1、廣東石油化工學(xué)院高州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機系310數(shù)學(xué)(2)班成偉滔編孩兒立志出鄉(xiāng)關(guān)，學(xué)不成名誓不還。 孩兒立志出鄉(xiāng)關(guān)，學(xué)不成名誓不還。 試題一考核課程：高等代數(shù)(上)考核類型：考試考核形式：閉卷學(xué)生院系：年級：_試卷：題號二三四五六七總分得分一、判斷題(在括號里打“丁”或“X”，每小題2分，共20分)TOC o 1-5 h z1.若整系數(shù)多項式f(x)在有理數(shù)域可約，則f(x)一定有有理根.()若p(x)、q(x)均為不可約多項式，且(p(x),q(x)豐1，則存在非零常數(shù)c,使得p(x)=cq(x).()對任一排列施行偶數(shù)次對換后，排列的奇偶性不變.()若矩陣A的所有r+1級的子式全為零，則

2、A的秩為r.()若行列式中所有元素都是整數(shù)，且有一行中元素全為偶數(shù)，則行列式的值一定是偶數(shù).()若向量組a,a，,a(s1)線性相關(guān)，則存在某個向量是其余向量的線性組合.()12s若兩個向量組等價，則它們所包含的向量的個數(shù)相同.()若矩陣A、B滿足AB=0，且A豐0，則B=0.()A稱為對稱矩陣是指A=A.若A與B都是對稱矩陣，則AB也是對稱矩陣.()設(shè)n級方陣A、B、C滿足ABC=E，E為單位矩陣，則CAB=E.()二、填空題：(每小題2分，共20分)1.設(shè)g(x)|f(x)，則f(x)與g(x)的最大公因式為2.設(shè)a豐0，用g(x)二ax-b除f(x)所得的余式是函數(shù)值3.多項式f(x)、

3、g(x)互素的充要條件是存在多項式u(x)、v(x)使得一個n級矩陣A的行(或列)向量組線性無關(guān)，則A的秩為.線性方程組有解的充分必要條件是.設(shè)矩陣A可逆，且|A|=1，則A的伴隨矩陣A*的逆矩陣為TOC o 1-5 h z設(shè)A、B為n階方陣，則(A+B)2=A2+2AB+B2的充要條件是.設(shè)P、Q都是可逆矩陣，若PXQ=B，則X=.若a+aha=0，則向量組a,a，,a必線性.12s12s一個齊次線性方程組中共有n個線性方程、n個未知量，其系數(shù)矩陣的秩為n，若它有非零解，則123它的基礎(chǔ)解系所含解的個數(shù)為.三、計算題(每小題5分，共20分)1求多項式f(X)=x3+x2+2x-4與g(x)=

4、x3+2x2-4x+1的最大公因式.1+a111+a2.1111(n級)1+a3.設(shè)A=b00、a0，給出A可逆的充分必要條件，并在A可逆時求其逆.ba丿4.求向量組a=(1,1,1)、卩=(1,2,3)、丫=(3,4,5)的一個極大線性無關(guān)組，并將其余向量表為該極大線性無關(guān)組的線性組合四、設(shè)向量組a,a，,a線性無關(guān)，而向量組a,a，,a,P12r12r線性相關(guān)，證明：卩可以由a,a，,a線性表出，且表示法唯一.12r本大題10分)得分五、設(shè)A是一個秩為廠的mXn矩陣，證明：存在一個秩為n-r的nx(nr)矩陣B，使AB=0.(本大題10分)廣東石油化工學(xué)院高州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機系310數(shù)

5、學(xué)（2）班成偉滔編廣東石油化工學(xué)院高州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機系310數(shù)學(xué)（2）班成偉滔編廣東石油化工學(xué)院高州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機系310數(shù)學(xué)（2）班成偉滔編1孩兒立志出鄉(xiāng)關(guān)，學(xué)不成名誓不還。 1孩兒立志出鄉(xiāng)關(guān)，學(xué)不成名誓不還。 #孩兒立志出鄉(xiāng)關(guān)，學(xué)不成名誓不還。 得分（11六、（10分）設(shè)A=.a.2，B=1）計算AB及BA；（2）證明：BA可逆的充分必要條件是（工a）（工b）豐n工ab；iiiii=1i=1i=1（3）證明：當n2時，AB不可逆.本大題10分）得分七、設(shè)線性方程組為x+x+x+x=1TOC o 1-5 h z1234x+九x+x+x=2V1234x+x+九x+x=31234x+

6、x+x+（九一1）x=11234討論九為何值時，下面線性方程組有唯一解？無解？有無窮多解？并在有無窮多解時求其通解本大題10分）要求用導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系及它的特解形式表示其通解）試題一參考答案及評分標準課程名稱：高等代數(shù)（下）執(zhí)筆人：胡付高一、判斷題（每小題2分，共20分）(1)X；（2）V；(3)V；(4)X；(5)V；(6)V；(7)X；(8)X；(9)X；(10)V.二、填空題（每小題2分共20分）(1)g(x)；b(2)f()；a(3)u(x)f(x)+v(x)g(x)1；(4)n；（5）系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等；(6)A；(7)ABBA；(8)P-1BQ-1；（9）相關(guān)；(10)n-

7、n23三、計算題（每小題5分共20分）1.(f(x),g(x)x-1注：本題一般用輾轉(zhuǎn)相除法求出最大公因式，如果分解因式f（X）二（x-1）（x2+2x+4）,g（x）二（X-1）（x2+3x-1）得到最大公因式，也給滿分.2.解：原式二（n+a）an-13.解：因為|A|=a3，所以A可逆的充分必要條件是a豐0.2分）a200 HYPERLINK l bookmark14 o Current Document A的伴隨矩陣A*=-aba20 HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 、b2-ac-aba2丿a200 HYPERLINK l bookm

