1、2021/8/9 星期一1數(shù)學(xué)專題二空間向量的應(yīng)用（3）2021/8/9 星期一2溫故知新1.異面直線所成的角2021/8/9 星期一3四、教學(xué)過程的設(shè)計(jì)與實(shí)施溫故知新2.直線與平面所成的角直線的方向向量為，平面的法向量為 2021/8/9 星期一43.求平面的法向量的坐標(biāo)的一般步驟:第一步(設(shè)):設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)為n=(x,y,z).第二步(列):根據(jù)na = 0且nb = 0可列出方程組第三步(解):把z看作常數(shù),用z表示x、y.第四步(取):取z為任意一個(gè)正數(shù)(當(dāng)然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐標(biāo). 溫故知新2021/8/9 星期一5 空間向量的引入為代數(shù)方法處理立體幾何問

2、題提供了一種重要的工具和方法，解題時(shí)，可用定量的計(jì)算代替定性的分析，從而避免了一些繁瑣的推理論證。求空間角是立體幾何的一類重要的問題，也是高考的熱點(diǎn)之一。本節(jié)課主要是討論怎么樣用向量的辦法解決空間角之一-問題。二面角及其度量2021/8/9 星期一6OBA1.定義: 從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成 的圖形叫做二面角。這條直線叫做二面角的棱這兩個(gè)半平面叫做二面角的面平面角由射線-點(diǎn)-射線構(gòu)成二面角由半平面-線-半平面構(gòu)成2.二面角的表示:二面角lABPQ平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面研探新知2021/8/9 星期一7l二面角 l 二面角CAB DABCD3.二面角

3、的畫法CEFDAB（1）平臥式（2）直立式二面角研探新知2021/8/9 星期一8思考：4.二面角的大小如何度量？ 以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。lO1BB1OAA1A O BA1O1B1二面角的大小用它的平面角來度量？顯然與O的選取無關(guān)二面角研探新知2021/8/9 星期一9注意：二面角的平面角必須滿足：3）角的邊都要垂直于二面角的棱1）角的頂點(diǎn)在棱上2）角的兩邊分別在兩個(gè)面內(nèi)10lOABAOB二面角研探新知2021/8/9 星期一10本書約定：二面角的平面角的取值范圍 是平面角是直角的二面角叫做直二面角5.二面角

4、的取值范圍如何？互相垂直的平面就是相交成直二面角的兩個(gè)平面二面角研探新知2021/8/9 星期一11探究方法l6.如何求二面角的平面角？（1）定義法：（2）射影面積法：二面角OBABCAA1D2021/8/9 星期一12探究方法lAOB問題1： 二面角的平面角 能否轉(zhuǎn)化成向量的夾角？6.如何求二面角的平面角？（1）定義法：與棱垂直的向量（3）向量法：二面角（2）射影面積法：2021/8/9 星期一13實(shí)踐操作2021/8/9 星期一14你能找到所求二面角的棱嗎？問題2：求直線和平面所成的角可轉(zhuǎn)化成直線的方向向量與平面的法向量的夾角，那么二面角的大小與兩個(gè)半平面的法向量有什么關(guān)系？2021/8/

5、9 星期一15探究方法二面角平面的法向量（3）向量法：即法向量的夾角與二面角的大小相等或互補(bǔ)解題時(shí)角的取值根據(jù)圖形判斷2021/8/9 星期一16實(shí)踐操作 本題是求二面角的余弦值，可重點(diǎn)關(guān)注向量法求二面角的余弦值.本題的特點(diǎn)是圖中沒有出現(xiàn)兩個(gè)平面的交線，不能直接利用二面角的平面角或者垂直于棱的向量的夾角解決，利用法向量的夾角解決體現(xiàn)了向量求解立體幾何問題的優(yōu)越性。啟示：2021/8/9 星期一17解：則設(shè)是面SCD的法向量，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則令z=1解之得所求銳二面角的余弦值為：2021/8/9 星期一18小結(jié)： 利用法向量求二面角的平面角避免了繁難的作、證二面角的過程。解題的關(guān)鍵是確定相關(guān)平面的法向量。利用法向量求二面角的平面角的一般步驟：找點(diǎn)坐標(biāo)求法向量坐標(biāo)求兩法向量夾角定值建立坐標(biāo)系2021/8/9 星期一192021/8/9 星期一201、二面角的定義 從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角2、求二面角的平面角方法小結(jié)二面角二面角（3）射影面積法（2）向量法（1）定義法lOAB2021/8/9 星期一21練習(xí): 正三棱柱 中，D是AC的中點(diǎn),當(dāng) 時(shí)，求二面角 的余弦值.CADBC1B1A12021/8/9 星期一22解:如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz.