1、線性代數(shù)2線性代數(shù)的研究對(duì)象線性代數(shù)所研究的是具有線性結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)對(duì)象。例如：向量空間、函數(shù)空間、整數(shù)模、矩陣群3線性代數(shù)的研究方法線性代數(shù)的研究方法主要有幾何方法 線性空間代數(shù)方法 矩陣運(yùn)算以上方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，通常需要結(jié)合起來(lái)使用。4教材及參考書(shū)線性代數(shù)，李尚志，高等教育出版社，2006年5月第1版。線性代數(shù)，李炯生、查建國(guó)，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，1989年4月第1版，2010年1月第2版。5課程內(nèi)容一、域與多項(xiàng)式（4學(xué)時(shí)）域的定義域上的多項(xiàng)式最大公因式、輾轉(zhuǎn)相除法因式分解、重根、重因式復(fù)/實(shí)系數(shù)不可約多項(xiàng)式6課程內(nèi)容二、矩陣運(yùn)算（10學(xué)時(shí)）行列式（Laplace、Binet-Cauchy公

2、式）分塊運(yùn)算（冪級(jí)數(shù)、Schur公式、張量積）初等變換（LU分解、QR分解）幺模變換（Smith標(biāo)準(zhǔn)形）7課程內(nèi)容三、線性空間（10學(xué)時(shí)）抽象線性空間同態(tài)與同構(gòu)子空間（交、和、直和、補(bǔ)）積空間商空間8課程內(nèi)容四、線性變換（10學(xué)時(shí)）線性映射與線性變換線性函數(shù)與對(duì)偶空間像空間與核空間、秩不等式不變子空間、特征多項(xiàng)式相似三角化、零化多項(xiàng)式、最小多項(xiàng)式特征子空間、相似對(duì)角化9課程內(nèi)容五、復(fù)數(shù)域上的相似標(biāo)準(zhǔn)形問(wèn)題（10學(xué)時(shí)）根子空間循環(huán)子空間Frobenius標(biāo)準(zhǔn)形Jordan標(biāo)準(zhǔn)形10課程內(nèi)容六、一般數(shù)域上的矩陣相似問(wèn)題（10學(xué)時(shí)）特征方陣行列式因子、不變因子、初等因子相似標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)相似與復(fù)相似11課

3、程內(nèi)容七、內(nèi)積空間（10學(xué)時(shí)）內(nèi)積、Euclid空間標(biāo)準(zhǔn)正交基、正交變換正交方陣、實(shí)規(guī)范方陣實(shí)方陣的正交相似、正交相抵酉內(nèi)積、酉空間雙線性函數(shù)12課程內(nèi)容八、二次型（8學(xué)時(shí)）二次型的定義二次型的相合標(biāo)準(zhǔn)形二次型的正定性二次型的應(yīng)用一、數(shù)域與多項(xiàng)式14域：定義了加法、乘法運(yùn)算的非空集合，滿足性質(zhì)：（A1）加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)（A2）加法交換律a+b=b+a（A3）有加法單位元0a+0=0+a（A4）有加法逆元a+(a)=(a)+a=0（M1）乘法結(jié)合律(ab)c=a(bc)（M2）乘法交換律ab=ba（M3）有乘法單位元1a1=1a=a（M4）有乘法逆元a(a-1)=(a-1

4、)a=1,a0（D1）加乘分配律a(b+c)=ab+ac15域的例子：C、R、Q、Q 、Q 、Fq不是域的例子：Z、Q、FxFx中多項(xiàng)式的帶余除法Fx中兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式的定義輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式gcd(f,g)=1存在a,b使得a(x)f(x)+b(x)g(x)=1Sylvester Matrix可逆。16Fx中每個(gè)多項(xiàng)式可唯一分解為不可約因式的乘積f(x)沒(méi)有重因式gcd(f(x),f(x)=1代數(shù)基本定理：次數(shù)1的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中至少有一個(gè)復(fù)根。實(shí)系數(shù)不可約多項(xiàng)式的次數(shù)不超過(guò)2二、矩陣運(yùn)算1718行列式的計(jì)算定義及初等變換Laplace展開(kāi)定理：給定 ，則Lapl

