1、對(duì)于復(fù)數(shù)稱定義為指數(shù)函數(shù) ,記為 或(1) 指數(shù)函數(shù)是初等函數(shù)中最主要函數(shù)，其余初等函數(shù)都通過(guò)指數(shù)函數(shù)來(lái)定義。(2) 借助歐拉公式，指數(shù)函數(shù)能夠這樣來(lái)記憶：2.3 初等函數(shù)2.3.1 指數(shù)函數(shù)第1頁(yè)第1頁(yè)性質(zhì)(1)由于2.3 初等函數(shù)2.3.1 指數(shù)函數(shù)(2) 加法定理第2頁(yè)第2頁(yè)性質(zhì)2.3 初等函數(shù)2.3.1 指數(shù)函數(shù)(3) 是以 為周期周期函數(shù)。(4) 除無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)外，處處有定義。當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)，指數(shù)函數(shù) 當(dāng)z趨向于 時(shí)沒(méi)有極限。第3頁(yè)第3頁(yè)性質(zhì)2.3 初等函數(shù)2.3.1 指數(shù)函數(shù)(5) 是單值函數(shù)。事實(shí)上，對(duì)于給定復(fù)數(shù)定義中 均為單值函數(shù)。(6) 在復(fù)平面上處處解析，且第4頁(yè)第4頁(yè)2.3

2、初等函數(shù)2.3.1 指數(shù)函數(shù)例例解解第5頁(yè)第5頁(yè) 對(duì)數(shù)函數(shù)定義為指數(shù)函數(shù)反函數(shù)。記作即滿足方程函數(shù)稱為對(duì)數(shù)函數(shù)，定義計(jì)算令由有由 z 模得到 w 實(shí)部 ；由 z 輻角得到 w 虛部 。2.3 初等函數(shù)2.3.2 對(duì)數(shù)函數(shù)第6頁(yè)第6頁(yè) 顯然對(duì)數(shù)函數(shù)為多值函數(shù)。主值(枝)稱為主值(枝)，記為故有分支(枝)尤其地，當(dāng) 時(shí), 主值 就是實(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)。對(duì)于任意一個(gè)固定 k，稱 為 一個(gè)分支(枝)。2.3 初等函數(shù)2.3.2 對(duì)數(shù)函數(shù)第7頁(yè)第7頁(yè)2.3 初等函數(shù)2.3.2 對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)(1)運(yùn)算性質(zhì)注意：對(duì)于左端多值函數(shù)任意取定一值，一定有右端兩多值函數(shù)各一值，其和與該值相應(yīng)。在原點(diǎn)無(wú)定義，故它定義域?yàn)?2

3、)注意到，函數(shù)在原點(diǎn)無(wú)定義；或者指數(shù)函數(shù)第8頁(yè)第8頁(yè)(3)各分支在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸復(fù)平面內(nèi)連續(xù)；在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸平面內(nèi)連續(xù)。尤其地，注意到，函數(shù)在原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)。2.3 初等函數(shù)2.3.2 對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)由反函數(shù)求導(dǎo)法則可得進(jìn)一步有(4)各分支在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸復(fù)平面內(nèi)解析；在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸平面內(nèi)解析。尤其地，第9頁(yè)第9頁(yè)三種對(duì)數(shù)函數(shù)聯(lián)系與區(qū)別：2.3 初等函數(shù)2.3.2 對(duì)數(shù)函數(shù)第10頁(yè)第10頁(yè)主值 解(1)(2)主值 第11頁(yè)第11頁(yè)解主值 求對(duì)數(shù) 以及它主值。例 可見(jiàn)，在復(fù)數(shù)域內(nèi)，負(fù)實(shí)數(shù)是能夠求對(duì)數(shù)。 第12頁(yè)第12頁(yè)稱為復(fù)變量 z 冪函數(shù)。 還要求：當(dāng) a 為正實(shí)數(shù)，且 時(shí)，

4、( 為復(fù)常數(shù)， )定義函數(shù) 要求為注意上面利用指數(shù)函數(shù)以一個(gè)“要求”方式定義了冪函數(shù)，但不要將這種“要求”方式反過(guò)來(lái)作用于指數(shù)函數(shù)，2.3 初等函數(shù)2.3.3 冪函數(shù)第13頁(yè)第13頁(yè)討論此時(shí)， 處處解析，且當(dāng) 為正整數(shù)n時(shí), (單值函數(shù))(1)此時(shí)， 除原點(diǎn)外處處解析，且當(dāng) 為負(fù)整數(shù)時(shí), (2)(單值函數(shù))當(dāng) 時(shí), (3)2.3 初等函數(shù)2.3.3 冪函數(shù)(n值函數(shù))第14頁(yè)第14頁(yè)其中，m 與 n 為互質(zhì)整數(shù)，且 (6) 當(dāng) 為無(wú)理數(shù)或復(fù)數(shù)( )時(shí)，當(dāng) 為有理數(shù)時(shí), (5)( 值)n此時(shí)， 除原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸外處處解析，普通為無(wú)窮多值。此時(shí)， 除原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸外處處解析。且當(dāng) 時(shí), (4)2.3

5、初等函數(shù)2.3.3 冪函數(shù)第15頁(yè)第15頁(yè)解 可見(jiàn)， 是正實(shí)數(shù)，它主值是例求 值。求 值。例解 可見(jiàn)，不要想當(dāng)然地認(rèn)為第16頁(yè)第16頁(yè)由歐拉公式有余弦函數(shù)正弦函數(shù)定義其它三角函數(shù)2.3 初等函數(shù)2.3.4 三角函數(shù)第17頁(yè)第17頁(yè)性質(zhì)（P47） 周期性、可導(dǎo)性、奇偶性、零點(diǎn)等與實(shí)函數(shù)同樣； 各種三角公式以及求導(dǎo)公式能夠照搬； 有界性(即 )不成立。2.3 初等函數(shù)2.3.4 三角函數(shù)第18頁(yè)第18頁(yè)例求依據(jù)定義，有解例求依據(jù)定義，有解第19頁(yè)第19頁(yè)記為假如定義則稱 w 為復(fù)變量 z 反余弦函數(shù)，計(jì)算由 同理可得2.3 初等函數(shù)2.3.5 反三角函數(shù)第20頁(yè)第20頁(yè)雙曲正切函數(shù)雙曲余切函數(shù)雙曲正弦函數(shù)定義雙曲余弦函數(shù)2.3 初等函數(shù)2.3.6