1、教學設(shè)計3 1.2空間向量的數(shù)乘運算整體設(shè)計教材分析本節(jié)課是在學習了空間向量的相關(guān)概念和空間向量加減法法則的基礎(chǔ)上學習的，是空間向量加減法法則的進一步應(yīng)用和補充本節(jié)課在介紹實數(shù)與向量乘積的意義的基礎(chǔ)上引入空間向量共線定理， 類比平面向量基本定理得到空間向量共面定理，為后面將要學習的空間向量基本定理打下基礎(chǔ)，具有承上啟下的重要作用因為空間向量的數(shù)乘運算以及空間向量共線定理與平面向量數(shù)乘運算以及共線定理完全一樣， 空間向量共面定理其實就是平面向量基本定理的逆定理，所以在教學中仍應(yīng)采用類比、比較的教學方法，通過問題驅(qū)動、啟發(fā)式、自主探究式的教學方法引導(dǎo)學生自主地完成本節(jié)課的學習課時分配1 課時教學目

2、標知識與技能1掌握空間向量的數(shù)乘運算及其運算律2理解共線向量定理和向量共面定理過程與方法1運用類比方法，經(jīng)歷向量的數(shù)乘運算和向量共線定理由平面向空間推廣的過程；2引導(dǎo)學生借助空間幾何體理解空間向量數(shù)乘運算及其運算律的意義情感、態(tài)度與價值觀1培養(yǎng)學生的類比思想、轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)探究、研討、綜合自學應(yīng)用能力；2培養(yǎng)學生的空間想象能力，能借助圖形理解空間向量數(shù)乘運算及其運算律的意義；3培養(yǎng)學生空間向量的應(yīng)用意識重點難點教學重點：1空間向量的數(shù)乘運算及其運算律、幾何意義；2空間向量的加減運算在空間幾何體中的應(yīng)用；3空間向量共線定理和共面定理教學難點：1空間想象能力的培養(yǎng)，思想方法的理解和應(yīng)用；2空間向量

3、的數(shù)乘運算及其幾何的應(yīng)用和理解；3空間向量共線定理和共面定理的理解教學過程引入新課提出問題： 請同學們回憶“平面向量的數(shù)乘運算”的意義是什么，么運算律活動設(shè)計：首先同學之間相互交流，教師適時介入，并一一板書出來活動結(jié)果： (板書 )1實數(shù) 和向量 a 的乘積 a 是一個向量有什么性質(zhì)， 滿足什2.|a|a|.3 a 的方向當 0時， a 的方向和a 方向相同；當 0時， a 的方向和a 方向相反4數(shù)乘運算的運算律： ( a) ( )a； (ab)a b.設(shè)計意圖： 這既復(fù)習了“平面向量的數(shù)乘運算”的意義、性質(zhì)和運算律， 又為類比得出“空間向量的數(shù)乘運算”的意義、性質(zhì)和運算律作好了準備，而且在下

4、面得出“空間向量的數(shù)乘運算”的意義、性質(zhì)和運算律時，只需將“平面向量的數(shù)乘運算”中的“平面”換成“空間”即可何樂而不為呢！探究新知提出問題 1：上節(jié)課我們已經(jīng)學習了空間向量的加減法運算，請同學們類比“平面向量的數(shù)乘運算”的意義、性質(zhì)和運算律，猜想 (給出 )“空間向量的數(shù)乘運算”的意義、性質(zhì)和運算律即實數(shù) 和向量 a 的乘積 ( a)的意義是什么？有什么性質(zhì)？滿足什么運算律？活動設(shè)計：教師從 2a， 2a 的意義中發(fā)現(xiàn)并類比平面中數(shù)乘的意義對學生進行引導(dǎo)，學生自己畫出 2a， 2a 并總結(jié) a 的意義和運算律， 然后自由發(fā)言，教師進行補充師生發(fā)現(xiàn)“空間向量的數(shù)乘運算”實際上就是“平面向量的數(shù)乘

5、運算”.活動成果： ( 活動結(jié)果同“引入新課”中的活動結(jié)果，只需特別標明“空間向量的數(shù)乘運算”即可 )設(shè)計意圖：引導(dǎo)學生利用已經(jīng)學過的平面向量的數(shù)乘運算的意義類比得出空間向量數(shù)乘運算的意義，并利用空間向量的加減法運算來驗證提出問題 2：在學習平面向量時，共線向量是怎么定義的？我們?nèi)绾我?guī)定0 與任意向量的關(guān)系？在空間向量中，又應(yīng)當怎樣定義和規(guī)定呢？活動設(shè)計：學生自由發(fā)言活動成果：同學們一致認為，只要照搬以前的定義和規(guī)定即可，即(板書 ) 在空間，方向相同或相反的向量稱為共線向量我們規(guī)定0 與任意向量共線設(shè)計意圖：復(fù)習平面向量共線的定義，類比得出空間向量共線的定義提出問題 3： a b 是 a，

