1、7.2 幾何應(yīng)用1平面圖形面積的計算1、直角坐標(biāo)系下的面積公式（1）所界圖形的面積:（2）所界圖形的面積:A（3）所界圖形的面積:A所界圖形的面積:（4）解（5）所界圖形的面積:A(1) 作草圖選取積分變量從圖形可知選取 x 為積分變量例 計算由曲線 所界圖形 的面積 A聯(lián)立方程 組 解得兩曲線的交點(diǎn)(3) 計算積分(2) 求兩曲線的交點(diǎn), 確定積分區(qū)間從而確定積分區(qū)間: -2 , 4 例 計算由曲線 x=2y2 和 x =1+y2 所圍成的圖形面積 1-1x=2y2x=1+y2解(1)作草圖, 選取 y 為積分變量(2)求兩曲線的交點(diǎn), 確定積分區(qū)間得 y = -1, y =1 , 積分區(qū)間

2、-1 ,1解聯(lián)立方組： 根據(jù)圖形選取合適的積分變量有助 于簡化問題 說明:1 53當(dāng) y0 = 3 時 , x0 = 2兩邊對 x 求導(dǎo)得令 x =2 ，y =3 得切線方程 即 選取 y 為積分變量求由拋物線 和它在縱坐標(biāo)為 y0=3 的 點(diǎn)處的切線以及 x 軸所圍成圖形的面積 例解2解計算曲線 與 x 軸在區(qū)間 0 , 2n 所圍成區(qū)域的面積 例2、參數(shù)方程表示的圖形面積的計算設(shè)曲線為 則 a b , t = -1(x)其中 (t) , (t) , (t)在 , 上連續(xù) , 且 (t) 在 , 上單調(diào)增 ( 或減 ) , () =a , () =b , A即( (t)單調(diào)增 ) （2） 說

3、明: 若 (t) 單調(diào)減 , 則上積分上、下限倒一下 所成曲邊梯形的面積解在 0，2 上單調(diào)增 ,求擺線 的第一拱（0 t 2) 與 x 軸所界圖形的面積 例利用式（2）有解1MS1S2由于設(shè) M 為曲線 上的一點(diǎn) , 此曲線與直線 OM 及 x 軸所界圖形的面積為 S , 例求 取得最大值時，點(diǎn) M 的坐標(biāo) 令由于當(dāng) 時， 取最大值， 3、極坐標(biāo)系下圖形面積的計算設(shè) r = r() , , r() 在 , 上連續(xù) , = r=r()= = +設(shè) , +上曲邊扇形的面積為A由于 r() 連續(xù) , 若記r0B AA計算: 向徑 = , = , 曲線 r = r() 所圍圖形的面積兩邊積分得 (1

4、)例 求心臟線 所圍圖形的面積.A1解畫出草圖 , 如圖所示確定 的變化范圍 0 2由對稱性知 A=2A1 ,所以2a r0例 求平面區(qū)域 的面積 解畫出草圖, 如圖所示 圖形關(guān)于極軸 r 對稱 A= 2A1A1求 與 的交點(diǎn)解得 積分區(qū)間2a r0例 求雙紐線 所圍圖形的面積 解從曲線的方程可知, 曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱 , 故只須求其在第一象限內(nèi)的面積 A1將曲線化為極坐標(biāo)方程有 的變化范圍為 (第一象限部分)2 平面曲線弧長的計算設(shè)平面曲線其中 在 , 上連續(xù)且有連續(xù)導(dǎo)數(shù) 取 t 增加時 , 描繪曲線的方向為曲線的正方向 , 計弧零點(diǎn)為 , (3)所以有作為公式（3）的特殊情形:（a）若曲線

5、, 則（直角坐標(biāo)下）（4）（b）若曲線 , 則（極坐標(biāo)下）（5）注意: 公式 (4) 、(5) 中, 積分下限 積分上限 注意: 公式 (3) 中, 積分下限 積分上限 例 求曲線 的全長 .先確定參數(shù) t 的變化范圍由所以曲線的定義域為又解利用公式 (3) , 有例 求曲線 的弧長 解解的弧長 ( p為常數(shù) ) 例 計算曲線 3已知平行截面積的立體體積的計算 x+x 記連續(xù)函數(shù) A(x ) (a x b), 計算該立體的體積 V 設(shè)立體 V, 其垂直于x 軸的截面面積是已知的設(shè) x , x+x 段上對應(yīng) 立體的體積為V. xxab由于A (x) 連續(xù)A(x)故知 （6）所以有計算公式例 對給

6、定的半徑為 R 的一個圓柱體，用一與底面求這截下部分立體的體積 交角為 的平面相截 , 若平面通過低圓直徑 , 試R-R 如圖所示, 建立坐標(biāo)系 在 -R , R 上任取一點(diǎn) x 用經(jīng) x , 垂直于 x 軸的平面去截立體 , 得截痕面積 A(x) (直角三角形) 解所以 , 有4 旋轉(zhuǎn)體的體積計算旋轉(zhuǎn)體: x x+x空間體 平面圖形繞平面上某一條軸旋轉(zhuǎn)而成的 計算此曲邊梯形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積（ f (x)在 a , b 上連續(xù) ）設(shè)曲邊梯形由 y = f (x) , x = a , x = b 及 x 軸所界，(7)設(shè)子區(qū)間 x, x+x 上小曲邊梯形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)的體積為V 同

7、理可得: (8)x x+x下面考慮曲邊梯形:繞 y 軸旋轉(zhuǎn)所得立體的體積y =d 及 y 軸 , 曲邊梯形 x =g (y) , y =c ,設(shè)子區(qū)間 x, x+x 上小曲邊梯形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)的體積為V 的體積:繞 y 軸旋轉(zhuǎn)所得繞 x 軸旋轉(zhuǎn)所得的立體的體積:同理可得: 曲邊梯形 (10)(9)解解例 求由拋物線所圍圖形的面積 , 并將此圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所成立體的體積 畫出草圖, 選取 x 為積分變量 , 積分區(qū)間為 -1 , 1 . 所以 , 所圍圖形的面積 所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積 :解 當(dāng)容器以勻角速度 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)時, 容器液面的軸截面截線方程為:設(shè)容器是底半徑為 R , 高為 H 的圓柱形容器, 里面盛例 有水的體積為 V, 試求常數(shù) C (假定V足夠大) ,又問當(dāng) 以多大的角速度旋轉(zhuǎn)時,容器的底面會露出來 ?要使容器底面露出來 , 至少使 c = 0當(dāng) 時, 容器的底面會露出來解 求圖形 A 繞直線 x = 2 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.例 設(shè)平面圖形 A 由 與 所確定 , 1y+dy yA 的圖形如圖所示 .A 的邊界線方程為A 在 y 軸上的投影區(qū)間為 0 , 1在 0 ，1 上任取一小區(qū)間 y , y + dy 則對應(yīng)于該小區(qū)間的薄片的體積微元為所以體積:例求星形線 所圍成的平面圖形繞直