8、ark18 o Current Document -aba209b2-ac-aba2丿故A-1a34分）5分）注：本題在得到A可逆時，求其逆矩陣可以采用初等變換法.廣東石油化工學(xué)院高州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機系310數(shù)學(xué)（2）班成偉滔編廣東石油化工學(xué)院高州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機系310數(shù)學(xué)（2）班成偉滔編孩兒立志出鄉(xiāng)關(guān)，學(xué)不成名誓不還。 孩兒立志出鄉(xiāng)關(guān)，學(xué)不成名誓不還。 院系負責人簽字(113(1024由124011;135J;000J可知a,卩為向量組的一個極大線性無關(guān)組,卜a1r+1k2ak2r+1kla；krr+13分）且有丫=2a+P.（5分）注：本題也可以先說明其秩為2,故任意兩個向量都是

9、極大線性無關(guān)組（容易看出任意兩個向量線性無關(guān)），或其它方法均可四、證明由a嚴2,巴,卩線性相關(guān)，存在不全為零的數(shù)勺，,kr，k使ka+ka+ka+k卩=01122rrr+12分)r+1又由a,a，,a線性無關(guān)，得k豐0（否則，a,a，,a線性相關(guān)，矛盾），于是有5分)設(shè)卩J3=la+1a+1a，則1122rrca+ca=la+1a，艮卩(cl)a+(cl)a+(cl)a=0，118分)由于a，a，,a線性無關(guān)，故c一l=0,c一l=0,c一l=0，即c=l(i=1,2,r).12r1122rrii(10分)五、證明考慮齊次線性方程組Ax=0，因為秩（A）=r，故存在基礎(chǔ)解系g,g，,g，作nx

10、（nr）12nr矩陣B=（g,g，,g），則AB=0，（6分）12nr由于B的nr個列向量線性無關(guān)，故有秩（B）=nr.（10分）（E0）注：本題的另一證法是：由秩（A）=r，存在可逆矩陣P,Q使PAQ=100I，即(EAP-1r0Q-1，取BQ廠02時，由于R(AB)R(A)2n，故AB不可逆.（10分）注：對（3）直接證明AB0的，只要方法正確，也給滿分.2分)七、解由于系數(shù)行列式|A|（九-1）2（九-2）1)由克萊姆法則知，當九鼻1且h豐2時,方程組有唯一解；4分)2)當h1時，1111111111101231丿(10001111、 HYPERLINK l bookmark242 o

11、Current Document 0001000200-20方程組無解；6分)（111方程組有無窮多解：3)當h2時，1211112111111231丿(1001）線性相關(guān)，則每個向量都是其余向量的線性組合.（若矩陣A的秩是r，則A的所有r級的子式全不等于零.5.若矩陣A經(jīng)過初等變換化為矩陣B，則|A|=|B|）10一個非齊次線性方程組的兩個解（向量）之差一定是它的導(dǎo)出組的解（V）二、填空題（每小題2分，共20分）n（n-1）排列n（n-1）321的逆序數(shù)為.五級行列式D中的一項a21a13a32a45a54在D中的符號為負n級行列式D按第j列展開公式是D=aA+aA+aA.1j1j2j2jn

12、jnj已知非零向量組a、卩、Y兩兩線性相關(guān)，則該向量組的秩為1.線性方程組有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩.若矩陣A中有一個r級子式不為零，則秩（A）竺.個齊次線性方程組中共有s個線性方程、t個未知量，其系數(shù)矩陣的秩為p，若它有非零解，則它的基礎(chǔ)解系所含解的個數(shù)等于匸p.個非齊次線性方程組記為（I），它的導(dǎo)出組記為（II），則（I）的一個解與（II）的一個解的差是_（I）的解.一個n級矩陣A的行（或列）向量組線性相關(guān)，則A的行列式等于0三、計算下列行列式兩個向量組等價是指它們可以相互線性表出.182764123334311111491612232421234解原式=123412

13、341223242111111111233343每小題5分，共20分）1)注：其它方法計算出結(jié)果的給滿分，方法正確而計算錯誤的，酌情給分abbcca11(2)cab1b+cc+aa+b1222解將所有列加到第1列上，則第1列與第4列成比例，故原式=0.注：本題也可以從第4行提取公因子2，然后用第2行、第3行都乘-1后加到第4行，把第4行化為元素全為零，故原式=0.anana+x1a(3)1a2a+x2aaa+x12n解將所有列全加到第1列并提起公因子，得i=1a)ia2a+x2a2xn0=(x+區(qū)a)xn-1ii=1=xn+(區(qū)a)xn-1.ii=14）原式xXa+xxxx解將所有行減去第1行

14、，化為爪形行列式，得xa+xna+x1一a1x丄a0a00an1i=10i=（a+ax區(qū)丄）a-1a2i=1ian=（1+x區(qū)丄）aaaa12ni=1i注:本題也可以用加邊法化為爪形行列式計算四、設(shè)線性方程組為：f（1）當九取什么值時,（2）當九取什么值時,x+x+x+x=11234x+九x+x+x=1f1234，試討論下列問題：x+x+九x+x=11234x+x+x+（九一1）x=21234線性方程組有唯一解？線性方程組無解？（3）當九取什么值時,線性方程組有無窮多解？并在有無窮多解時求其解（要求用導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系及它的特解形式表示其通解）（共15分）解線性方程組的系數(shù)行列式為1111111

15、11九110九-10011九100九-10111九一1000九一2=（九一1）2（九一2）即九H1且九H2時，線性方程組有唯一解;（1）當（九一1）2。一2）豐0,（2）當九=2時,線性方程組無解；（3）當九=1時1r111111010001001002丿00001丿111112111121J1111111111111111110100-1100100002、-1線性方程組有無窮多解，且其通解為(x,x,x,x)=k(1,1,0,0)+k(1,0,1,0)+(2,0,0,1).TOC o 1-5 h z123412五、(1)設(shè)向量J,J,a線性無關(guān)，證明：向量a+a,a+a,a+a線性無關(guān)；1

