1、多元函數(shù)的極值和最值條件極值 拉格朗日乘數(shù)法小結(jié) 思考題 作業(yè)第八節(jié) 多元函數(shù)的極值與 拉格朗日乘數(shù)法第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用1一、多元函數(shù)的極值和最值1.極大值和極小值的定義一元函數(shù)的極值的定義:是在一點(diǎn)附近將函數(shù)值比大小.定義點(diǎn)P0為函數(shù)的極大值點(diǎn). 類(lèi)似可定義極小值點(diǎn)和極小值.設(shè)在點(diǎn)P0的某個(gè)鄰域, 為極大值.則稱(chēng)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法2 注 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)的 函數(shù)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)的多元函數(shù)的極值也是局部的, 一般來(lái)說(shuō):極大值未必是函數(shù)的最大值.極小值未必是函數(shù)的最小值.有時(shí),極值.極值點(diǎn).內(nèi)的值比較.是與P0的鄰域極小值可能比極大值還大.多元

2、函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法3例例例 函數(shù) 存在極值, 在(0,0)點(diǎn)取極小值. 在(0,0)點(diǎn)取極大值.(也是最大值).在(0,0)點(diǎn)無(wú)極值.橢圓拋物面下半個(gè)圓錐面馬鞍面在簡(jiǎn)單的情形下是容易判斷的.函數(shù)函數(shù)(也是最小值).函數(shù)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法42.極值的必要條件證定理1(必要條件)則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零:有極大值,不妨設(shè)都有多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法說(shuō)明一元函數(shù)有極大值,必有類(lèi)似地可證5推廣如果三元函數(shù)具有偏導(dǎo)數(shù),則它在有極值的必要條件為多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法均稱(chēng)為函數(shù)的駐點(diǎn)極值點(diǎn)仿照一元函數(shù),凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn),駐點(diǎn).如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)如,駐

3、點(diǎn),但不是極值點(diǎn). 注63.極值的充分條件定理2(充分條件)的某鄰域內(nèi)連續(xù),有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),處是否取得極值的條件如下:(1)有極值,有極大值,有極小值;(2)沒(méi)有極值;(3)可能有極值,也可能無(wú)極值.多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法7求函數(shù) 極值的一般步驟:第一步解方程組求出實(shí)數(shù)解,得駐點(diǎn).第二步對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值第三步定出的符號(hào),再判定是否是極值.多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法8例 解又在點(diǎn)(0,0)處, 在點(diǎn)(a,a)處, 故故即的極值.在(0,0)無(wú)極值;在(a,a)有極大值,多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法9解練習(xí)求由方程將方程兩邊分別對(duì)x, y求偏導(dǎo)數(shù),由函數(shù)取極值

4、的必要條件知,駐點(diǎn)為將上方程組再分別對(duì)x, y求偏導(dǎo)數(shù),多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法法一10故函數(shù)在P有極值.代入原方程,為極小值;為極大值.多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法所以所以11求由方程多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法解練習(xí)法二 配方法 方程可變形為 于是 顯然, 根號(hào)中的極大值為4,由可知,為極值.即為極大值,為極小值.12取得.然而,如函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)不存在,這些點(diǎn)當(dāng)然不是駐點(diǎn),如:函數(shù)不存在,但函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處都具有極大值. 在研究函數(shù)的極值時(shí),除研究函數(shù)的駐點(diǎn)外,還應(yīng)研究偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).注由極值的必要條件知,極值只可能在駐點(diǎn)處但也可能是極值點(diǎn).在點(diǎn)(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù)

5、多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法13多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法2003年考研數(shù)學(xué)(一), 4分選擇題已知函數(shù)f (x, y)在點(diǎn)(0, 0)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù),則(A) 點(diǎn)(0, 0)不是f (x, y)的極值點(diǎn).(B) 點(diǎn)(0, 0)是f (x, y)的極大值點(diǎn).(C) 點(diǎn)(0, 0)是f (x, y)的極小值點(diǎn).(D) 根據(jù)所給條件無(wú)法判斷點(diǎn)(0, 0)是否為f (x, y)的極值點(diǎn).14其中最大者即為最大值, 與一元函數(shù)相類(lèi)似,可利用函數(shù)的極值來(lái)求函數(shù)的最大值和最小值.4.多元函數(shù)的最值求最值的一般方法最小者即為最小值.將函數(shù)在D內(nèi)的所有嫌疑點(diǎn)的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比

