1、2021/8/9 星期一1等差數列2021/8/9 星期一2知識回顧等差數列 AAAAAAAAAAAAA 每一項與它前一項的差 如果一個數列從第2項起，等于同一個常數. . . . .【說明】 數列 an 為等差數列an+1-an=d或an+1=an+dd=an+1-an公差是 唯一 的常數。an=a1+(n-1)d等差數列各項對應的點都在同一條直線上.2021/8/9 星期一3一、判定題：下列數列是否是等差數列？. 9 ，7，5，3，, -2n+11， ；. -1，11，23，35，,12n-13，；. 1，2，1，2，；. 1，2，4，6，8，10， ；. a, a, a, a, ， a，

2、 ；復習鞏固：2021/8/9 星期一4(1)等差數列8，5，2，的第5項是(2)等差數列-5，-9，-13，的第n項是 -4an = -5+(n-1).(-4)10二、填空題：簡言之“知三求一”(3)已知an為等差數列，a1=3，d= 2 ，an=21，則n = 【說明】 在等差數列an的通項公式中 a1、d、an、n 任知 三 個，可求出 另外一個2021/8/9 星期一5例1. 三數成等差數列，它們的和為12，首尾二數的積為12，求此三數.設這三個數分別為a-d a，a+d，則3a=12，a2-d2=126，4，2或2，4，6結論:三數成等差數列可設這三個數分別為 a-d a，a+d 四

3、數成等差數列可設這四個數分別為 a-3d a-d,a+d,a+3d等差數列的性質2021/8/9 星期一6例2：已知數列的通項公式為an=pn+q，其中p,q是常數且p0，那么這個數列是否一定是等差數列？如果是，其首項與公差分別是什么？分析：由等差數列的定義，要判定an是不是等差數列，只要看是否是一個與n無關的常數解：取數列an中任意相鄰兩項an與an-1,它是一個與n無關的常數，則這個數列是等差數列。且公差為p, a1=p+q結論:數列的通項公式為an=pn+q，(其中p,q是常數) 等價與這個數列是等差數列關于n的一次函數2021/8/9 星期一7例3、已知數列an,bn都為等差數列，求證

4、：數列an+bn為等差數列證法1：設an=a1+(n-1)d1,bn=b1+(n-1)d2（其中a1、b1、d1、d2均為常數）所以an+bn= a1+(n-1)d1+b1+(n-1)d2 =(a1+b1)+(n-1)(d1+d2)所以(an+1+bn+1)-(an+bn) =(a1+b1)+(n+1-1)(d1+d2)-(a1+b1)+(n-1)(d1+d2) =d1+d2（常數） 故數列an+bn為等差數列問題1：通過剛才的證明你能得出數列an+bn的首項和公差嗎？它的首項和公差與數列an,bn的首項和公差有什么關系？2021/8/9 星期一8證法2：設an=A1n+B1，bn=A2n+B

5、2(其中A1,A2,B1,B2為常數）所以an+bn=（A1n+B1）+（A2n+B2） =（A1+A2）n+（B1+B2）所以(an+1+bn+1)-(an+bn)= （A1+A2）(n+1)+（B1+B2）- （A1+A2）n-（B1+B2）= A1+A2（為常數） 例3、已知數列an,bn都為等差數列， 求證：數列an+bn為等差數列思考：（1）數列an-bn是否為等差數列？若是，首項、公差為多少？若不是，請說明理由。（2）數列pan+qbn（其中p、q為常數）是否為等差數列？若是，首項、公差為多少？若不是，請說明理由。性質1:若an、 bn都是等差數列，且公差分別為d1,d2,(1).

6、則 anbn也是等差數列,且公差為d1d2 。(2).則 panqbn也是等差數列,且公差為pd1qd2 2021/8/9 星期一9性質2.若 an 是等差數列,且p+q=m+n，(p,q,m,n為正整數），則ap+aq=am+an。即下標和相等，則相應項和也相等（兩邊項數一樣）證明：ap+aq=a1+(p-1)d+a1 +(q-1)d=2a1+(p+q-2)dam+an=a1+(m-1)d+a1 +(n-1)d=2a1+(m+n-2)d又因為p+q=m+n ， 所以ap+aq=am+an如：a2+a9=a5+a6a6+a10=a8+a8=2a8特別地,若 , 則注意：上面的命題的逆命題 是不

7、一定成立 的2021/8/9 星期一10例4 .在等差數列an中(1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20(2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8(3) 已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10分析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知 a3+a11=10， a6+a7+a8= （a3+a11）=15分析： a4+a5+a6+a7=56 a4+a7=28 又 a4a7=187 ， 解 、 得a4= 17a7= 11 a4= 11a7= 17 或d= _2或2, 從而a14= _3或31結論應用2021/8/9 星期一11性質3:若an是等差數列,則從中抽取間隔相等的項也是等差數列an=am+ (n-m)dan-am=(n-m)da1, a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 , a8 , a9 , a10 , a11 , a12 a1a4a7a10性質4:若an是等差數列,則長度相等的連續(xù)k項的和也是等差數列,如:a1+a2+ak,ak+1+ak+2+.+a2k,a2k+1+.+a3k,也是等差數列a1+a2