16、23122331(2)證明：對任意4個向量a,a,a,a，向量組a+a,a+a,a+a,a+a都線性相123412233441關(guān)(共15分)證明(1)設(shè)k(a+a)+k(a+a)+k(a+a)=0，即112223331(k+k)a+(k+k)a+(k+k)a=0，由于a,a,a線性無關(guān)，故有131122233123k+k=0 HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 13vk+k=0解之得，k=k=k=012123k+k=023故a+a,a+a,a+a也線性無關(guān)(8)122331(2)由(a+a)(a+a)+(a+a)(a+a)=0得,a+a,a+a,a

17、+a,a+a線性相1223344112233441關(guān)六、設(shè)向量組a,a，,a線性無關(guān)，而a,a，,a,卩,丫線性相關(guān)，但卩不能由a,a，,a,丫線12r12r12r性表出，證明：Y可以由a,a，,a線性表出，且表示法唯一.(10分)12r證明(1)先證丫可以由a,a，,a線性表出：12r因為a,a，,a,卩,丫線性相關(guān)，所以存在不全為零的數(shù)k,k，,k，使得12r12r+2ka+ka+ka+kP+kY=0.1122rrr+1r+2由于卩不能由a,a，,a,Y線性表出，故必有k=0，下證k豐0用反證法：若k=0，則12rr+1r+2r+2ka+ka+ka=0，由于k,k,，k不全為零故k,k，,

18、k不全為零,與a,a，,a線1122rr12r+212r12r性無關(guān)的假設(shè)矛盾，于是k豐0，得到Y(jié)=亠akka.ra.r+2kr+21k2krr+2r+2(2)次證表示法唯一：設(shè)丫=cJ+cJHFcJ，Y=la+laHFla，貝U1122rr1122rrcJ+ca+cJ=lJ+lJ+FlJ，艮卩(cl)J+(cl)J+f(cl)J=0,1122rr1122rr111222rrr由于J,J，,J線性無關(guān)，故cl=0,cl=0,cl=0，即c=l(i=1,2,，r),于是表示12r1122rrii法唯一七、(附加題)證明或否定下面命題：若三個向量J,卩,Y兩兩線性無關(guān)，則J,卩,Y線性無關(guān)并說明在

19、三維矢量空間中的幾何意義(10分)解本結(jié)論的幾何描述是：三個矢量(向量)兩兩不共線，貝它們不共面很明顯該結(jié)論是錯誤的，例如某平面上存在彼此不共線的三個矢量，但它們共面.注否定上述結(jié)論時，也可構(gòu)造反例，如J=(1,0,0),卩=(0,1,0),Y=(1,1,0)等，或構(gòu)造三個二維向量,使它們兩兩線性無關(guān)試題四得分一、判斷題(每小題2分，共20分）題號一二三四五六七八總分得分TOC o 1-5 h z集合A=a+b巨|a,b為整數(shù)是一個數(shù)域；()設(shè)在數(shù)域P上(xa，/(x)=1，則一定有f(a)豐0;()若整系數(shù)多項式f(x)無有理根，則f(x)在有理數(shù)域上一定不可約；()設(shè)A是n級矩陣，k是任意

20、常數(shù)，則|kA|=k|A|或|kA|=k|A|；()設(shè)abcd是一個4級排列，則abcd與badc的奇偶性相同；()設(shè)方程個數(shù)與未知量的個數(shù)相等的非齊次線性方程組的系數(shù)行列式等于0，則該線性方程組無解；()任意等價向量組中所含向量的個數(shù)相等；()任何齊次線性方程組都存在基礎(chǔ)解系；()設(shè)J,卩都是n維列向量，則J卩=卩J；()10設(shè)A,B都是n級對稱矩陣，且AB豐0,則A與B在復(fù)數(shù)域上合同.()得分二、填空題：(每小題2分，共14分)1設(shè)以,卩,Y是多項式f（x）=x3+ax2+bx+c的三個根，則a+卩+丫=TOC o 1-5 h z四階行列式中，項aaaa的符號為.23124134設(shè)矩陣A可

21、逆，且|A|=1，則（A*）j.設(shè)A、B為n階方陣，則（A+B）（A-B）=A2-B2的充要條件是.設(shè)A為sxt矩陣，則齊次線性方程組AX二0有非零解的充要條件是：秩（A）6設(shè)a,b,c,d是互異常數(shù)，則線性方程組x+x+x=1123ax+bx+cx=d的解向量中分量x=.1231a2x+b2x+c2x=d21237.二次型f(x,x,x)=x2+2x2+九x2+2卩xx是正定的充分必要條件是九與卩滿12312323足.得分計算（每小題6分，共12分）廠abc2.設(shè)A=0abj00a丿111111+a1+a11.(n級)11+a111+a111給出A可逆的充分必要條件，并在A可逆時求其逆得分四

22、、（共10分）化二次型f(x,x,x)=x2+2xx+4xx+x2+4x2-3xx123112132323為標準形，寫出所作的非退化的線性替換并回答下列問題（1）該二次型的正、負慣性指數(shù)及符號差是多少？（2）該二次型在復(fù)數(shù)域、實數(shù)域上的規(guī)范形分別是什么？得分得分五、(14分)當九為何值時，下面線性方程組有解？并求解.x+x+x+x=1TOC o 1-5 h z1234x+九x+x+x=2V1234x+x+九x+x=31234x+x+x+(九一1)x=11234六、（10分）設(shè)向量卩可以由a,a，,丫線性表出，但不能由a,a，,a線12s12s性表出.證明：（1）Y可由向量組a1，a2a，卩線性

23、表出；）不能由a1，a2,巴線性表出得分得分七、（10分）設(shè)A是一個秩為r的nXn矩陣，證明：存在一個秩為n-r的nxn矩陣B,使AB=0.八、(10分)證明：如果(f(x),g(x)二1,(f(x),h(x)二1,則(f(x),g(x)h(x)二1.參考答案及評分標準（試題四）一.判斷題（每小題2分）8.X；9.V；10.V.X；2.V；3.X；4.X；5.V；6.X；7.X；二.填空題（每小題2分，共14分）1.-a;2負號；3.A；4.AB=BA；5.Vt；6.(c-d)(c-b)(b-d)72九(c-a)(c-b)(b-a)，三.計算（每小題6分，共12分）=(-1)n(n-1)2(n

