1、*8 反常二重積分 與反常定積分相同, 二重積分亦有推廣到積分區(qū)域是無界的和被積函數(shù)是無界的兩種情形, 統(tǒng)稱為反常二重積分.一、無界區(qū)域上的二重積分二、無界函數(shù)的二重積分返回一、無界區(qū)域上的二重積分 定義1 設(shè) 為定義在無界區(qū)域 D 上的二元函 數(shù). 若對于平面上任一包圍原點(diǎn)的光滑封閉曲線 在曲線所圍的有界區(qū)域與 D 的交集 (圖21-42)上二重可積.令 若存在有限極限: 且與的取法無關(guān), 則稱 在 D 上的反常二 重積分收斂, 并記 否則稱在 D 上的反常二重積分發(fā)散, 或簡 發(fā)散. 稱 定理21.16 設(shè)在無界區(qū)域 D 上為一列包圍原點(diǎn)的光滑封閉曲線序列,滿足 其中為所圍的有界區(qū)域.這時

2、反 常二重積分 (1) 必定收斂, 并且 證 設(shè)為任何包圍原點(diǎn)的光滑封閉曲線,它所圍成 再由 由定理 21.16 的證明容易看到有以下定理: 因而對于充分大的 有可知反常二重積分 存在,且等于 I . 定理21.17 若在無界區(qū)域 D上 則反常二 重積分 (1) 收斂的充要條件是：在 D 的任何有界子 區(qū)域上可積，且積分值有上界.例1 證明反常二重積分收斂,其中 D 為第一象限部分,即 部分. 因為 所以二重積分 證 設(shè) 是以原點(diǎn)為圓心 R 為半徑的圓在第一象限 使得于是 因此由定理21.17, 反常二重積分 收斂， 并且由定理21.16 有 由 (2) 式還可推出在概率論中經(jīng)常用到的反常積分

3、 為此, 考察 上的積分 因為 而(圖 21-43), 所以令 , 則得 故得 下面的例子是應(yīng)用反常二重積分補(bǔ)證第十九章中有 例2 證明: 若 則 證 對于 函數(shù), 令 則,于是從而 關(guān) 函數(shù)與 函數(shù)的聯(lián)系公式.令 由二重積分化為累次積分的計算公式,有 所以式右邊的反常二重積分,記 于是有 這里 為平面上第一象限.和例1 一樣,下面討論(4) 定理21.18 設(shè)在無界區(qū)域的任何有界子區(qū) 證 (只證充分性) 設(shè) 收斂于M. 作輔 域上可積. 則反常二重積分收斂的充 要條件是: 反常二重積分收斂. 助函數(shù): 顯然有 因而任給有界區(qū)域 恒有 所以與在 D 上的反常二重積分都 收斂.又因 離為 (i)

4、 若當(dāng) r 足夠大時, 則當(dāng) 時, 反常二重積分 收斂；(ii) 若在 D 上滿足 其中 D 包 含有以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的無限扇形區(qū)域,則當(dāng) 時， 反常二重積分 發(fā)散.*證 記 則 (i) 因為對任意 所以 收斂.(ii) 設(shè) 其中 對任意 因此 發(fā)散. 二無界函數(shù)的二重積分定義2 設(shè) P 為有界區(qū)域 D 的一個聚點(diǎn)，在 D 界, 為 D 中任何含有 P 的小區(qū)域，在 上可積, 又設(shè) d 表示 的直徑. 若極限 上除點(diǎn) 外皆有定義,且在 的任何空心鄰域內(nèi)無 存在且有限, 并與 的取法無關(guān), 則稱 在 D 上的反常二重積分收斂,記作否則稱反常積分發(fā)散. 與無界區(qū)域上的反常重積分一樣，對無界函數(shù)的反 常重積分也可建立相應(yīng)的收斂性定理.其證明方法也與定理21.19類同,請讀者自證. 且 D 含有以點(diǎn) P 為頂點(diǎn)的