1、2021/8/9 星期一1空間向量的基本定理2021/8/9 星期一2一、復(fù)習(xí)提問：1.什么是空間共線向量？若空間向量的基線平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量。注：零向量與任一向量是共線向量。2.平行向量基本定理：作用：在平面內(nèi)判定向量平行（共線）。2021/8/9 星期一32021/8/9 星期一4二：新授注： （1）此為充要條件； （2）定理中條件否則實(shí)數(shù)就不唯一。 是必須的，（3）共線向量且基線不重合時(shí)可證平行一、共線向量定理2021/8/9 星期一5二.共面向量:平行于同一平面的向量OA注意：空間任意兩個(gè)向量是共面的，但空間任意三個(gè)向量就不一定共面的了。1、向量與平面平行:2

2、、共面向量：2021/8/9 星期一63、共面向量定理如果兩個(gè)向量 不共線,則向量 與向量 共面的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)對 使2021/8/9 星期一7三個(gè)向量共面，又稱這三個(gè)向量線性相關(guān)；反之，如果三個(gè)向量不共面，則稱這三個(gè)向量線性無關(guān)。2021/8/9 星期一8CAFEDBG2021/8/9 星期一9NABCM2021/8/9 星期一104.共面向量定理等價(jià)說法作用：作為證明點(diǎn)在面內(nèi)或四點(diǎn)共面的理論依據(jù)2021/8/9 星期一11歸納小結(jié)：空間四點(diǎn)P、M、A、B共面2021/8/9 星期一12空間任一向量能用幾個(gè)不共面的向量來線性表示呢？POxyz由二維到三維,由平面到立體,推廣:平面內(nèi)任

3、一向量可以用該平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量來線性表示.2021/8/9 星期一13三、空間向量分解定理：如果三個(gè)向量 不共面，那么對空間任一向量 ，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使ABDCO證明存在性：將三個(gè)不共面向量平移到 同一起點(diǎn)O，作E2021/8/9 星期一14下證唯一性:假設(shè)存在實(shí)數(shù)組,且,使那么即因?yàn)樗詮亩裁?這與已知不共面矛盾因此,有序?qū)崝?shù)組是唯一的.2021/8/9 星期一15基本概念： 如果三個(gè)向量 不共面,那么空間的每一個(gè)向量都可由向量 線性表示.把 稱為空間的一個(gè)基底。2、基底:3、基向量:基底中的每一個(gè)向量叫基向量。4、正交基底: 如果空間一個(gè)基底的三個(gè)向量是兩

4、兩互相垂直,那么這個(gè)基底叫做正交基底。 單位正交基底:當(dāng)一個(gè)正交基底的三個(gè)基向量都是單位向量時(shí),稱這個(gè)基底為單位正交基底。 通常用 表示2021/8/9 星期一16解釋說明：1、空間中任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底。2、三個(gè)不共面向量說明它們都不是零向量。（零向量與任意非零向量共線，零向量與任意兩個(gè)非零向量共面）3、基底與基向量的區(qū)別：基底是不共面三個(gè)向量構(gòu)成的一個(gè)向量組，基向量是基底中的某個(gè)向量。4、如果空間的一個(gè)基底確定了，空間中的任意一個(gè)向量都可以由這個(gè)基底的線性組合生成。所以空間所有向量構(gòu)成的集合為2021/8/9 星期一17OABCPPP 設(shè)點(diǎn)O、A、B、C是不共面的四

5、點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組( x，y，z)，使推廣：說明： 1 、可以根據(jù)空間向量基本定理確定空間任意一點(diǎn)的位置。這樣，就建立了空間任意一點(diǎn)與惟一的有序?qū)崝?shù)組（x、y、z）之間的關(guān)系，從而為空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算作準(zhǔn)備，也為用向量方法解決幾何問題提供了可能。 2、推論中若x+y+z=1，則必有P、A、B、C四點(diǎn)共面。2021/8/9 星期一18知識運(yùn)用共線共面2021/8/9 星期一19ABCDABCDabc解：2021/8/9 星期一20例4：已知空間四邊形OABC，對角線OB、AC，M和N分別是OA、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在MN上，且使MG=2GN，試用基底 表示向量OABCMNG解：在OMG中，2021/8/9 星期一21三、鞏固練習(xí)：BC