24、+a)an-1（6分）所以A可逆的充分必要條件是a豐0,（3分）一ab且A-1=a3四.f=(x+x2b2-ac-ab（6分）+2x)2-7xx,3231y=2y=j3，則f=人12-7y2y3（2分）y=z1y=2y=j3z+z，則f=z2-7z2+7z223123z-z23（4分）且所作的非退化的線性替換為rx1-x2Ix丿3r1-1-2、-010-,001丿(y12Iy丿3r1-1-2y10、丿,01-1z1-z2人z3丿rz1z-2Iz丿311111111111+a100a0=(n+a)11+a110a001+a111a0001.原式=(n+a)（2分）（4分）(6分)(8分)廣東石油

25、化工學(xué)院高州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機系310數(shù)學(xué)（2）班成偉滔編廣東石油化工學(xué)院高州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機系310數(shù)學(xué)（2）班成偉滔編0孩兒立志出鄉(xiāng)關(guān)，學(xué)不成名誓不還。 0孩兒立志出鄉(xiāng)關(guān)，學(xué)不成名誓不還。 五解fw2+w2+w2與fw2+w2w231九-1001(111121九1111九1111九一111231丿2(100010九-10100九21120丿10分）2分)（1）當九乂1且九乂2時，方程組有唯一解九412x，x-1九12（2）當九=1時，（3）當九=2時，x，x0；九一13九14方程組無解；方程組有無窮多解：4分)7分)(9分)11分)使卩ka+ka+ka+ky，11-22sss+12分

26、)若k0，s+1則卩可以由巴巴，。線性表出，矛盾故k-豐0,s+14分)14分)六.證明（1）因為卩可以由a,a，,a,y線性表出，所以存在不全為零的數(shù)k，,k,k，12s1ss+1kk從而有Y=_-ak1k2s+1s+15分)k1nla+B.ksks+1s+1（反證法）若7可由Hr-。s線性表出，又由于卩可以由巴巴，巴，Y線性表出，得卩可以由yr巴線性表出，矛盾故丫不能由*&as線性表出.（10分）七.證明考慮齊次線性方程組Ax0，因為秩（A）r，故存在基礎(chǔ)解系g,g，,g，作12nrnxn矩陣B=（g,g，,g,0,0），則AB0，且秩（B）nr.（10分）12nr注1在構(gòu)造矩陣B時，B的

27、后面r列未必一定要取零向量，事實上，只要說明B中每列都是線性方程組Ax0的解，且B中含nr個線性無關(guān)的列向量即可.（E0）注2本題的另一證法是：由秩（A）r，存在可逆矩陣P,Q使PAQ00，即IuU丿(EAP-1rQ1，取BQ(0V0EnrP，則AB0八.證明由(f(x),g(x)1及(f(x),h(x)1，存在多項式u(x),v(x)(i1,2)，使ii廣東石油化工學(xué)院高州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機系310數(shù)學(xué)(2)班成偉滔編廣東石油化工學(xué)院高州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機系310數(shù)學(xué)（2）班成偉滔編孩兒立志出鄉(xiāng)關(guān)，學(xué)不成名誓不還。 u(x)f(x)+v(x)g(x)二1，u(x)f(x)+v(x)h(x

28、)二1，(4分)1122兩式相乘得，(uuf+uvh+uvg)f+(vv)gh二1(8分)12122112所以有(f(x),g(x)h(x)=1.(10分)試題六一、填空題(每小題2分，共20分)1如果dimV=m，dimV=m，dim(V+V)=m，則dim(VcV)=1122123122兩個有限維線性空間JV2同構(gòu)的充分必要條件是3用L(V)表示n維線性空間V的所有線性變換構(gòu)成的線性空間，則dimL(V)=4若AePnxn，且A2=E，則A的特征值為5設(shè)歐氏空間的正交變換A在一組標準正交基下的矩陣是U，則UI=6設(shè)V是一個n維歐氏空間，豐0是V中非零向量，W=p(a,p)=0,peV，則題

29、號三四五六七八九十總分得分dimW二(17.矩陣A=1111111的最小多項式為11丿8已知線性變換A在基IB2,.下的矩陣為(a11a12a13aaa212223,aaa313233，則A在基B3,曹下的矩陣為.9.在PX中，線性變換Df（x）=f（x），則D在基1,x,X2,xn-1下的矩陣為.n10設(shè)6級矩陣A的不變因子是1,1,1,1,（九-2）,（九-2）2（1-3）3，則A的若爾當標準形是、選擇題（每小題3分，共15分）1.F列集合構(gòu)成Pnxn的子空間的是a.AGPnxn|A|豐。；b.AGPnxnc.AGPnxnn維線性空間V的線性變換A可以對角化的充要條件是（）a.A有n個互不

30、相同的特征向量；b.a有n個互不相同的特征根；c.A有n個線性無關(guān)的特征向量.3.對子空間V,V,V，V+V+V為直和的充要條件是()123123a.VcVcV=o；b.V=V+V+V；c.VcCV)=o.i=1,2,3123123ijj知4.下列類型的矩陣A一定相似于對角矩陣()c主對角元兩兩互異的上三角矩陣（）a正交矩陣；b特征值皆為實數(shù)的矩陣5.AB的充要條件是a.A、B具有相同的特征值；b.|A|=|B；c.A、B具有相同的不變因子.三、（共15分）設(shè)IB2,B3為V的基，且線性變換A在此基下的矩陣為（111A=111J11丿（1）求A的特征值與特征向量；（2）A是否可以對立化?鄉(xiāng)如果

