1、周 次復(fù)變函數(shù)教 案時課型教具課題課2 4.1 傅里葉變換過程2 新授教材1、懂得傅里葉變換的概念教學(xué)目的2、把握復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算教學(xué)重點(diǎn)復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算例證法、啟示誘導(dǎo)法、講授法教學(xué)方法教學(xué)一、 引入 傅立葉變換是數(shù)字信號處理領(lǐng)域一種很重要的算法；傅立葉原理說明：任何連續(xù)測量的時序或信號,都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加；而依據(jù)該原理創(chuàng)立的傅 立葉變換算法利用直接測量到的原始信號,以累加方式來運(yùn)算該信號中不同正弦波信號的2頻率、振幅和相位；因此,可以說,傅立葉變換將原先難以處理的時域信號轉(zhuǎn)換成了易于 分析的頻域信號（信號的頻譜）,可以利用一些工具對這些頻域信號進(jìn)行處理、加工；二、講授新

2、課 1、傅里葉級數(shù)假如我們將基本三角函數(shù)中的函數(shù),任意取n 個組合,就我們可以得到一個較復(fù)雜的函數(shù)；例如圖1（ a）是兩個函數(shù)的組合1f x 14sint11 3sin 3 t1sin 5 ；圖15（b）是三個函數(shù)的組合f x 4sintsin 3 tsin 5tsin 7 ；357假如我們?nèi)「嗟暮瘮?shù)組合,甚至全體的組合,將會得到更復(fù)雜的函數(shù)或我們期望的函數(shù)；現(xiàn)在我們爭論上述問題的逆問題；即假如給定一個周期為 T 的任意周期函數(shù) Tf t我們能否將它表示成簡潔的三角函數(shù)（有限個或無限個）之和呢？即能否將 Tf t 分解成如下形式：fTta 0n1ancosnw tb nsinnw t2其中w

3、 02T2fTtcosnw t t n 00,1,2,Ta n2TT2b n2T2f Ttsinnw t t n1,2,T2T假如能實現(xiàn)這種分解,那么對很多復(fù)雜的函數(shù)就可以通過簡潔的三角函數(shù)來爭論其性質(zhì)了；上述問題的回答是確定的,由于正弦函數(shù)與余弦函數(shù)可以統(tǒng)一地由指數(shù)函數(shù)表示出來,因此我們可以得到另外一種更為簡潔的形式fTt=nc e njnw t 0,其中, 是工程中常用的習(xí)慣 ji）c n1T2fTtejnw t 0dt,（n0, 1, 2,TT2稱為傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式；傅里葉級數(shù)有著特別明確的物理含義；在傅里葉級數(shù)的三角形式中,基頻為 w ,頻率為基頻的倍數(shù) nw ；n 稱為相位；在傅

4、里葉級數(shù)的指數(shù)形式中,c 為周期函數(shù) Tf t 的離散頻譜,nc 為離散振幅譜,arg c 為離散相位譜；為了進(jìn)一步明確 c 與頻率 nw 的對應(yīng)關(guān)系,經(jīng)常記 F nw 0= c n例 1 求以 T 為周期的函數(shù)fTt=0, -T2ttT02,02的離散頻譜和它的傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式；解：令w 02,F01T2fTtej w t 0d t0fTtdt21TT2fTtdtT當(dāng)n0 時, c0TT21T2fTtdt1T2T0TTT21T2fTtdt1T22dt1t21000TTT當(dāng)n0 時,cnF nw 01T2f Ttejnw t 0d td tn10,當(dāng) 為偶數(shù)TT2102f Ttejnw

5、t 0d t1T2fTtejnw t 0TTT01T2fTtejnw t 0d t1T22 ejnw t 0d tT0T02T2ejnw t 0d tjejnw 0T12T0njejn1jcosnjsin2j,當(dāng) 為奇數(shù)nnnf Tt 的傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式為f Tt1n2 n2jej2n1w t 0,1振幅譜為相 位 譜為F nw 01, n02, 4,argF nw 00,n0, 2, 4,0,n2 , nn1, 3,22,n1,3,5,1, 3, 5,n2、博氏積分與博氏變換（1）通過前面的爭論,我們知道了一個周期函數(shù)可以綻開為傅里葉級數(shù),那么,對非周期函數(shù)是否同樣適合？即令TT li

6、m時,由周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)來推倒非周期函數(shù)的傅里葉積分公式；f tfTt,在依據(jù)積分定義,在肯定條件下,可整理成ft1fejwdejwtdw2就式為傅里葉積分公式,簡稱博氏積分；（2）傅氏變換與傅氏積分從式動身,令F wf t ejwtdt就有1 jwtf t F w e dw2 其 中 式 為 傅 里 葉 變 換 （ 簡 稱 傅 氏 變 換 ）, 函 數(shù)F w 稱 為f t 的 像 函 數(shù) , 記 為F x F f x；稱為傅里葉逆函數(shù)（簡稱傅氏逆變換）即傅氏積分,其中,函數(shù)1f t 稱為F w的像原函數(shù),記為 f x F F x；與傅氏級數(shù)一樣,傅氏變換也有明確的物理含義；F w 為頻譜

7、密度函數(shù)（簡稱頻譜或者連續(xù)頻譜） ,稱Fw為振幅,arg Fw 為相位譜；由于傅氏變換這種特別的物理含義,因而在工程實際中得到廣泛的應(yīng)用；ft1,tdt0的傅氏變換以及傅氏積分表達(dá)式0,t例 2 求矩陣脈沖函數(shù)解：FfxF wf t ejwt=ejwtd t1 jwejwt1ejwjw ejw2sin ww2sinww振幅譜為sinwF w2w相位譜為2 n 2 n 10, warg F w n 0,1,2,2 n 1 2 n 2, w再依據(jù)可得到傅氏逆變換,即 f t 的傅氏積分表達(dá)式為1 jwtf t F w e dw2= 1 2 sin w e jwtdw2 wjwte = cos wt

8、 j sin wt原式 = 1 2 sin w cos wt j sin wt dw2 w= 1 2 sin w cos wt dw + 1 2 sin w j sin wt dw2 w 2 w= 1 2 sin wcos wt dw2 w0, w aF x a 0 ,例3 已知f t的頻譜為 1, w a 求f t解：f t F 1F x 1 F w e jwtdw21 a jwt2 a 1 e dwjwt1 e aa2 jtsin at a sin att atatf t e , t 0 a 0例4 求單邊指數(shù)衰減函數(shù) 0 , t 0 的 傅氏變換；解：F w F f x f t e jwtdtat jwt at jwt a jw te e dt e dt e dt0 0 0a jw te 1 10 0a jw a j