1、第四章行波法一一維顛簸方程的達(dá)郎貝爾公式達(dá)郎貝爾公式在常微分方程的定解問題中，往常是先求方程的通解，而后利用定解條件確立通解所含的隨意常數(shù)，進(jìn)而獲得定解問題的解?？紤]無窮長弦的自由振動問題2ua22u,x,t0t2x2uu|t0(x),|t0(x)t作自變量的代換xatxat利用復(fù)合函數(shù)的微分法有：uauaut2u2(2u2u2u)t2a2222u2u22u2u同理有：x222將化為：2u0并將它兩頭對進(jìn)行積分得：1uf0()此中f0()是的隨意函數(shù)，再將此式對積分u(x,t)f0()df2()f1()f2()f1(xat)f2(xat)此中f1、f2是隨意兩次連線可微函數(shù)，式即為方程的含有兩

2、個隨意函數(shù)的通解。由初始條件可得：f1(x)f2(x)(x)af1(x)f2(x)(x)經(jīng)過積分可得：u(x,t)1(xat)(xat)122aatat()d稱此式為一維顛簸方程的達(dá)郎貝爾公式。解的物理意義因?yàn)轭嶔し匠痰耐ń馐莾刹糠謋1(xat)與f2(xat)。u2f2(xat)表示了以速度a向x軸正方向流傳的行波，稱為右行波。同理，u1f1(xat)表示了以速度a向x軸負(fù)方向流傳的行波，稱為左行波。由達(dá)郎貝爾公式，解在點(diǎn)(x,t)的值由初始條件在區(qū)間xat,xat內(nèi)的值決定，稱區(qū)間xat,xat為點(diǎn)(x,t)的依靠地區(qū)，在xt平面上，它可看作是過點(diǎn)(x,t)，斜率分2別1為的兩條直線在x軸

3、上截得的區(qū)間。a這里要掌握半無窮長弦的自由振動問題和一維非齊次顛簸方程的柯西問題的解。半限長弦的自由振動問題定解問題2ua22u，t0,x0（4.8)t2x2u|x00(4.9)u|x0(x),u|t0(x)(4.10)t用延拓法求解，注意界限條件（4.9），采納奇延拓。令(x)(x),x0(x),x0(x)(x),x0(x),x0考慮定解問題2ua22u，x,t0t2x2u|x0(x),u|t0(x)t它的解可由達(dá)郎貝爾公式得：11xatU(x,t)(xat)(xat)22axat()d。3一維非齊次顛簸方程的柯西問題定解問題2ua22u，x,t0(4.11)t2x2f(x,t)u|x0(x

4、),u|t0(x)(4.12)t令u(x,t)U(x,t)V(x,t)，可將此定解分解成下邊兩個定解問題：2ua22u，x,t0(I)t2x2(x),u|t0(x)u|x0t2u22u，(II)t2ax2f(x,t)x,t0u|t0u|x00,0t此中問題(I)的解可由達(dá)朗貝爾公式給出：U(x,t)1(xat)(xat)122a對于問題(II)，有下邊重要的定理。atat()d。定理（齊次化原理）設(shè)(x,t,)是柯西問題22t2a2x2，t|x0,t|tf(x,)的解(0)，則V(x,t)t0(x,t,)d是問題(II)的解。4二三維顛簸方程的柯西問題三維顛簸方程的泊松公式考慮三維顛簸方程的柯

5、西問題2u22u2u2ut2a(x2y2z2)x,y,z,t0(4.17）u|t0(x,y,z),u|t0(x,y,z)(4.18)t三維顛簸方程的球?qū)ΨQ解假如將三維顛簸方程的空間坐標(biāo)用球坐標(biāo)表示，則顛簸方程化為：1(r2u)r21(sinu)12u=r2rrsinr2sin2212u（4.19）a2t2假如波函數(shù)u與，變量沒關(guān)，而只與變量r,t相關(guān)，即是所謂球?qū)ΨQ的，這時式可簡化為：1(r2u=12ur2r)a2t2r2u22uut2a(rr22r)即有：2(ru)a22(ru)。t2r2這是對于的一維顛簸方程，其通解為：ru(r,t)f1(rat)f2(rat)5進(jìn)而ru(r,t)1f1(

6、rat)f2(rat)即獲得三維顛簸方程r對于原點(diǎn)為球?qū)ΨQ的解。三維顛簸方程的泊松公式2u22u2u2ut2a(x2y2z2)x,y,z,t0(4.17）u|t0(x,y,z),u|t0(x,y,z)(4.18)t的解為：u(x,y,z,t)1(,)1(,)4atSatMatdsatds，稱它4aSatM為三維顛簸方程柯西問題的泊松公式。這里要求掌握三維顛簸方程柯西問題的泊松公式的推導(dǎo)過程。降維法利用三維顛簸方程柯西問題的泊松公式來導(dǎo)出二維顛簸方程柯西問題的解。這類利用高維問題的解推導(dǎo)低維問題的方法稱之為降維法。二維顛簸方程的柯西的問題：2u22u2ut2a(x2y2)x,y,z,t0u|t0(x,y),u|t0(x,y)t6_令u(x,y,z)u(x,y,z)，將上式的解視為特別的三維問題，最后獲得問題的解為：1(,)dd+u