31、可不成名誓不交矩陣T使得八皿為對角形.四、(10分)設(shè)Px表示數(shù)域P上次數(shù)小于n的多項式及零多項式n作成的線性空間.證明：l,x-a,(x-a)2,(x-a)n-1是Px的一組基；n求上述的一組基到基1,x,x2,xn-1的過渡矩陣.五、(12分)設(shè)aeL(V)，且A2=A.證明A的特征值為0或1；V=AVAT。).S六、(8分)設(shè)a,a?,H是歐氏空間V的兩兩正交的非零向量組，證明它們線性無關(guān).七、(10分)設(shè)A是(1)W=&AX個固定的n級矩陣，XA,XePnxn/是P證明：nxn的一個子空間;(2)當A為主對角元兩兩互異的對角矩陣時，寫出W的維數(shù)及一組基.八、(10分)設(shè)a,a，,a是歐

32、氏空間V的一組向量，記W=L(a,a，,a)，12s12s證明：(1)如果YeW使(,a)=0，i=1,2,s，那么Y=0；i(2)記V=p|(a,卩)=0,卩eV，i=1,2,s，那么ii廣東石油化工學(xué)院高州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機系310數(shù)學(xué)(2)班成偉滔編廣東石油化工學(xué)院高州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機系310數(shù)學(xué)（2）班成偉滔編孩兒立志出鄉(xiāng)關(guān)，學(xué)不成名誓不還。 孩兒立志出鄉(xiāng)關(guān)，學(xué)不成名誓不還。 試題六參考答案及評分標準一、填空題（每小題2分，共20分）(1)m+m12(2)dimV=dimV；123）n2；二、選擇題1或-1；（5）土1;（6）n-1；(7)九2-3九；廠0100、(、廠aaa)0

33、02022333231Zaaa9(9)；（10）122322213Ia13a12a)11000n113000013丿8）每小題3分，共15分)4）1）c；（2）c；（3）c；（4）c；（5）c HYPERLINK l bookmark93 o Current Document 九-1-1、(1)解ReA=1九-1 HYPERLINK l bookmark388 o Current Document -1111=九2(九一3),因此a的特征值為九=0與九=3.九一14分)(1對九=3，可求出A的一個線性無關(guān)的特征向量為g二1，故得A的所有特征向量為3U丿k(E+8+8)，這里k不為零.123對九

34、=0，求出A的兩個線性無關(guān)的特征向量-1r1g=1，g=010丿21丿故A的所有特征向量為(k+k)8+k8+k8，或k(8+8)+k(8+8)，這里k、k不全為零.1211223112213128分)院系負責人簽字1462品丿(2)由于A有三個線性無關(guān)的特征向量，故A可以對角化.300、則T-1AT二000H00丿注：也可以指出A是實對稱陣，故A可以對角化.另外注意正交矩陣T的取法不唯四、(1)證明(方法1)由于dimPx=n，只需證明1,x-a,(x-a)2,(x-a)n-1線性無關(guān)：設(shè)nk-1+k(xa)+k(xa)2+k(xa)nt=0，令x=a，得k=0，又對等式兩邊求導(dǎo)后令x=a，

35、123n123n1,x-a,(x-a)2,，(x-a)n-1是Px的一組基；(5分)n得k=0，再求二階導(dǎo)數(shù)，求n-1階導(dǎo)數(shù)，分別得到k=k=0，于是(方法2)已知1,x,x2,xn-1是Px的一組基，求出(1,x-a,(x-a)2,(x-a)n-1)=n（l,x,X2,xn-1）A中的矩陣A，只需說明A可逆，便得結(jié)論；（方法3）由數(shù)學(xué)分析中的泰勒定理可知，對于Vf（x）ePx，都有n/(x)-/(a)1+/(a)(xa)H1(n-1)!f(n-1)(a)(x-a)n-1又已知dimPx-n，故1,xa,(xa)21）中有一個向量可由其余的向量線性表12s孩兒立志出鄉(xiāng)關(guān)，學(xué)不成名誓不還。廣東石

36、油化工學(xué)院高州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機系310數(shù)學(xué)（2）班成偉滔編廣東石油化工學(xué)院高州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機系310數(shù)學(xué)（2）班成偉滔編孩兒立志出鄉(xiāng)關(guān)，學(xué)不成名誓不還。 孩兒立志出鄉(xiāng)關(guān)，學(xué)不成名誓不還。 出，那么向量組a,a，,a稱為線性相關(guān)的.12s（2）一向量組的一個部分組稱為一個極大線性無關(guān)組，如果這個部分組本身是線性無關(guān)的，并且從這向量組中任意添加一個向量（如果還有的話），所得的部分向量組都線性相關(guān).注對如下定義也視為正確：向量組a1巴，,a的-個部分組a1,a稱為-個極大線性無關(guān)組，是指：（i）a,a，,a線性無關(guān)；（ii）a,a，,a可由a,a，,a線性表出.iIi-t12sII展開定理

37、亦可.（3）行列式等于某一行（列）的元素分別與它們代數(shù)余子式的乘積之和.注用公式寫出按行（或列）二、判斷題：（在括號里打“V”或“X”，共20分）1a+ba+b1122a+ba+b3344aabb=12+12aabb3434（X）2（s1）線性相關(guān)，貝y其中每個向量都是其余向量的線性組合.X）n!在全部n（n1）級排列中，奇排列的個數(shù)為刁.若排列abed為奇排列，則排列badc為偶排列.若矩陣A的秩是r，則A的所有高于r級的子式（如果有的話）全為零.若一組向量線性相關(guān)，貝至少有兩個向量的分量成比例當線性方程組無解時，它的導(dǎo)出組也無解對n個未知量n個方程的線性方程組，當它的系數(shù)行列式等于0時，等