6、較,多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法15解(1) 求函數(shù)在D內(nèi)的駐點(diǎn) 由于所以函數(shù)在D內(nèi)無(wú)極值.(2) 求函數(shù)在 D邊界上的最值(現(xiàn)最值只能在邊界上)圍成的三角形閉域D上的最大(小)值.例多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法D16在邊界線在邊界線由于最小, 由于又在端點(diǎn)(1,0)處,所以,最大.有駐點(diǎn) 函數(shù)值有單調(diào)上升.多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法D17在邊界線所以, 最值在端點(diǎn)處.由于 函數(shù)單調(diào)下降,(3)比較多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法D18解練習(xí)此時(shí)的最大值與最小值.駐點(diǎn)得多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法上在求4:94),(2222+=yxDyxyxf19對(duì)自變量有附加條件的極值.其他條件.無(wú)

7、條件極值對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外,并無(wú)條件極值多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法20解例已知長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高的和為18,問(wèn)長(zhǎng)、寬、高各取什么值時(shí)長(zhǎng)方體的體積最大？設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為由題意長(zhǎng)方體的體積為多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法且長(zhǎng)方體體積一定有最大值,體體積最大.故當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)、寬、高都為6時(shí)長(zhǎng)方由于V在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),21上例的極值問(wèn)題也可以看成是求三元函數(shù)的極值,要受到條件的限制,這便是一個(gè)條件極值問(wèn)題.目標(biāo)函數(shù)約束條件多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法 有時(shí)條件極值目標(biāo)函數(shù)中化為無(wú)條件極值.可通過(guò)將約束條件代入但在一般情形甚至是不可能的. 下面要介紹解決條件極

8、值問(wèn)題的一般方法:下,這樣做是有困難的,拉格朗日乘數(shù)法22拉格朗日乘數(shù)法:現(xiàn)要尋求目標(biāo)函數(shù)在約束條件 下取得利用隱函數(shù)的概念與求導(dǎo)法 如函數(shù)(1)在由條件(1)(2)極值的必要條件.取得所求的極值,那末首先有(3)確定y是x的隱函數(shù)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法 不必將它真的解出來(lái),則于是函數(shù)(1)即, 取得所取得極值.求的極值.),(,(xyxfz=23其中代入(4)得:由一元可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件知:(4)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法取得極值.在(3) ,(5)兩式取得極值的必要條件.就是函數(shù)(1)在條件(2)下的)(,(xyxfz=24 設(shè)上述必要條件變?yōu)? (6)中的前兩式的左邊

9、正是函數(shù):(6)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)在的值.函數(shù)稱(chēng)為拉格朗日函數(shù),稱(chēng)為拉格朗日乘子,是一個(gè)待定常數(shù).25拉格朗日乘數(shù)法:極值的必要條件在條件要找函數(shù)下的可能極值點(diǎn),先構(gòu)造函數(shù)為某一常數(shù),其中可由解出其中就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo).多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法26如何確定所求得的點(diǎn)實(shí)際問(wèn)題中, 非實(shí)際問(wèn)題我們這里不做進(jìn)一步的討論.拉格朗日乘數(shù)法可推廣:判定.可根據(jù)問(wèn)題本身的性質(zhì)來(lái)的情況.自變量多于兩個(gè)是否為極值點(diǎn)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法27解則又是實(shí)際問(wèn)題,解得唯一駐點(diǎn)一定存在最值.令?此題是否也可化為無(wú)條件極值做多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法28解為橢球面上的一點(diǎn)