6、b 共線的什么條件？活動設(shè)計：先讓學生獨立思考，然后小組交流，教師巡視指導(dǎo)，并注意與學生交流在恰當?shù)臅r機提醒學生回憶“平面向量”中兩向量共線時的結(jié)論活動成果： (板書 )若 ab，則 a， b 方向相同或相反，或a 0，則 a， b 共線；若 a，b 共線， b 0，則不一定存在實數(shù)使得 a b.所以 ab 是 a，b 共線的充分不必要條件若 b0，則若 a， b 方向相同時，存在唯一確定的實數(shù)|a|b ，使得 a b；| |若 a，b 方向相反時，存在唯一確定的實數(shù) |a|，使得 a b；|b|若 a0 時，存在唯一確定的實數(shù) 0，使得 a b.空間向量共線定理： a， b 共線 (b 0)

7、 存在唯一確定的實數(shù) 使得 a b.推論：如果 l 為經(jīng)過已知點 A 且平行于已知非零向量a 的直線，那么對于任意一點O，點 P 在直線 l 上的充要條件是存在實數(shù)t 滿足等式OP OA ta.其中向量 a 叫做直線 l 的方向向量設(shè)計意圖：增強對空間向量數(shù)乘運算的理解和運用，引出空間向量共線定理及其推論提出問題 4：平行于同一個平面的向量，叫做共面向量對空間任意兩個不共線的向量a、b，如果 p xayb，那么向量 p 與向量 a、b 有什么位置關(guān)系？反過來，向量 p 與向量 a、b 有什么位置關(guān)系時， p xa yb?活動設(shè)計： 學生先獨立思考， 然后小組討論； 教師先提示同學們回憶平面向量

8、基本定理，然后巡視指導(dǎo)學生討論活動成果：空間向量共面定理：如果兩個向量a、b 不共線，那么向量p 與向量 a、 b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x， y)，使 pxa yb.設(shè)計意圖： 引導(dǎo)學生由平面向量基本定理入手，探究出空間三個不共線向量共面的充要條件理解新知提出問題 1：空間三點 A 、B、C 共線， O 為直線外一點，若 OA xOB yOC，則 x y？反之，空間四點A 、B 、C、O，若滿足 OA xOB yOC，且 xy 1，能否得到A 、B 、C 三點共線？活動設(shè)計：學生自由發(fā)言，說出自己解決問題的思路，教師進行補充活動成果：思路分析：A、B、C 共線AB AC ，利用

9、向量共線的定理解決 解： A 、 B、 C 三點共線， AB AC . 存在唯一確定的實數(shù)使得 AB AC ， 1 即 OBOA (OC OA ) OA OB 1OC. 1x 1 ， y . x y 1. 11，且 xy 1，反之 OA xOB yOC OA xOB (1 x)OC ，即 OA OC x(OBOC) CA xCB .三點共線CACB .A 、B、CA 、B 、C 三點共線的充要條件是對于空間任一點O，都存在 x y 1，使得 OA xOB yOC.設(shè)計意圖： 指導(dǎo)學生將點共線和向量共線進行轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學生轉(zhuǎn)化的思想，深化對向量共線定理的理解提出問題2：已知空間任一點 O 和不共線

10、三點A 、 B、 C，滿足向量關(guān)系式OPxOA yOB zOC(其中 xy z 1)的點 P 與 A、 B、 C 是否共面？活動設(shè)計：教師指導(dǎo)學生根據(jù)問題 1 解決的方案思考四點共面應(yīng)該如何向向量關(guān)系轉(zhuǎn)化；學生自己在練習本上解決，不能解決的小組討論解決活動成果：1P、A 、B、C 四點共面 向量 PA、 PB、 PC共面2P、A、B、C 四點共面的充要條件是對于空間任一點O，都存在 x y z 1，使得 OPxOA yOB zOC.設(shè)計意圖：指導(dǎo)學生將點共面和向量共面進行轉(zhuǎn)化，深化對向量共面定理的理解運用新知如圖，已知平行四邊形ABCD ，過平面AC 外一點 O 作射線 OA ， OB ， O

11、C，OD，在四條射線上分別取點 E，F(xiàn)，G，H ，并且使 OAOEOBOF OGOC ODOH k，求證： E，F(xiàn)，G，H 四點共面思路分析： 欲證 E， F， G，H 四點共面，只需證明EH， EF，EG共面證明： 因為 OAOE OBOF OGOC OHOD k，所以 OE kOA ， OF kOB ， OG kOC， OH kOD .由于四邊形 ABCD 是平行四邊形，所以AC AB AD .因此 EG OG OE k(OC OA ) kAC k(AB AD ) k(OB OA OD OA ) OF OE OHOE EFEH .由向量共面的充要條件知E， F， G，H 四點共面點評： 解