38、價向量組的秩相等10齊次線性方程組解的線性組合還是它的解3456789方程組一定無解（V）X）（V）（X）（X）（X）（V）（V）、（共18分）計算行列式182764123334311111491612232421234解原式=1234123412232421111111112333431）注用其它方法計算出結(jié)果的給滿分，方法正確而計算錯誤的，酌情給分abbeea11（2）eab1b+ee+aa+b1222丄解將所有列加到第1列上，則第1列與第4列成比例，故原式=0.注本題也可以從第4行提取公因子2，然后用第2行、第3行都乘-1后加到第4行，把第4行化為元素全為零，故原式=0.a+xaa112

39、naa+xa122n(xxx12naaa+x12nna+xaaax(1+Y1123n1xx00i=11203）主0).-x120（1+22）.xi=1i注本題也可按最后一列（或行）=xxx12na+xaaa+xa0112n112aa+xaaa+x0122n+122aaaaax12n12n展開，得遞推式：有正確的遞推式但結(jié)果有誤，給3分另外對按第一行Dnaxxx+xD，答案正確給滿分,n12n1nn1或列）展開者類似給分四、設(shè)向量組a=（1,1,0,。）,a=（1,2,1,1）,a=（0,1,1,1）,a=（1，3,2,1）,a=（2,6,4,1）試12345求向量組的秩及其一個極大線性無關(guān)組，

40、并將其余向量用這個極大線性無關(guān)組線性表出（10分）(11012、1010-112136011020112400011.01111丿00000丿解5分)故向量組的秩為3，a1,a2,a4是個極大線性無關(guān)組，并且8分)10分)a=-a+a,a=-a+2a+a.3125124注本題關(guān)于極大線性無關(guān)組答案中，除a,a,a不能構(gòu)成極大線性無關(guān)組外，任何三個向量都是極123大線性無關(guān)組，對其它方法求出極大線性無關(guān)組，但未得到線性表出式的給5分五、討論九取什么值時下列線性方程組有解，并求解.（10分）九x+x+x=1TOC o 1-5 h z123V0000丿（1（3）當九=1時，增廣矩陣111有無窮多組解

41、，通解為111九11解方程組的增廣矩陣為1九11，系數(shù)行列式為1九111九1丿11九（1）當九主1且九主時,方程有唯一解，此時二（九+2）（九一1）22分）機111、+2九+2九+231九111九11v0003丿7，無解；1+2九一1九一1（3分）31+2九-1九+2九-1九+2丿5分）7分）x-1一x一x（x,x為自由未知量），或表成g-（1,0,0）+k（_1,1,0）+k（一1，0，1）.（10分）1232312注本題也可以對增廣矩陣用初等行變換的方法討論對唯一解及無窮多組解的表達式未能給出者，各扣2分六、證明題：（每小題10分，共30分）1.證明：如果向量組a,a，,a線性無關(guān)，而a,

42、a，,a,卩線性相關(guān)，則向量卩可以由12r12r巴巴，巴線性表示，且表示法唯一.（10分）.rr+1ka+ka+ka+kP=011_22rrr+12分）又由32；，a線性無關(guān)，得k豐0（否則,r+1a1，a2宀2r線性相關(guān)矛盾）4分）kk于是，卩=十a(chǎn)嚴ak1k2r+1r+1kla；krr+15分）證明由巴巴，巴，卩線性相關(guān)，存在不全為零的數(shù)k1，勺，,k，k1,使(2)設(shè)卩=ca+ca+ca，卩=la+1a+1a，貝U1122rr1122rrca+ca+ca=1a+1a+1a，艮卩(c1)a+(c1)a+(c1)a=0,1122rr1122rr111222rrr由于a,a，,a線性無關(guān)，故c

43、一1=0,c一1=0,c一1=0，即c=1(i=1,2,，丫).12r1122rrii(10分)2證明：若向量a,卩，丫線性無關(guān)，則a+卩，卩+丫,Y+a也線性無關(guān)并說明該結(jié)論對4個向量的情形是否成立證明設(shè)k(a+P)+k(P+y)+k(y+a)=0，即(k+k)a+(k+k)P)+(k+k)y=0,123131223(2分)由于a，卩,y線性無關(guān)，故有k+k=0解之得，k1=k2=k3=0(5分)6分)13k+k=012k+k=023故a+p,p+y,y+a也線性無關(guān).對4個向量的情形其相應(yīng)結(jié)論不成立，因為，由4個向量a,a,a,a線性無關(guān)，并不能得到向量1234a+a,a+a,a+a,a+

44、a線性無關(guān)的結(jié)論TOC o 1-5 h z12233441注1由(a+a)(a+a)+(a+a)(a+a)=0知，a+a,a+a,a+a,a+a是線1223344112233441性相關(guān)的，對該問題未說明原因的，只要結(jié)論正確給滿分；注2如果認為對4個向量的情形其相應(yīng)結(jié)論也成立的，必須說明是指如下結(jié)論:若4個向量a,a,a,a線性無關(guān)，則向量a+a+a,a+a+a,a+a+a,a+a+a也線性無關(guān).該答案1234234134124123也給滿分，但僅說相應(yīng)結(jié)論成立,而未給出任何說明者，不得分.3設(shè)a,a，a是數(shù)域P中個互不相同的數(shù)，b,b，,b是數(shù)域P中任一組給定的數(shù)求證： HYPERLINK

45、l bookmark344 o Current Document 12n12n(1)存在唯一的數(shù)域P上的次數(shù)不超過n一1的多項式f(x)=c+cx+cxn-2+cxn-1，使01n一2n1f(a)=b,i=1,2，,n；ii(2)特別的，求出使f(a)=an-1,i=1,2，,n成立的n一1次的多項式f(x).ii證明(1)將f(a)=b,i=1,2，n，代入f(x)=c+cx+cxn-2+cxn-1，得ii01n一2n1rc+ac+an2c+an1c=b0111n21n11c+ac+an2c+an1c=bv0212n22n12(2分)c+ac+an2c+an1c=b0n1nn2nn1n廣東石