5、ace展開(kāi)定理的幾何涵義。Binet-Cauchy公式：當(dāng) 時(shí)，Binet-Cauchy公式的幾何解釋。19例設(shè) ，求f(x), f”(x), 例設(shè)A是復(fù)矩陣，則 。例Vandermonde、Sylvester、Cauchy矩陣的行列式例設(shè) ，則20分塊運(yùn)算方陣的冪級(jí)數(shù)何時(shí)收斂？Schur公式21例若AC=CA，則例張量積性質(zhì)：例XAXB的矩陣表示。例f(x)=det(xI-A)，f(A)=0。22初等變換平延 旋轉(zhuǎn)反射（LU分解）每個(gè)矩陣AFmxn都可表為A=PLU的形式，其中P是置換陣，L是可逆下三角陣，U是上三角陣。（QR分解）每個(gè)實(shí)矩陣ARmxn都可表為A=QR的形式，其中Q是正交陣，

6、R是上三角陣。23幺模變換幺模陣：行列式為1的整數(shù)方陣，或行列式為非零常數(shù)的多項(xiàng)式方陣。每個(gè)整數(shù)/多項(xiàng)式矩陣A都可表為A=QR的形式，其中Q是幺模陣, R是上三角陣。Smith標(biāo)準(zhǔn)形：每個(gè)整數(shù)/多項(xiàng)式矩陣A都可表為A=PDQ的形式，其中P,Q是幺模陣, D=diag(d1,dr,O)是對(duì)角陣，d1|dr0。三、線性空間2425域F上的線性空間(V,F,+,)線性空間V：具有加法、數(shù)乘運(yùn)算的非空集合。V的子空間：對(duì)V的加法、數(shù)乘運(yùn)算封閉的非空子集。常見(jiàn)的線性空間Fn、Fmn、Fx、Fx1,xn、Cn()、Lp()向量組S的線性組合向量組S的線性相關(guān)性向量組S生成的子空間26向量組S的極大無(wú)關(guān)組M

7、定理：=。定理：任意兩個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組的元素?cái)?shù)目相同。定義：向量組的秩 = 極大線性無(wú)關(guān)組的向量個(gè)數(shù)。線性空間的基、維數(shù)向量v在基M下的坐標(biāo)xvV xFM，其中x具有有限非零分量。27同態(tài)與同構(gòu)同態(tài)：滿足(1)(2)的映射：V1V2。 同構(gòu)：滿足(1)(2)的一一映射：V1V2。 (1)(x+y)=(x)+(y)，x,yV1(2)(ax) = a(x)，aF, xV1域F 上的有限維線性空間V與Fn同構(gòu)，其中n=dimV。例設(shè)V1=0,1上連續(xù)函數(shù), V2=0,1上可微函數(shù)是同態(tài)、是單射、非滿射。28子空間的交、和、直和、補(bǔ)(任意多個(gè))子空間的“交”是子空間。(任意多個(gè))子空間的“和”定義為生

8、成的子空間。若“和” 的分解式是唯一的，則“和”稱為“直和”。例設(shè)ai是V的一組基，則V是一維子空間的直和。定理：dim(V1+V2) = dim(V1) + dimV2dim(V1V2)若V=UW，則W稱為U在V中的一個(gè)補(bǔ)空間。29兩個(gè)線性空間的直積UV = (u,v) | uU,vV (u1,v1)+(u2,v2) = (u1+u2,v1+v2)(u,v) = (u,v)無(wú)窮多個(gè)線性空間的直積 Vi 直和 Vi商空間設(shè)U是V的子空間，V/U = v+U | vV W， 其中W是U在V中的一個(gè)補(bǔ)空間。四、線性變換3031線性映射 f：V1V2f(x+y)=f(x)+f(y)，f(cx)=c

