1、第一章高等數(shù)學的基礎(chǔ) 函數(shù) 極限 研究的對象 研究的方法一元函數(shù)第一節(jié)一元函數(shù)二、函數(shù)的概念及圖形四、反函數(shù)與復合函數(shù)五、函數(shù)的運算六、基本初等函數(shù)三、函數(shù)可能具有的幾種特性 第一章 七、初等函數(shù)一、實數(shù)集 鄰域一、實數(shù)集 鄰域集合的定義集合的運算并，交，差實數(shù)集鄰域二、函數(shù)的概念及圖形1. 函數(shù)的概念 定義1 設(shè)數(shù)集則稱映射為定義在D 上的一元函數(shù) ,記為x 稱為自變量,y 稱為因變量 ,D 稱為定義域 ,f ( D ) 稱為值域 .函數(shù)圖形:稱點集為函數(shù) f 的圖形.定義域值域?qū)?yīng)法則注 1 函數(shù)的二要素 定義域 D 對應(yīng)法則 fRf對應(yīng)法則 f自變量因變量例1下列各組函數(shù)是否相同？(1)

2、答：不同, 因為二者定義域不同. 前者的定義域為 (2)而后者的定義域為答：不同, 因為二者的對應(yīng)法則不同. 注 xyO答：相同.(3) 兩個函數(shù)是否相同，僅取決與D 和 f，而與f 的表達形式無關(guān)，也與變量的記號無關(guān)!2 定義域：使表達式及實際問題都有意義的自變量所能取得的一切實數(shù)值所組成的集合.例2解3 函數(shù)的表示方法:解析法、圖象法、列表法.1-1xyo(1)符號函數(shù)2. 幾個特殊的函數(shù)舉例(2) 絕對值函數(shù)xyO(3) 取整函數(shù) y = x, x R階梯曲線x表示不超過 x 的最大整數(shù). 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 -1-3xyO3421有理數(shù)點無理數(shù)點1xyo

3、(4) 狄利克雷函數(shù)(5) 數(shù)列數(shù)列也是一類函數(shù), 它的定義域是全體正整數(shù)它的圖形是平面上的一些孤構(gòu)成的集合立點的集合.三、函數(shù)可能具有的幾種特性設(shè)函數(shù)又數(shù)集1. 有界性則稱 在X上有界.為有界函數(shù). M-MyxOy = f (x)X有若則稱 f (x)為偶函數(shù);若則稱 f (x)為奇函數(shù).說明: 若在 x = 0 有定義 ,則當為奇函數(shù)時, 2. 奇偶性yxOx-x偶函數(shù)的圖形關(guān)于y 軸對稱奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱例4證 令則由消去得顯然又故為奇函數(shù) .且證明時其中為常數(shù) ,且為奇函數(shù) . 設(shè)在 I 上單調(diào)減少.當時,稱 在 I 上單調(diào)增加；稱 單調(diào)增加或單調(diào)減少的函數(shù) 統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).3.

4、 單調(diào)性注 函數(shù)單調(diào)與否同所論區(qū)間有關(guān).4. 周期性且則稱為周期函數(shù) ,若稱 T 為周期.周期為 周期為( 通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期 ).例如: 常量函數(shù) 狄里克雷函數(shù)x 為有理數(shù),x 為無理數(shù);注 并非任何一個周期函數(shù)都有最小正周期.每一個正數(shù)都是其周期.每一個正有理數(shù)都是其周期.這兩個函數(shù)均無最小正周期!例5 設(shè)函數(shù)的圖形關(guān)于均對稱, 求證是周期函數(shù).證由的對稱性知于是故是周期函數(shù) , 周期為xyOab四、 反函數(shù)與復合函數(shù)1. 反函數(shù)的定義及性質(zhì)定義若函數(shù)是一一映射,則存在其使其中稱此映射為 f 的反函數(shù) .逆映射習慣上 ,的反函數(shù)記成例如, 函數(shù)其反函數(shù)為性質(zhì):(1) 函數(shù)

5、與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對稱 .其反函數(shù)(減)(減) .(2) 單調(diào)遞增也單調(diào)遞增例如 ,對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù) ,它們都單調(diào)遞增,其圖形關(guān)于直線對稱 .指數(shù)函數(shù)xyO例6解分段函數(shù)的反函數(shù)應(yīng)當逐段求：解得反函數(shù)為解得反函數(shù)為又對于直接函數(shù) y = x 3 來說其值域為 1, 8 ，故反函數(shù) 的定義域為 1, 8 ; x 1, 8 ;解得反函數(shù)為綜上所述，所求反函數(shù)為2. 復合函數(shù) 則當由上述函數(shù)鏈可定義由 D 到 Y 的設(shè)有函數(shù)鏈記作復合函數(shù) ,時,或注1 并非任何兩個 函數(shù)都能構(gòu)成復合函數(shù)， 函數(shù)的復合是有條件的.條件：如：Ou-112解故例7 設(shè)函數(shù)的定義域分別為為實數(shù).則定義兩個函數(shù)和:差

6、:積:商:線性組合:五、函數(shù)的運算的運算如下:七、初等函數(shù)統(tǒng)稱為 基本初等函數(shù).冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)稱為初等函數(shù) . 否則稱為非初等函數(shù) . 例如 ,并可用一個式子表示的函數(shù) ,經(jīng)過有限次四則運算和復合步驟所構(gòu)成 ,可表為故為初等函數(shù).六、基本初等函數(shù)為奇函數(shù)(1) 雙曲正弦 記1. 雙曲函數(shù)(2) 雙曲余弦 為偶函數(shù)記工程中常用的一類初等函數(shù):為奇函數(shù)(3) 雙曲正切 記內(nèi)容小結(jié)定義域?qū)?yīng)規(guī)律2. 函數(shù)的特性有界性, 奇偶性,單調(diào)性, 周期性3. 初等函數(shù)的結(jié)構(gòu)1. 函數(shù)的定義及函數(shù)的二要素例3-1 已知函數(shù)求 及解函數(shù)無定義并寫出定義域及值域 .定義域 值 域 =例4-1證明設(shè)f(x)是定義在(-a,a)內(nèi)的任意函數(shù)，證明（1）f(x)+f(-x)是偶函數(shù)；（2）f(x)-f(-x)是奇函數(shù)；（3）f(x)總可以表示為一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)之和.(1)令F(x)=f(x)+f(-x),因為在對稱區(qū)間(a,-a)內(nèi)，有 F(-x)=f(-x)+f(x)=f(x)+f(-x)=F(x),所以，F(xiàn)(x)=f(x)+f(-x)是偶函數(shù).(2)令F(x)=f(x)-f(-x),所以,F(x)=f(x)-f(-x)是奇函數(shù).(3)作以上兩個函數(shù)的線形組合,可得 f(x)= 即 f(x)表示一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)之和. F(-x)=f(-x)