1、學習好資料 歡迎下載 數(shù)學選修 2-2 學問點總結(jié) 一,導數(shù) 1函數(shù)的平均變化率為 y f f x2 f x1 f x1 x f x1 x x x2 x1 x 注 1：其中 x 是自變量的轉(zhuǎn)變量,可正,可負,可零； 注 2：函數(shù)的平均變化率可以看作是物體運動的 平均 速度； 2 , 導 函 數(shù) 的 概 念 : 函 數(shù) y f x 在 x x0 處 的 瞬 時 變 化 率 是 lim y lim f x 0 x f x 0,就稱函數(shù) y f x 在點 x 處可導,并把這個極限叫 0 x 0 x x 0 x 做 y f x 在 x0 處 的 導 數(shù) , 記 作 f x0 或 y |x x 0, 即

2、 f x0 = lim x 0 y x lim x 0 f x0 x x f x0 . 3.函數(shù)的平均變化率的幾何意義是割線的斜率； 斜率； 函數(shù)的導數(shù)的幾何意義是切線的 4 導數(shù)的背景（ 1）切線的斜率；（ 2）瞬時速度；（ 3）邊際成本； 5,常見的函數(shù)導數(shù)和積分公式 函數(shù) 導函數(shù) 不定積分 y c y 0 y n x nN* y n nx 1n x dx n 1 x n 1 y ax a 0,a 1y ax ln a axdx ax ln a y x ey x ex e dx x ey loga x a 0,a 1, x 0y 1 x ln a y ln x y 1 x 1 dx x l

3、n x y sin x y cos x cosxdx sin x y cosx y sin x sin xdx cosx 6,常見的導數(shù)和定積分運算公式 :如 f x , g x 均可導（可積）,就有： 第 1 頁,共 9 頁和差的導數(shù)運算 學習好資料 f x 歡迎下載 f x g x g x f x g x f xg x f xg x 積的導數(shù)運算 特別地： Cf x Cf x 商的導數(shù)運算 f x f x g x f xg x g x 0 c （ 其 中 g x g x 2特別地： g1 g x 復合函數(shù)的導數(shù) x g2x yx yu ux 微積分基本定理 b af x dx F x f

4、x ） b f1 x f 2 xdx bf1 xdx bf 2 x dx 和差的積分運算 aaab bkf xdx k b f xdxk 為常 a 數(shù) bc f xdx 其中a 特別地： ac af xdx b af xdx 積分的區(qū)間可加性 6.用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟 :求函數(shù) fx的導數(shù) f x 令 x 0,解不等 式,得 x 的范疇就是遞增區(qū)間 .令 f x 0,解不等式,得 x 的范疇,就是遞減區(qū) 間； 注：求單調(diào)區(qū)間之前確定要先看原函數(shù)的定義域； 7.求可導函數(shù) fx的極值的步驟： 1確定函數(shù)的定義域； 2 求函數(shù) fx的導數(shù) f x 3求方程 f x =0 的根4 用函數(shù)的導數(shù)

5、為 0 的點,順次將函數(shù)的定義區(qū) 間分成如干小開區(qū)間,并列成表格,檢查 f / x 在方程根左右的值的符號,假如 左正右負,那么 fx在這個根處取得極大值；假如左負右正,那么 fx在這個根 處取得微小值；假如左右不轉(zhuǎn)變符號,那么 fx在這個根處無極值 8.利用導數(shù)求函數(shù)的最值的步驟 :求 f x 在 a, b 上的最大值與最小值的步驟如 下： 求 f x 在 a, b 上的極值；將 f x 的各極值與 f a, f b 比較,其中最 大的一個是最大值,最小的一個是最小值； 就是所求的最值點； 注：實際問題的開區(qū)間唯獨極值點 第 2 頁,共 9 頁學習好資料 歡迎下載 取極限 （“以直代 9求曲

6、邊梯形的思想和步驟 :分割 近似代替 求和 曲 ”的思想） 10.定積分的性質(zhì) 依據(jù)定積分的定義,不難得出定積分的如下性質(zhì)： 性質(zhì) 1 b1dx baa,b ,就 bf xdx 0bf1 xdx bf2 xdx bfm x a性質(zhì) 5 如 f x 0, x ab a f1 x f2 x 推廣： f m x dx aaa推廣 : b af xdx c1 af x dx c2 c1 f xdx b ck f xdx 11 定積分的取值情形 :定積分的值可能取正值,也 可能取負值,仍可能是 0. l ）當對應的曲邊梯形位于 x 軸上方時, 定 積分的值取正值,且等于 x 軸上方的圖形面積； （ 2）