9、f(x)，cF，x,yV1線性映射 f：VV 也稱為線性變換。線性映射的運(yùn)算加法 (f+g)(x) = f(x)+g(x)數(shù)乘 (cf)(x) = c f(x)線性映射的表示(f(1), f(n)=(1, m)AA 稱為 f 在基1,n和1, m下的矩陣。32線性映射在不同基下的矩陣B=Q-1AP。線性變換在不同基下的矩陣B=P-1AP。對(duì)偶空間L(V1,V2) = V1到V2的線性映射全體 在線性映射的加法、數(shù)乘運(yùn)算下構(gòu)成域F上的線性空間。V* = L(V,F) = V上線性函數(shù)全體 稱為V的對(duì)偶空間。L(V1,V2) Fmxn，其中m=dim(V1)，n=dim(V2)。當(dāng)V是有限維時(shí)，V

10、* V。33線性映射的像與核Im(f) = f(x) | xV1 ，Ker(f) = xV1 | f(x)=0 Im(f)和Ker(f)分別是V2和V1的子空間。Im(f) V1 / Ker(f)dim(V1) = dim(Im(f) + dim(Ker(f)（Frobenius秩不等式）：rank(AB)+rank(BC)rank(B)+rank(ABC)例設(shè)A是n階方陣，則 rank(An) = rank(An+1) = 34線性變換的不變子空間設(shè)線性變換A：VV，U是V的子空間。若A(U)U，則U稱為A不變子空間，AU：UU稱為A在U上的限制.例0、Im(A)、 Ker(A)、V都是A不

11、變子空間。 A不變子空間的交空間、和空間都是A不變子空間。一維不變子空間滿足A(x)=x，x稱為屬于特征值的特征向量，A(x)=det(xIA)稱為A的特征多項(xiàng)式。線性變換A的特征多項(xiàng)式與表示矩陣A的選取無(wú)關(guān)。35線性變換的特征多項(xiàng)式設(shè) 。k等于A的所有k階主子式之和。設(shè)。是的k次初等對(duì)稱多項(xiàng)式。設(shè)， 各不相同。 分別稱為 的代數(shù)重?cái)?shù)。36方陣的相似三角化任意復(fù)方陣復(fù)相似于一個(gè)上三角的復(fù)方陣。任意實(shí)方陣實(shí)相似于一個(gè)準(zhǔn)上三角的實(shí)方陣，其中每個(gè)準(zhǔn)對(duì)角塊均為1或2階方陣。推論設(shè)n階復(fù)方陣A的全體特征值是1,n，f是復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式，則f(A)的全體特征值是f(1),f(n)。Cayley-Hamilto

12、n定理：對(duì)任意復(fù)方陣A，A(A)=0。37線性變換或方陣的零化多項(xiàng)式若f(x)滿足f(A)=0，則稱f(x)是A的零化多項(xiàng)式。f,g都是A的零化多項(xiàng)式 af+bg也是A的零化多項(xiàng)式。 次數(shù)最低的并且首項(xiàng)系數(shù)為1的A的零化多項(xiàng)式f(x)稱為A的最小多項(xiàng)式，記作dA(x)。dA(x) | A(x)38線性變換的特征子空間V=Ker(AI)是A不變子空間，稱為屬于特征值的特征子空間。dimV稱為的幾何重?cái)?shù)。的幾何重?cái)?shù)的代數(shù)重?cái)?shù)。設(shè)1,t是線性變換A的所有不同的特征值，則有39線性變換可對(duì)角化的充分必要條件：存在一組由特征向量構(gòu)成的基每個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)代數(shù)重?cái)?shù) 最小多項(xiàng)式無(wú)重根五、復(fù)數(shù)域上的相似標(biāo)準(zhǔn)