12、決四點共面問題要等價轉(zhuǎn)化成向量共面問題鞏固練習已知 E， F， G， H 分別是空間四邊形ABCD 的邊 AB ， BC ， CD ，DA 的中點，證明：E， F，G， H 四點共面證明： E， F， G， H 分別是空間四邊形ABCD 的邊 AB ， BC ， CD， DA 的中點， EH FG1BD .2 EG EF FG EF EH . E， F， G， H 四點共面變練演編如圖，在四棱錐 P ABCD 中，底面 ABCD 是平行四邊形， AC 、 BD 相交于點 O， E、F、 G、 H 分別是邊 PA、 PB、 PC、 PD 的中點(1)在圖中找出與向量PA共線的一個向量；(2)在圖

13、中找出與向量OA ， PB共面的一個向量答案： (1)OG ，GO(2)AH ， CH達標檢測1下列命題中正確的是 ()A 若向量 a 與非零向量 b 共線， b 與 c 共線，則 a 與 c 共線B向量 a， b， c 共面，即它們所在的直線共面C單位向量的模為1 且共線D若 a b，則存在唯一的實數(shù) ，使 a b 2空間四邊形 ABCD 中， M ，G 分別是 BC，CD 的中點，則 MG AB AD 等于 ()3 A. 2DBB3MGC 3GMD 2MG3下列條件中，使M 與 A，B，C 一定共面的是 ()111 A.OM 2OA OB OCB.OM OA OB2OC53C.MA MB

14、MC0D.OM OAOBOC 04有四個命題：若 p xa yb，則 p 與 a、 b 共面；若 p 與 a、 b 共面，則p xa yb；若 MN xMA yMB ，則 M 、 N、A 、 B 共面；若 M 、N 、A 、 B 共面，則 MN xMA yMB .其中真命題的個數(shù)是 ()A 1B 2C 3D 4答案： 1.A2.B3.C4.B課堂小結(jié)1知識收獲：空間向量的數(shù)乘運算法則和運算律；空間向量共線定理及其推論；空間向量共面定理2方法收獲：類比方法、數(shù)形結(jié)合方法3思維收獲：類比思想、轉(zhuǎn)化思想布置作業(yè)課本本節(jié)練習2,3 題；補充練習補充練習基礎(chǔ)練習1在四面體 O ABC 中， OA a，

15、OBb， OC c，D 為 BC 的中點， E 為 AD 的中點，則 OE _.( 用 a，b， c 表示 )ab| 0，且 a，b 不共線時， ab 與 a b 的關(guān)系是 ()2當 | |A 共面B不共面C共線D 無法確定3已知兩個向量12e1 2 2e12 3e12e ， e 不共線，如果 ABe， AC 8e ， AD 3e ，則A ， B， C， D 四點的位置關(guān)系是 _1112.A 3.共面答案： 1.ab c244拓展練習1數(shù)列 a 為等差數(shù)列， S 為其前 n 項和，空間三點 A 、B 、C 共線， O 為直線外一點，nn且OA a1OB a101OC，則 S101 _.2已知點

16、 M 在平面 ABC 內(nèi)，并且對空間任一點O，OM xOA 1OB 1OC，則 x 的33值為 _答案： 1.1012.123設(shè)計說明本節(jié)課介紹了空間向量的數(shù)乘運算的意義以及空間向量的共線定理和共面定理空間向量的數(shù)乘運算由平面向量的數(shù)乘運算類比得到， 在平行六面體中驗證 空間向量的共線定理由數(shù)乘運算的意義中發(fā)現(xiàn)，并經(jīng)過學生證明空間向量共面定理由平面向量基本定理發(fā)現(xiàn)，并結(jié)合共線定理由學生進行證明 在理解新知環(huán)節(jié)， 重點設(shè)計問題加深對共線定理和共面定理的理解，得到三點共線和四點共面的充要條件本節(jié)課突出教師的主導(dǎo)作用和學生的主體地位， 在教師所提問題的引導(dǎo)下， 學生自主完成探究新知和理解新知的過程， 在運用新知時進行變練演編， 加深學生對知識的理解和問題轉(zhuǎn)化的能力備課資料1 如圖，在平行六面體ABCD A B C D中， E， F， G 分別是 A D， D D，D C的中點，請選擇恰當?shù)幕紫蛄孔C明：EG AC.思路分析： 要證明 EG AC ，只需證 EG AC .uuuur1 1 證明： EG ED