46、油化工學(xué)院高州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機系310數(shù)學(xué)(2)班成偉滔編廣東石油化工學(xué)院高州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機系310數(shù)學(xué)(2)班成偉滔編孩兒立志出鄉(xiāng)關(guān)，學(xué)不成名誓不還。 孩兒立志出鄉(xiāng)關(guān)，學(xué)不成名誓不還。 由于系數(shù)行列式1a1an111a2an121anan1n1ijn=n(aa)主0,ji4分)故線性方程組有且僅有唯一解即存在唯一的數(shù)域P上的次數(shù)不超過n-1的多項式f(x)=c0+7+cxn2+cxn1，使f(a)=b,i=1,2,n；n2n1iin1=0,D(2)由克萊姆定理=今=0，xn-1xn15分)尋=d=1，故使/(a.)=an-1，10分)i=12,n成立的n1次的多項式為f(x)=xn

47、-1.注對(2)不用克萊姆定理，而直接觀察出f(x)=xn-1的也給滿分.七、(附加題)證明或否定如下結(jié)論：若三個向量U,卩,Y兩兩線性無關(guān)，則a,卩,Y線性無關(guān)并說明在三維幾何空間中的意義.(10分)解本結(jié)論的幾何描述是：三個矢量(向量)兩兩不共線，則它們不共面.(5分)很明顯該結(jié)論是錯誤的，例如某平面上存在彼此不共線的三個矢量，但它們共面.(10分)注否定上述結(jié)論時，也可構(gòu)造反例，如(1,0,0),卩=(0,1,0),Y=(1,1,0)等，或構(gòu)造三個二維向量,使它們兩兩線性無關(guān).試題十及答案一、判斷題：(每小題2分，共30分，在括號里打“V”或“X”)零多項式的次數(shù)為零.(X)零多項式與f

48、(x)的最大公因式為f(x).(J)設(shè)f(x),g(x),d(x)&Px且3u(x),v(x)&Px，使得d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)，則TOC o 1-5 h zd(x)為f(x)與g(x)的一個最大公因式.(X)零次多項式能整除任一多項式.(V)若h(x)|f(x)，但h(x)不整除g(x)，則h(x)不整除f(x)+g(x).(V)6設(shè)h(x)f(x)g(x)，但h(x)|g(x)，則h(x)f(x).(X)7.若是f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)的k重根，則a為f(x)的k+1重根.(X)8設(shè)P匸P，P、P為數(shù)域，如果在Px中f(x)與g(x)互素，則在Px中f(x)與g(x)也

49、互素.(V)9若(f(x),f(x)=1，且(f(x),f(x)二1，則(f(x),f(x)二1.(X)12231310若p(x)在數(shù)域P上不可約，則p(x)在P上沒有根.(X)11設(shè)f(x)eQx，如果f(x)無有理根，則f(x)在Q上不可約.(X)12.若f(x)|g(x)h(x)，則f(x)|g(x)或f(x)|h(x).(X)13設(shè)p(x)是不可約多項式，如果(x)=f(x)g(x)，則f(x)與g(x)有且僅有一個為零次多項式(V)設(shè)f(x)ePx，且f(-1)=f(1)=0，則x2-1|f(x).(V)n次實系數(shù)多項式的實根個數(shù)的奇偶性與n的奇偶性相同.(V)二、填空題：(每小題2

50、分，共10分)1.若(x-1)3x6+ax4+bx2+c，貝ya-3，b二3，c=_1.若p(x)，q(x)均為P上的不可約多項式，且(p(x),q(x)豐1，則p(x)與q(x)的關(guān)系是p(x)=cq(x),0豐ceP.若-1是f(x)=x5-ax2-ax+1的重根，貝ya=-5.用g(x)=2x+3除f(x)=8x3+9所得的余數(shù)r=-18.5.已知1+2i為f(x)=x3-3x2+7x5的一個根，那么f(x)的其余根是1,1-2i.三、計算題：(8分)求f(x)=2x5+2x4-3x3-7x2-x-3的根和標準分解式.f(x)=2(x5+x4-6x3-14x2-11x-3)=2(x+1)

51、4(x3)2.(10分)九為何值時，f(x)二x3-3x2+九x一1有重根.解因為f(x)二3x2-6x+九，作輾轉(zhuǎn)相除法，要使f(x)有重根，則必須(f(x),f(x)豐1，3f(x)=(x-1)f(x)+一3)(2x+1)，若九二3，則(f(x),f(x)豐1；九鼻3，由于2f(x)=(3x-125)(2x+1)+2X+125，當2X+羅=0，即-時(f(x),f(x)豐1.故當九3或入=-時，f(x)有重根.3.(12分)設(shè)f(x)=x4+x3-3x2-5x-2，g(x)=x3+x2-2x-2.(1)用輾轉(zhuǎn)相除法求(f(x),g(x).(2)求u(x)，v(x)使(f(x),g(x)=u

52、(x)f(x)+v(x)g(x).答案(1)(f(x),g(x)=x+1；(2)回代得：2x+2二(x-2)f(x)+(-x2+2x+1)g(x)，故取u(x)=2(x一2),v(x)=2(-x2+2x+1)，使(f(x),g(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x).四、證明題：(每小題10分，共30分)1.設(shè)f(x)二x5+5x+4，證明：(1)f(x)在Q上不可約；(2)f(x)至少有一個實根，但不是有理根.證明(1)令x=y+1，則f(y+1)二(y+1)5+5(y+1)+4二y5+5y4+10y3+10y2+10y+10，取p=5，由Eisenstein判別法知，f(y+1)在Q上不

53、可約，從而f(x)在Q上不可約;注也可利用反證法證之：若可約，則f(x)能分解成兩個次數(shù)低的整系數(shù)多項式之積，或為1次與4次多項式之積，或為2次與3次多項式之積，都能推出矛盾，這里從略.(2)因為f(x)是奇次的，則f(x)必有一個實根，此根若是有理根，則f(x)在Q上可約，矛盾.注奇次多項式有實根可由數(shù)學(xué)分析中連續(xù)函數(shù)的介值定理證得，或?qū)(x)在實數(shù)域上作標準分解,由于實數(shù)域上的不可約因式只有一次因式與二次不可約因式，故奇次多項式f(x)一定有一次因式，因此f(x)必有一個實根.另外，對f(x)沒有有理根的結(jié)論，可以對其所有可能的有理根進行直接檢驗得知.2.設(shè)f(x),g(x)不全為零，證