13、形問(wèn)題4041根子空間 W=Ker(AI)n是A不變子空間，稱為屬于特征值的根子空間。dimW=的代數(shù)重?cái)?shù)。定理（根子空間分解）：定理：任意復(fù)方陣都復(fù)相似于一個(gè)準(zhǔn)對(duì)角陣的復(fù)方陣，42循環(huán)子空間對(duì)任意V，令k=Ak-1()，k=1,2,。U=是A不變子空間，稱為生成的A循環(huán)子空間，記為FA。線性變換 A|U 在基1,m下的矩陣為 (Companion Matrix)43關(guān)于循環(huán)子空間的一些定理 循環(huán)子空間與不變子空間的交一定是循環(huán)子空間。兩個(gè)循環(huán)子空間的和空間不一定是循環(huán)子空間。設(shè) ，則44向量的零化多項(xiàng)式滿足f(A)=0的多項(xiàng)式f稱為相對(duì)于A的零化多項(xiàng)式。f,g都是的零化多項(xiàng)式 af+bg也是

14、的零化多項(xiàng)式。 次數(shù)最低的并且首項(xiàng)系數(shù)為1的的零化多項(xiàng)式f(x)稱為的最小多項(xiàng)式，記作dA, (x)。dA, (x) | dA(x)。設(shè)，則 。存在 滿足 dA, (x) = dA(x)。45Jordan形矩陣對(duì)任意W，令k=(AI)k-1()，k=1,2,。設(shè)m0，m+1=0，則1,m線性無(wú)關(guān)。U=線性變換 A|U 在基m,1下的矩陣為(Jordan Matrix Jm()dJ(x)=J(x)=xm46Jordan標(biāo)準(zhǔn)形設(shè)滿足dA, (x)=dA(x)=xm，C=。則存在A不變子空間U滿足V=UC。證明：對(duì)m用歸納法。假設(shè)A不變子空間U1滿足 ImA=U1A(C)。設(shè),1,k是ImA的一個(gè)補(bǔ)

15、空間的一組基，則A(i)=ui+A(ci)，其中uiU1，ciC。于是，U=U1是A不變子空間。每個(gè)根子空間都可分解為一些循環(huán)子空間的直和。47 A 在的某組基下的的矩陣為(Jordan標(biāo)準(zhǔn)形)設(shè)，稱為A的一個(gè)初等因子，為A的初等因子組。屬于i的Jordan塊的個(gè)數(shù)ki i的幾何重?cái)?shù)。 A 的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形中Jm()的個(gè)數(shù)48復(fù)方陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的計(jì)算方法計(jì)算特征多項(xiàng)式；分解特征多項(xiàng)式；對(duì)每個(gè)i，計(jì)算 rj=rank(A-iI)j 直至 rj=rj+1；對(duì)每個(gè)i，計(jì)算 rj-1+rj+1-2rj，j=1,mi；由此得A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形J中各塊的大小和個(gè)數(shù)；求解線性方程組AP=PJ

16、得P。49循環(huán)子空間循環(huán)子空間循環(huán)子空間根子空間50滿足AB=BA的復(fù)方陣 A、B有公共的特征向量。 A、B可同時(shí)相似于上三角。若A、B都相似于對(duì)角，則可同時(shí)相似于對(duì)角。若dA(x)=A(x)，則B是A的多項(xiàng)式，B=f(A)。六、一般數(shù)域上的矩陣相似問(wèn)題5152Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的推廣如果A(x)在Fx中可以分解為一次因式的乘積，則A=P diag(J1,Jk) P-1，其中Ji是Jordan方陣。設(shè)A(x)=p1(x)pt(x)是Fx中兩兩互素多項(xiàng)式的乘積，Wi=Ker(pi(A)，則V=W1Wt 。如果A(x)不可約，則A不變子空間只有0和V。如果A(x)=p(x)n，p(x)不可約，滿足