7、當對應的曲邊梯形位于 x 軸下方時,定 積分的值取負值,且等于 反數(shù)； x 軸上方圖形面積的相 （3）當位于 x 軸上方的曲邊梯形面積等于 位于 x 軸下方的曲邊梯形面積時,定積分的值為 0,且等于 x 軸上方圖形的面積減去下方的圖形的 面積 12物理中常用的微積分學問（ 1）位移的導數(shù)為速 度,速度的導數(shù)為加速度； （ 2）力的積分為功； 推理與證明學問點 13.歸納推理的定義：從個別事實中推演出一般性的 結(jié)論,像這樣的推理通常稱為歸納推理； 歸納推理是由 部分到整體,由個別到一般的推理； 14.歸納推理 的思維過程 大致如圖： 試驗,觀看 概括,推廣 估量一般性結(jié)論 15.歸納推理的特點

8、: 歸納推理的前提是幾個已知的特別現(xiàn)象, 歸納所得的結(jié)論 是尚屬未知的一般現(xiàn)象； 由歸納推理得到的結(jié)論具有估量的性質(zhì), 結(jié)論是否真 實,仍需經(jīng)過規(guī)律證明和試驗檢驗,因此,它不能作為數(shù)學證明的工具；歸納 推理是一種具有制造性的推理, 通過歸納推理的猜想, 可以作為進一步爭論的起 點,幫忙人們發(fā)覺問題和提出問題； 16.類比推理的定義：依據(jù)兩個（或兩類）對象之間在某些方面的相像或相同, 推演出它們在其他方面也相像或相同, 特殊到特殊的推理； 這樣的推理稱為類比推理； 類比推理是由 第 3 頁,共 9 頁學習好資料 歡迎下載 17.類比推理的思維過程 觀看,比較 聯(lián)想,類推 估量新的結(jié)論 18.演繹

9、推理的定義：演繹推理是依據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論（包括定義,公 理,定理等） 依據(jù)嚴格的規(guī)律法就得到新結(jié)論的推理過程； 特殊的推理； 演繹推理是由一般到 19演繹推理的主要形式：三段論 20.“三段論”可以表示為：大前題： M 是 P小前提： S 是 結(jié)論： S 是 其中是大前提, 它供應了一個一般性的原理； 是小前提, 它指出了一個 M P； 特別對象；是結(jié)論,它是依據(jù)一般性原理,對特別情形做出的判定； 21.直接證明是從命題的條件或結(jié)論動身,依據(jù)已知的定義,公理,定理,直接 推證結(jié)論的真實性；直接證明包括綜合法和分析法； 22.綜合法就是 “由因?qū)Ч?從已知條件動身, 不斷用必要條件代替

10、前面的條件, 直至推出要證的結(jié)論； 23.分析法就是從所要證明的結(jié)論動身,不斷地用充分條件替換前面的條件或者 確定成立的式子,可稱為“由果索因” ；要留意表達的形式：要證 A,只要證 B, B 應是 A 成立的充分條件 . 分析法和綜合法常結(jié)合使用,不要將它們割裂開； 24 反證法：是指從否定的結(jié)論動身,經(jīng)過規(guī)律推理,導出沖突,證明結(jié)論的否 定是錯誤的,從而確定原結(jié)論是正確的證明方法； 25.反證法的一般步驟 （ 1）假設(shè)命題結(jié)論不成立, 即假設(shè)結(jié)論的反面成立； （2） 從假設(shè)動身,經(jīng)過推理論證,得出沖突； （3）從沖突判定假設(shè)不正確,即所求證 命題正確； 26 常見的“結(jié)論詞”與“反義詞”

11、原結(jié)論詞 反義詞 原結(jié)論詞 反義詞 至少有一個 一個也沒有 對全部的 x 都成立 存在 x 使不成立 至多有一個 至少有兩個 對任意 x 不成立 存在 x 使成立 至少有 n 個 至多有 n-1 個 p 或 q p 且 q至多有 n 個 至少有 n+1 個 p 且 q p 或 q27.反證法的思維方法 :正難就反 28.歸繆沖突（ 1）與已知條件沖突 :（ 2）與已有公理,定理,定義 沖突； （ 3） 自相沖突 29數(shù)學歸納法（只能證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題）的步驟 1證明：當 n 取 第一個值 n0 n0 N 時命題成立； 2假設(shè)當 n=k k N *,且 kn0時命題成立,證明當 n=k+