54、明(f(x),f(x)+g(x)=(g(x),g(x)-f(x).證明設(shè)(f(x),f(x)+g(x)二d(x)，(g(x),g(x)-f(x)二d(x)，12由d(x)|f(x),q(x)|f(x)+g(x)nd(x)|(f(x)+g(x)-f(x)=g(x)nq(x)|g(x)-f(x),又d2(x)為g(x)與g(x)-f(x)的最大公因式，故q(x)|d2(x)；反之，由d2(x)|g(x)，d2(x)|g(x)-f(x)ndx)|g(x)-(g(x)-f(x)=f(x)nd2(x)|f(x)+g(x)，又d/x)為f(x)與f(x)+g(x)的最大公因式，故d/x)|q(x).又d(

55、x)、d(x)均為首1多項式，從而d(x)二d(x).3.若整系數(shù)多項式f(x)有根-，這里(p,q)=1,q證明因為f(x)的根，則f(x)=(x-)g(x)，g(x)為整系數(shù)多項式.qq由f(1)=(1-q)g(1)，即qf(1)=(q-p)g(1)，(q-p)|qf，又(q-p,q)=1，故有(q-p)|f(i)；由f(-1)=(-1-p)g(-1)，得-qf(-1)=(q+p)g(-1)，同理可得(q+p)|f(-i).注可以由(x-)f(x)，得(qx-p)|f(x)，f(x)=(qx-p)h(x)，由于qx-p是本原多項式，故qh(x)為整系數(shù)多項式，f(1)=(q-p)h(1)，

56、f(-1)=-(q+p)h(-1)，因此有(q-p)|f,(q+p)|f(-1).試題十一及答案、判斷題(在括號里打“V”或“X”，每小題2分，共20分)1.若向量組J,J，,J與向量組卩,卩，卩都線性無關(guān)，則a,a，,a,卩,卩，卩也線性TOC o 1-5 h z12s12t12s12t無關(guān)；(X)n維線性空間V中任何n個線性無關(guān)的向量都是V的一組基；(V)對n維線性空間V中任何非零向量a,在V中一定存在n-1個向量卩，卩，,卩，使得12n-1a,卩，卩，卩作成V的一組基；(V)112n-1三個子空間V,V,V的和V+V+V為直和的充要條件是VcVcV=o；(X)123123123把復(fù)數(shù)域看

57、成實數(shù)域R上的線性空間，它與R2是同構(gòu)的；(V)線性空間V的兩組基a,a，,a到卩，卩，,卩的過渡矩陣是可逆的；(V)12n12nV的任意兩個子空間的交VcV與并VuV都是V的子空間；(X)8.集1212合W=AAGPnxn,|A|=作成Pnxn的子空間；(X)實對稱矩陣為半正定的充要條件是它的所有順序主子式都非負；(X)設(shè)n元實二次型的正負慣性指數(shù)分別為s,t，則必有s+1n.(V)二、填空題(每小題2分，共20分)1.如果dimV=m，dimV=m，dim(V+V)=m，則dim(VcV)=m+m-m.1122123121232兩個有限維線性空間V、V同構(gòu)的充分必要條件是dimV=dimV

58、.12123.兩個復(fù)對稱矩陣合同的充分必要條件是它們的秩相等.4設(shè)實二次型的秩為r，負慣性指數(shù)為q，符號差為m，則r、q、m的關(guān)系是r=m+2q.5.2x2級實對稱矩陣的所有可能的規(guī)范型是：廠00、(10、(-10、(10、,(10、(-10、00/100丿100丿01丿10-1;0j.設(shè)基a,a，,a到基卩，卩，,卩的過渡矩陣是A，而基卩，卩，,卩到基Y,Y,Y的過渡矩陣12n12n12n12n是B，則丫,丫，丫到a,a，,a的過渡矩陣是B-iA-i.12n12n已知a,卩,Y為線性空間V的三個線性無關(guān)的向量，則子空間L(a,卩)+L(卩,Y)的維數(shù)為3.若dim(V+V)=dimV+dim

59、V，則VcV=0.121212廣東石油化工學(xué)院高州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機系310數(shù)學(xué)（2）班成偉滔編廣東石油化工學(xué)院高州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機系310數(shù)學(xué)（2）班成偉滔編孩兒立志出鄉(xiāng)關(guān)，學(xué)不成名誓不還。 孩兒立志出鄉(xiāng)關(guān)，學(xué)不成名誓不還。 #9.設(shè)三維線性空間V的基a,a,a到卩，卩，卩的過渡矩陣為A123123(-11n.三、簡述下列定義（共12分）1.n級矩陣A、B合同：如果存在可逆矩陣C，使得B=CAC2子空間的和V+V=a+aaeV,i=1,21212ii3.生成子空間L(a1,a2,a3)=ka+ka+ka|Vk1122331ieP,i=1,2,34子空間的直和：V1+V2中每個向量a的分

60、解式a=a1+a2（a;eV,i=h2）是唯一的四、（10分）設(shè)卩可由a,a，,a線性表出，但不能由a,a，,a線性表出，證明：TOC o 1-5 h z12r12r-1L（a,a，a,a）=L（a,a，a,卩）.12r-1r12r-1證明只需證明向量組,a，,a,a與,a，,a,卩等價：易知,a，,a,卩可由12r-1r12r-112r-1與a,a，,a,a線性表示，另一方面，由于卩可由a,a，,a線性表出，故有12r-1r12rP=ka+ka+ka，且k豐0，（否則卩可a,a，,a線性表出，矛盾），于是1122rrr12r-1a二y1a丁1a+卩，因而a,a，,aa可由a,a，,a,p線性