17、dA,(x)= dA(x)，則存在A不變子空間U滿足V=UFA。53假設(shè)滿足dA,(x)=p(x)m并且p(x)=c0+cn-1xn-1+xn 不可約，則U=FA=，并且A|U在基11,1n,m1,mn下的矩陣為54多項(xiàng)式矩陣的相抵設(shè)AFxnn，若存在BFxnn滿足AB=BA=I，則稱A可逆。AFxnn可逆det AF*。設(shè)A、BFxmn，若存在可逆的PFxmm、QFxnn 使得A=PBQ，則稱A與B相抵。設(shè)f、gFx，diag(f,g)與diag(gcd(f,g),lcm(f,g)相抵。任意AFxmn相抵于Smith標(biāo)準(zhǔn)形diag(d1,dr,O)。d1|dr0，dk稱為A的不變因子。Dk=

18、d1dk是A的所有k階子式的最大公因式，稱為A的行列式因子。設(shè)dk=p1pt，其中每個(gè)pi為不可約因式的方冪且pi1 ，則pi稱為A的一個(gè)初等因子。55特征方陣設(shè)A、BFnn，則A與B相似xI-A與xI-B相抵。證明：設(shè)xI-A=P(xI-B)Q，P=iPixi ，Q=iQixi，Q-1= iRixi，C=iQiAi ，D=iRiBi ，則有AD=DB，CD=I。注以上證明過(guò)程給出求P滿足A=PJP-1的一種方法。設(shè)AFnn，多項(xiàng)式矩陣 xI-A 稱為A的特征方陣。若dA(x)=A(x)，則xI-A與diag(1,1, dA(x)相抵。xI-A的最高次不變因子dn(x)是A的最小多項(xiàng)式。xI-

19、A的初等因子與A的初等因子一一對(duì)應(yīng)。56設(shè)A是復(fù)方陣，xI-A的不變因子，則A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為Fnn上線性變換f(X)=AX-XBT在標(biāo)準(zhǔn)基E11,E21,Enn下的矩陣為A與B相似Ker(f)中存在可逆方陣。七、內(nèi)積空間5758內(nèi)積空間V是數(shù)域F上的有限維線性空間。內(nèi)積是一個(gè)V上的對(duì)稱、雙線性、正定的二元函數(shù)。例Ca,b上內(nèi)積內(nèi)積度量。 Cauchy-Schwarz不等式。并非所有線性空間有內(nèi)積。實(shí)數(shù)域上的內(nèi)積空間稱為Euclid空間。內(nèi)積的矩陣表示(,)=xTAy。不同基下內(nèi)積的矩陣表示B=PTAP。59標(biāo)準(zhǔn)正交基內(nèi)積空間存在正交基。Euclid空間存在標(biāo)準(zhǔn)正交基。向量組的Gram-

20、Schmidt正交化與QR分解。子空間的正交補(bǔ)空間。兩個(gè)內(nèi)積空間的同構(gòu)。60Euclid空間上的線性變換正交變換滿足(A,A)=(,)的線性變換A稱為正交變換。正交變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣表示是正交方陣。正交方陣的性質(zhì)。線性變換A在不同標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣表示B=P-1AP，其中P是正交方陣。 61實(shí)方陣的正交相似每個(gè)實(shí)方陣正交相似于準(zhǔn)上三角陣。每個(gè)實(shí)對(duì)稱方陣正交相似于對(duì)角陣。每個(gè)規(guī)范方陣正交相似于準(zhǔn)對(duì)角陣。62實(shí)方陣的正交相抵每個(gè)實(shí)矩陣正交相抵于對(duì)角陣，A=Pdiag(1,r,O)Q，其中1r0。1,r稱為奇異值，上式稱為實(shí)矩陣A的奇異值分解(Singular Value Decomposition)。Moore-Penrose廣義逆 A+=Q-1diag(1/1,1/r,O)P-1。矩陣廣義逆A+=QTdiag(1/1,1/r,O)PT最小二乘法x=A+b使|Ax-b|最小63酉空間V是復(fù)數(shù)域上的有限維線性空間。酉內(nèi)積是V上一個(gè)共軛對(duì)稱、共軛雙線性、正定的二元函數(shù)。例Cmn上酉內(nèi)積酉內(nèi)積度量。Cauchy-Sc