12、1時命題也成立 .由 1,2可知,命題對于從 n0 開頭的全部正整數(shù) n都正確 注：常用于證明不完全歸納法估量所得命題的正確性的證明； 數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念學問點 第 4 頁,共 9 頁學習好資料 歡迎下載 30. 復數(shù)的概念：形如 a+bi的數(shù)叫做復數(shù),其中 i 叫虛數(shù)單位, a 叫實部, b 叫 虛部,數(shù)集 C a bi | a,b R 叫做復數(shù)集； 規(guī)定： a bi c di a=c 且b=d,強調(diào)：兩復數(shù)不能比較大小,只有相等或不相 等； 實數(shù) b 0 31數(shù)集的關(guān)系： 復數(shù) Z 一般虛數(shù) a 0 虛數(shù) b 0 純虛數(shù) a 0 32. 復數(shù)的幾何意義：復數(shù)與平面內(nèi)的點或有序?qū)崝?shù)對一一

13、對應； 33. 復平面：依據(jù)復數(shù)相等的定義,任何一個復數(shù) z a bi ,都可以由一個有序 實數(shù)對 a,b 唯獨確定；由于有序?qū)崝?shù)對 a,b 與平面直角坐標系中的點一一對 應,因此復數(shù)集與平面直角坐標系中的點集之間可以建立一一對應； 這個建立了 直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面, x 軸叫做實軸, y 軸叫做虛軸；實軸 上的點都表示實數(shù),除了原點外,虛軸上的點都表示純虛數(shù)； 34. 求復數(shù)的模 確定值 與復數(shù) z 對應的向量 OZ 的模 r 叫做復數(shù) z a bi 的模 也叫確定值 記作 z 或 a bi ；由模的定義可知： z a bi a 2 b 2 35. 復數(shù)的加,減法運算及幾何意

14、義復數(shù)的加, 減法法就： z1 a bi 與 c di , 就 z z a c b d i；注：復數(shù)的加,減法運算也可以按向量的加,減法來進 z2 行； 復數(shù)的乘法法就： a bic di ac bd ad bc i ； 其中 c di 叫做實數(shù)化 復數(shù)的除法法就： ac bi a bi c di ac bd bc ad i d 2 di c dic di c2 d 2 c 2 因子 36.共軛復數(shù) : 兩復數(shù) abi 與 a bi 互為共軛復數(shù),當 b0 時,它們叫做共軛虛數(shù)； 常見的運算規(guī)律 1 z z ; 2 z z 2a, z z 2bi; 3 z z 2 z 2 z a22 b ;4

15、 z z;5 z z z R4 n 1 6 i 4n 2 i , i 4n 3 1,i 4 n 4 i , i 1; 7 1 i2i;8 1 1ii, 1 1ii , 1i2iii23n 1 , 3n 2 , 3n 3 19 設(shè) 123i 是 1 的立方虛根,就 1 20 , 第 5 頁,共 9 頁學習好資料 歡迎下載 選修 2-3 學問點總結(jié) 第一章 計數(shù)原理 1, 分類加法計數(shù)原理 ：做一件事情,完成它有 N 類方法,在第一類方法中有 M 1 種不同的 方法,在其次類方法中有 M 2 種不同的方法, ,在第 N 類方法中有 M N 種不同的方法, 那么完成這件事情共有 M 1+M 2 +

16、+MN 種不同的方法； 2,分步乘法計數(shù)原理 ：做一件事,完成它需要分成 N 個步驟,做第一 步有 m1 種不同的方 法,做其次步有 M 2不同的方,做第 N 步有 M N 不同的方法 .那么完成這件事共有 法, N=M 1M 2 .M N 種不同的方法； 3,排列 ：從 n 個不同的元素中任取 mmn個元素,按照一定順序排成一列,叫做從 n 個不 同元素中取出 m 個元素的一個排列 4, 排列數(shù) ： m A n n 1 n m 1 n n. m n, n, m N m. 5,組合 ：從 n 個不同的元素中任取 個元素的一個組合； m mn 個元素并成一組, 叫做從 n 個不同元素中取出 mm

