1、數(shù)值分析 2.2 Lagrange插值多項(xiàng)式第二章 函數(shù)近似計(jì)算的插值法若通過求解線性方程組(1)來求解插值多項(xiàng)式 系數(shù) , 不但計(jì)算工作量較大, 且難于得到的簡(jiǎn)單表達(dá)式.一、 代數(shù)多項(xiàng)式的構(gòu)造:可通過找插值基函數(shù)的方法,得到插值多項(xiàng)式!十八世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家Lagrange對(duì)以往的插值算法進(jìn)行研究與整理，提出了易于掌握和計(jì)算的統(tǒng)一公式，稱為Lagrange插值公式。 它的特例是線性插值公式和拋物線插值公式。Lagrange插值多項(xiàng)式1. 線性插值 已知兩個(gè)插值點(diǎn)及其函數(shù)值：xx0 x1f(x)f0f1插值節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值求一次多項(xiàng)式使得 由于方程組的系數(shù)行列式所以，按Gramer法則，有唯一解于

2、是或(B-1） 容易驗(yàn)證，過點(diǎn)（x0，f0）與（x1，f1）直線方程就是式（B-1），如圖2-3所示。yxx0 x1P1(x)f(x)P1(x)f(x)誤差圖2-32. 拋物線插值 已知三個(gè)插值節(jié)點(diǎn)及其函數(shù)值：f2f1f0f(x)x2x1x0 x求一個(gè)二次多項(xiàng)式使得由于該方程組的系數(shù)行列式所以，有唯一解。即滿足這樣條件的二次多項(xiàng)式是唯一確定的。滿足上述條件，所以它就是所求的二次多項(xiàng)式。 容易看出（B-2）容易驗(yàn)證，P2(x)是過點(diǎn)(x0, f0)、(x1, f1)與(x2, f2)三點(diǎn)的拋物線，如圖2-4所示。yxx1x0 x2P2(x)f(x)圖2-4f0f1f23. n 次Lagrange

3、插值已知 n+1 個(gè)插值節(jié)點(diǎn)及其函數(shù)值：fnf2f1f0f(x)xnx2x1x0 x插值節(jié)點(diǎn)相應(yīng)的函數(shù)值求次數(shù)不超過 n 的多項(xiàng)式Pn(x) 。使得根據(jù)線性空間的理論,并且形式不是唯一的且在不同的基下有不同的形式且滿足插值條件:n+1次多項(xiàng)式且-(4)從而令即由(4)式,可得其中-(6)-(5)其中 這個(gè)改寫了的Lagrange插值公式，在許多理論分析中是比較有用的。Lagrange插值公式的標(biāo)準(zhǔn)型公式:例1:解:且在例1中,如果只給出兩個(gè)節(jié)點(diǎn)169和225,也可以作插值多項(xiàng)式,即1次Lagrange插值多項(xiàng)式,有兩個(gè)插值基函數(shù),也就是Lagrange線性插值.Lagrange線性插值基函數(shù)(

4、一次插值)為Lagrange線性插值多項(xiàng)式為例2.解:Lagrange插值基函數(shù)為Lagrange線性插值多項(xiàng)式為所以二、插值余項(xiàng)滿足不會(huì)完全成立因此, 插值多項(xiàng)式存在著截?cái)嗾`差, 那么我們?cè)鯓庸烙?jì)這個(gè)截?cái)嗾`差呢？則成立根據(jù)Rolle定理,再由Rolle定理,依此類推由于所以因此即定理1.Lagrange型余項(xiàng)n=1:n=2:設(shè)則插值基函數(shù)的性質(zhì)Lagrange插值算法特點(diǎn)&局限性 優(yōu)點(diǎn)：公式簡(jiǎn)潔, 理論分析方便 直觀； 對(duì)稱；容易編程上機(jī)等。 缺點(diǎn)：基函數(shù)計(jì)算復(fù)雜，計(jì)算量大 每增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，插值多項(xiàng)式的所有 系數(shù)都得重算；計(jì)算量為 。 下一節(jié)提出的Newton插值法就克服了上述缺點(diǎn)。羅爾(R

5、olle)定理補(bǔ)充資料-01 如果函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)，在開區(qū)間(a, b)內(nèi)具有導(dǎo)數(shù)，且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即 f(a) = f(b) ，那么在(a, b) 內(nèi)至少有一點(diǎn)（a b），使得函數(shù)f(x)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零：Rolle定理的幾何意義是：如果連續(xù)曲線 y = f(x)的弧 上除端點(diǎn)外處處具有不垂直于 x 軸的切線且兩端點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等（ f(a) = f(b) ） ，那么這弧 上至少有一點(diǎn)C處的切線平行于 x 軸（見圖-A）。圖-AABCabyx（1）Lagrange中值定理 如果函數(shù) f(x) 在封閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有導(dǎo)數(shù)，那么在(a,b) 內(nèi)至少有一點(diǎn)（a b），使得等式（2） 成立。