10、,令則的切平面方程為在第一卦限內(nèi)作橢球面的使切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的例切平面,四面體體積最小,求切點(diǎn)坐標(biāo).多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法29目標(biāo)函數(shù)該切平面在三個(gè)軸上的截距各為化簡(jiǎn)為所求四面體的體積約束條件在條件下求V 的最小值,多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法30約束條件令由目標(biāo)函數(shù)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法31可得即當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)為四面體的體積最小多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法32練習(xí)解為簡(jiǎn)化計(jì)算,令是曲面上的點(diǎn),它與已知點(diǎn)的距離為問(wèn)題化為在下求的最小值.目標(biāo)函數(shù)約束條件多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法33設(shè)(1)(2)(3)(4)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法34由于問(wèn)題確實(shí)存在最小值，故

11、得唯一駐點(diǎn)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法還有別的簡(jiǎn)單方法嗎用幾何法!35練習(xí)解 為此作拉格朗日乘函數(shù):上的最大值與最小值.在圓內(nèi)的可能的極值點(diǎn);在圓上的最大、最小值.多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法9)2()2(2222-+-+=yxyxz在圓求函數(shù)36最大值為最小值為多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法9)2()2(),(2222-+-+=yxyxyxLl22yxz+=函數(shù)上，在圓9)2()2(22-+-yx37多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法2002年考研數(shù)學(xué)(一), 7分 設(shè)有一小山,取它的底面所在的平面為xOy坐標(biāo)面,其底部所占的區(qū)域?yàn)?小山的高度函數(shù)為 (1) 設(shè)M(x0 , y0)為區(qū)域D上

12、一點(diǎn),問(wèn)h(x, y)在該點(diǎn)沿平面上什么方向的方向?qū)?shù)最大? 若記此方向?qū)?shù)的最大值為g(x0 , y0),試寫(xiě)出g(x0 , y0)的表達(dá)式. (2) 現(xiàn)欲利用此小山開(kāi)展攀巖活動(dòng),為此需要在山腳尋找一上山坡度最大的點(diǎn)作為攀登的起點(diǎn).是說(shuō),要在D的邊界線上找出使(1)中的g(x, y)達(dá)到最大值的點(diǎn).試確定攀巖起點(diǎn)的位置.也就練習(xí)38多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法解 (1) 由梯度的幾何意義知, 方向的方向?qū)?shù)最大,h(x, y)在點(diǎn)M(x0 , y0)處沿梯度方向?qū)?shù)的最大值為該梯度的模,所以 (2) 令由題意,只需求在約束條件下的最大值點(diǎn).令39多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法則(1)(2)

13、(3)(1) + (2):從而得由(1)得再由(3)得由(3)得于是得到4個(gè)可能的極大值點(diǎn)可作為攀登的起點(diǎn).40多元函數(shù)極值的概念條件極值 拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)取得極值的必要條件、充分條件多元函數(shù)最值的概念多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法三、小結(jié)(上述問(wèn)題均可與一元函數(shù)類(lèi)比)41多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法思考題答不一定.二元函數(shù)在點(diǎn)處有極值(不妨設(shè)為極小值),是指存在當(dāng)點(diǎn)且沿任何曲線趨向于一元函數(shù)在點(diǎn) x0處取得有極小值,表示動(dòng)點(diǎn)且沿直線42多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法并沿該直線(即沿平行于Ox軸的正負(fù)方向)趨向于它們的關(guān)系是:在點(diǎn)取得極大(小)值取得極大(小)值.43內(nèi)容總結(jié)多元函數(shù)的極值和最值。條件極值 拉格朗日乘數(shù)法。小結(jié) 思考題 作業(yè)。一元函數(shù)的極值的定義:。點(diǎn)P0為函數(shù)的極大值點(diǎn).。類(lèi)似可定義極小值點(diǎn)和極小值.。函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)的。多元函數(shù)的極值也是局部的,。在(0,0)點(diǎn)取極小值.。在(0,0)點(diǎn)取極大值.。在(0,0)點(diǎn)無(wú)極值.。在點(diǎn)(0,0)處,。在點(diǎn)(a,a)處,。在(0,0)無(wú)極值。在(a,a)有極大值,。將方程兩邊分別對(duì)x, y求偏導(dǎo)數(shù),。將上方