17、m6, 組合數(shù)： C C m mn A AA mmmAm n nnn 11 nn mm 11 m. m. C C m mn m. n m. m. n m. n. n. m n m m1 m mC n C n ; C n C n C n 1 n 0 n 1 n1 2 n 2 2 r n r r n n7, 二項式定理： a b Cn a Cna b Cn a b Cna b Cn b 開放 8,式二的 項式通通項項公 公式 1 Cn a r n rb r r 0, 1 n 式 ： Tr9. 二項式系數(shù)的性質(zhì)： n 0 1 2 n ra b 開放式的二項式系數(shù)是 C , C , C , , C C

18、 可以看成以 r 為自變 量的函數(shù) f r ,定義域是 0,1,2, , n , （ 1）對稱性 與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等（ Cn mCn nm ）（ 2）增減性與最大值： 當 n 是偶數(shù)時,中間一 項 n 1 n 1 中間兩項 C n 2, C n 2 取得最大值 n C 2 取得最大值；當 n 是奇數(shù)時, （ 3）各二項式系數(shù)和： 1 n x 1 1 C x n Cn r rC x n x , 令 x 1,就 2n0 Cn 1 Cn 2 Cn r Cn 其次章 隨機變量及其分布 第 6 頁,共 9 頁學習好資料 歡迎下載 學問點： （3） 隨機變量 ：假如隨機試驗可能顯現(xiàn)的

19、結(jié)果可以用一個變量 驗X 來表示,并且 X 是隨著試 的結(jié)果的不同而變化, 那么這樣的變量叫做隨機變量 隨機變量常用大寫字母 X, Y 等或希臘字母 , 等表示； （4）離散型隨機變量： 在上面的射擊,產(chǎn)品檢驗等例子中,對于隨機變量 X 可能取的值, 我們可以按確定次序一一列出,這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量 3, 離散型隨機變量的分布列 ：一般的 ,設(shè)離散型隨機變量 X 可能取的值為 x 1,x2,. ,x i ,.,x n X 取每一個值 xii=1,2,. ）的概率 P =x i） Pi,就稱表為離散型隨機變量 X 的概率分布, 簡稱分布列 4,分布列性質(zhì) pi 0, i =1 , 2

20、, ； p1 + p 2 + +pn= 1 5,二點分布： 假如隨機變量 X 的分布列為： 其中 0p1 , q=1-p,就稱離散型隨機變量 X 聽從參數(shù) p 的二點分布 6,超幾何分布 ：一般地 , 設(shè)總數(shù)為 N 件的兩類物品,其中一類有 M 件,從全部物品中任取 nn N件 ,這 n 件中所含這類物品件數(shù) X 是一個離散型隨機變量, 就它取值為 k 時的概率為 P Xkk n kCM CN Mk0,1,2,m , B 發(fā)生的概率, 叫 n CN其中 mminM , n,且 n N,M N,n,M , NN * 7, 條件概率 ：對任意大事 A 和大事 B,在已知大事 A 發(fā)生的條件下大事

21、做條件概率 .記作 PB|A ,讀作 A 發(fā)生的條件下 B 的概率 8, 公式 ： P B | AP AB, P A0.P A9, 相互獨立大事 ：大事 A 或 B 是否發(fā)生對大事 B 或 A 發(fā)生的概率沒有影響 ,這樣的兩個事 件叫做相互獨立大事； P A BP A PB10, n 次獨立重復大事： 在同等條件下進行的,各次之間相互獨立的一種試驗 11,二項分布 ： 設(shè)在 n 次獨立重復試驗中某個大事 A 發(fā)生的次數(shù), A 發(fā)生次數(shù) 是一個隨 機變量假如在一次試驗中某大事發(fā)生的概率是 p,大事 A 不發(fā)生的概率為 q=1-p ,那么在 k k n k n 次獨立重復試驗中 P k Cn p q （其中 k=0,1, ,n, q=1-p ） 第 7 頁,共 9 頁學習好資料 歡迎下載 于是可得隨機變量 的概率分布如下： 這樣的隨機變量 聽從二項分布,記作 Bn, p,其中 n, p為參數(shù) 12, 數(shù)學期望： 一般地,如離散型隨機變量 的概率分布為 就稱 E x1p1 x