時(shí)銳角，比直角大是鈍角。分類的事情往往有包含的關(guān)系，圖形的包含關(guān)系是最難

39、講的。平行四邊形里包含著矩形，孩子們很難能理解，但是老師腦袋里要有個(gè)數(shù)，如果這個(gè)集合和那個(gè)集合一點(diǎn)關(guān)系也沒(méi)有的話，孩子一下就變清楚了。最難懂的是正方形是矩形，他很難理解，包含關(guān)系是最難理解的。我們教幾何很重要的是教直觀，直觀是極為重要的。所有的數(shù)學(xué)結(jié)論是看出來(lái)的，不是證出來(lái)的。沒(méi)有一個(gè)數(shù)學(xué)家說(shuō)，他不知道目的就把結(jié)果證出來(lái)的，他首先想像一個(gè)結(jié)果，然后用演繹的方法證這個(gè)結(jié)果，這個(gè)結(jié)果是怎么看出來(lái)的？用歸納的方法看出來(lái)的，看憑借什么？憑借直觀，所以，小學(xué)數(shù)學(xué)特別是幾何教學(xué)培養(yǎng)孩子直觀是非常重要的。它通過(guò)圖有個(gè)感性認(rèn)識(shí)，能預(yù)測(cè)到一些結(jié)果。特別是三維空間，我們圖形是把三維空間的東西硬拿到二維空間上來(lái)，在

40、平面上讀。事實(shí)上孩子們看到的都是三維的。因此，在一、二年級(jí)讓孩子們看立體的圖形很重要。事實(shí)也證明，小學(xué)一、二年級(jí)的孩子的直觀想像并不差于初中的孩子，甚至比初中的還要好。所以，在小學(xué)階段的教育中，我認(rèn)為還是兩條，一個(gè)是培養(yǎng)孩子的興趣，還有一個(gè)是該教給孩子什么你就教什么。這是兩個(gè)核心的根本的問(wèn)題。（二）、教師的特殊素質(zhì)小學(xué)教學(xué)一定要注意身邊的事情，要多實(shí)踐，不能想當(dāng)然。特別是要站在學(xué)生的立場(chǎng)想問(wèn)題，學(xué)生會(huì)怎么想，我如何引導(dǎo)他們得到一個(gè)更好的思維方法，把這些積累起來(lái)就是經(jīng)驗(yàn)。1、扎實(shí)的數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)。作為一名小學(xué)數(shù)學(xué)教師，對(duì)中小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容所涉及的幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)與概率等學(xué)科的內(nèi)容要有初步的理解

41、，對(duì)中小學(xué)數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容能夠把握，知道其中的關(guān)聯(lián)。如：小學(xué)與中學(xué)：數(shù)的運(yùn)算與擴(kuò)展，初中與高中函數(shù)定義的異同、方程與函數(shù)等。2、全面把握數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)。數(shù)學(xué)的核心是：抽象、邏輯、模型；數(shù)學(xué)的本質(zhì)是：研究“關(guān)系”；數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是：定義、符號(hào)、假設(shè)。例如：兩個(gè)蘋果、兩匹馬“2”：就是一個(gè)抽象的符號(hào)，現(xiàn)實(shí)中是不存在的。再如：點(diǎn)是怎樣抽象出最本質(zhì)的東西呢？歐幾里德叫做沒(méi)有部分的東西。什么叫線呢？線就是只有長(zhǎng)度的那種東西。什么叫直線呢？直線就是排齊的那種線。這些定義是沒(méi)有道理的，如果不這么定義又表示不了這些東西。真正的抽象應(yīng)抽象到什么程度呢？基爾普特認(rèn)為應(yīng)抽象到符號(hào)。他說(shuō)：我用大寫字母A、B、C來(lái)表示點(diǎn)，用小

42、寫字母a、b、c來(lái)表示線，用希臘字母0、&、&來(lái)表示面，然后再用一個(gè)符號(hào)表示他們之間的關(guān)系。現(xiàn)代數(shù)學(xué)就抽象到這一步了，是不是合理，我認(rèn)為非常合理。真正擺脫了物理意義上的抽象，只能用符號(hào)表示了。所以近代數(shù)學(xué)的核心是：概念的符號(hào)化和推理的形式化。這個(gè)思想越來(lái)越影響到中學(xué)數(shù)學(xué)，甚至小學(xué)數(shù)學(xué)。但是這個(gè)思想也有弊端，為什么？這對(duì)于培養(yǎng)直觀非常不利，對(duì)看到結(jié)果也是不利的。我非常希望小學(xué)老師能知道這些，數(shù)學(xué)獎(jiǎng)的是概念的符號(hào)化、推理的形式化。但講課的時(shí)候不能這么講，還要將孩子們身邊的事。有一個(gè)幾何中的例子，埃及的亞歷山大圖書館，有一屆館長(zhǎng)叫貝塔，他是個(gè)地理學(xué)家。他在資料中看到，尼羅河的某地在夏至的這天，豎起一個(gè)桿子，沒(méi)有影子，太陽(yáng)光可以直接照到井底的水面上?？墒牵谕惶焱粫r(shí)刻，在亞歷山大豎起一個(gè)桿子為什么有影子呢？這是他得到一個(gè)結(jié)論：地球是圓的。為什么呢？他有一個(gè)假設(shè)，數(shù)學(xué)就是驗(yàn)證假設(shè)的。它假設(shè)太陽(yáng)光照在地球的表面上是是平行的，如果地球是平面的，那么太陽(yáng)光在一個(gè)地方照射沒(méi)有影子，在其他地方也應(yīng)該沒(méi)有影子，產(chǎn)生影子的原因就是因?yàn)榈厍蚴菆A的。這里就用到小學(xué)數(shù)學(xué)中的平行。再一個(gè)例子，什么叫直線？孩子們一定認(rèn)為，